II
dpi
Sa
It dXi
d^ dfi
df
Ixi'
dXi
d'f dpi'
dp dXi
dXi
dXi
dPi Spi
Au besoin, quand cela ne sera cause d'aucune ambiguïté,, nous écrirons, au lieu de n'importe quel de ces symboles,
fp ou f,'p,
en supprimant les parenthèses et les crochets. On trouve immédiatement les formules suivantes :
ff = 0; f-p^ — év; y, — ^ = — 'f^; constante, •;- = 0; . (1)
{ar..,^)=^; (^m^I^^; (p„.,)=-^; (^,,^] =^; (2) «*Pi dpi dXi dXi
{Xi,Xi) = {pi,pi) = {xi,pk)=zO (3)
Si « désigne une des variables x ou p, on trouve encore, en supposant que D indique une dérivation par rapport à u,
D (?,-^) = (D?, •;') + (?, Di), . (4,)
dont l'analogie avec la formule de Leibniz pour la recherche de T)"fi) est évidente (*)• A priori, d'ailleurs, cette analogie doit exister puisque les expressions symboliques de Poisson sont des sommes de produits de deux fonctions, et cette remarque suffit pour démontrer les formules (4).
57. Développements des diverses expressions y-p. On a immédiatement par les propriétés élémentaires des déterminants :
df
dà
dx
dx
if
Su
Sp'
ip
i? 5<f SOi <f? SUr Sf ^ J6,
Sx Sa^ Sx Sa, Sx Sx Sbi Sx
Sp ' Sp
Sp Sb.
Ibtlx
Cette équation prend une forme remarquable si r = s = n, et si a = b ^=p, les p étant supposés fonction des x. Alors il vient, en développant le déterminant du second membre
la somme double s'étendant aux valeurs ! , 2, 3, ..., n de t et k. C) Les formules (4) sont données par Imscbeketskt, pp. 51-53.
L'expression [y, if] donne un développement semblable. Elle est égale à
Jo ^f Ja, ^f Sa, S'p U Sb, U Sb,
Sx Stti Sx Sûr Sx Sx Sbi Sx Sb, Sx
S--f S<f Sui Sf Sttr S'p S'p Sbi S'p Sb,
Sp Sa^ Sp Sur Sp Sp Sbi Sp Sb, Sp
En développant cette expression, on trouve la formule
Sb Sa Sa èb
En particulier, si r = s, Oj = 6,,
[?,*l=(f,«+2|(f.,«)^-tt,»)g+2,2.jg^.-H:j(a,-,a.)(9')
la somme double du second membre se rapportant aux valeurs de i inférieure à r, et aux valeurs de k supérieures à i, ou si l'on veut, 1 , 2, 3, ..., r de i et de A;, puisque les termes (a,, «,) se détruisent en vertu de la première formule {\).
Si oetip ne contenaient explicitement que les a, cette formule (6') se réduirait à
Si t ne contenait pas les fonctions a, et si ip ne contenait que les fonctions a , la formule (6) conduirait à celle-ci :
S^ Sa
On arrive à un développement plus utile, mais moins naturel, de l'expression [y, <p], en partant de la formule peu connue relative aux déterminants :
M-t-m, N-+-n P-t- p, Q-hq
{ 129 ) Soient, dans cette formule (7),
M-»-m = — ' X-4-n=— -• M=-- » N^— -t dx dx àX àX
dp dà ?^ ^ S-^
dp dp ^p ?p
et faisons la somme de toutes les expressions semblables, il viendra immédiatement
[P, à] = (p, •^'l -«- [p, f) - (P, ^) -4- 22 J ^ (a, 6) . . . . (8) Si en particulier, a = h,r ^= s^ cette formule devient :
Un cas extrêmement remarquable est celui où la fonction s se réduit à p, et ,i à pt. On a alors , d'après les formules (2) et (5),
[P,'i] = (PMP*) = 0;
par suite, la formule (8) donne
Sxi àXk [SOi $tn Soi Soi) ^ ^ '
Si, en particulier, (?,*) = 0 , celle formule se réduit à
(*) Noas emprunlODs les formules (6) à Ihscbexetskt, pp. 30-31. Les aulres sous leur forme générale sont nouvelles. Contrairemeul à l'usage, nous laissons dans les sommes les lermes qui se détruisent deux à deux, parce que leur suppression introduit dans les formules une complication inutile.
