UO

n relations satisfaisant à l'équation différentielle totale

Xjt^a;, H HXj„dX2„ = 0, (o)

de. sorte que

Posons, en outre, les n relations

où Pi , ... , (3„ sont de nouvelles constantes. Les équations (6) et (7), après élimination de l , contiennent (2w — 1) constantes a,, ..., a„, |î-j— 5^^', et sont les intégrales des(2n — 1) équations rencontrées par Pfaff dans la recherche de l'intégrale de (5).

Imaginons, en effet, que l'on déduise des équations (6) et (7) les variahles x en fonction de A , des a et des j3. Faisons varier dans les équations (6) et (7) a et p de c?a et âp, les x varieront de r7x. Cela posé, multiplions les ^équations {Q^), ..., (6„), (7i), ..., (7„) respectivement par âx^^t , âx„+i, ... , Sxi„, âut , ... , Ja„ ; en ajoutant les résultats, il viendra à cause de (4) ,

XJX^ -\ h Ti^JX^n -*- ^ C'-^l^^l -1 »- l^n'K) = 0 • • • • (8)

Dérivons par rapport à A, et cette équation donnera :

lXi—-hI — ^x + lMx = 0 (9)

dX dx

En multipliant les équations (6) par-^"^"^S — '-|f^, et ajoutant les résultats, on trouve la relation suivante, évidente d'ailleurs d'après (5) :

^' dx ^ ^^'" dx -"'

d'où, par variation,

Ix^-H-2-^x = o (10)

Retranchons de l'équation (9), l'équation (10) et l'équation (8) divisée par i, il viendra

d> dA À

On déduit de là, en égalant à zéro, les coefficients de (îx,, ..., Jx*,,

^/dXi^ d^£X^\ X,^

dx \ dx îXi ^'j^ ^"jj / À

^^ — /fîfii^H H— — W— =0

dl \dx dJ, àX ^x^ I X

En écrivant, au lieu de ^ , la valeur :

^X dX^ iX iXt„

4Xi îy Sx^^ ô\

les équations précédentes prennent la forme suivante :

dx, dx, dx,- X,

-i(l,l)+-î (1,2)+... + -^ (l,2n)=--i, dÂ oa dx A

d*. dA dl À.

< e qui est le système auxiliaire de PfaflF.

Remarques. I. Pour que les variations des x soient indépendantes en même temps que celle des a et des ^, comme on le suppose plus haut, il faut que les équations (6) et (7) soient telles que

"tj ••■»*tij

ne soit pas identiquement nul.

II. Ce qui précède peut s'appliquer, en particulier, aux équations auxiliaires auxquelles on est conduit quand on cherche l'intégrale de l'équation

p„ -t-/-(z,a;i, ... , a;„,pi, ... , p„i) = 0. Si

Z = ¥ {x^,...,Xn,cc^,...,a.„)

est une solution complète de cette équation, ou de

dz = PidXi -\ H p„-idx„-i — fdx„ ,

on aura, pour intégrale des équations auxiliaires : dx^ Sf dxn^i Sf

dXn ^Pi dXn Spn-l

dXn SXi * Sz dXn SXn-l Sz

dz ff Sf

dXn dfi à2)„-l

le système

JF SF ,,,

àXi dXn-^

JF ^ JF <?F , JF .„,

^a ... = ;?„,.;— (Il)

contenant In constantes a,, ...,a„, Pi, .,., |3„i.

On déduit ces résultats des précédents, au moyen des hypothèses du n" 52, La démonstration directe en est d'ailleurs trèssimple (*).

C) BiNET (C. R., t. XIV, pp. 634-660, t. XV, pp. 74-80), Gauchy,§ II du mémoire analysé au Livre II! (Exercices d'analyse et de phys. malh., l. II, pp. 261-272), Jacobi, Vorlesungeîi , pp. 564-369, ont employé le calcul des variations pour exposer la méthode de Pfaff modifiée par Jacobi ou des recherches équivalentes sur les équations aux dérivées partielles. Nous croyons pouvoir nous borner ici à donner une idée de ce mode d'exposition , à propos du problème inverse de celui de Pfaff. On abrège considérablement les écritures parce moyen, mais l'exposition devient moins claire.

III. Puisque z = ¥ est une solution complète de rëquatiou Pn -+- f = 0, les fonctions F, ?, = fe^, -, f«-i = 3— 7, considérées comme fonctions des constantes, doivent être indépendantes, sans quoi il y aurait une relation entre ces fonctions et, par suite, z satisferait à une seconde équation aux dérivées partielles. Or, si cela était, cette équation et la donnée représenteraient seulement au plus oc*""' éléments, et il en serait de même de r = F et de ses dérivées ; par conséquent z = F contiendrait au moins une constante supplémentaire, ce qui est contraire à l'hypothèse. On a donc, en posant :

^ JF JF

Sa^ " San

San

Sxi

SXi

SXn—\ SXn—l

..,xi^i