ThéOÈ'ètne fondatnetttul de Jacobi

58. Forme spéciale des conditions (», <p) = 0, quand » et <p sont linéaires par rapport aux dérivées partielles de la variable dépendante. Soit R une fonction de u,, u^, ..., w„ et

rfR dR dR

rfu, rfWg du,„

dR dR

' = AR = a, — h . • • -4- a,„ - — = a^pi •+■ a^p^ -t- — h a,„p„, ,

ttMi au,n

dR dR

(*) Résumé de Jacobi , Nova methodus, §§ 23-26. Ce résumé se trouve aussi dans Imschenetsky, § 25, pp. 141-144, qui donne, eu outre, la démonstration de DoNKiN, p. 143, pour le théorème fondamental ; ensuite une démonstration qui lui est propre, n» 59, pp. 53-55; et dans Grai.ndorge, V, pp. 35-41.

Il résulte d'un passage de la Nova methodus, § 28, signalé par Cleusch, que Jacobi possédait son principe fondamental dès 1838. Ce principe se trouve virtuellement contenu dans le théorème de Poisson (Sur la variation des constantes arbitraires dans les problèmes de mécanique , Journal de l'École polytechnique, 15" cahier, p 280), dont son auteur lui-même, ni Lagrange ne soupçonnèrent l'importance , comme le remarque Jacobi, Nova methodus, § 28. A la mort de Poisson, Jacobi appela l'attention sur le théorème (C. R., année 1840, p. 529), mais malheureusement sa Nova methodus ne fut publiée qu'en 1862 par Clebsch, sans aucun changement, sauf une petite addition d'une page à la fin du § 52, ccmtime nous l'avons appris de la bouche même de ce géomètre. C'esl donc par erreur que Imschenetskv dit que Clebsch « a rédigé le travail de Jacobi d'après les matériaux trouvés dans ses papiers » (page 6). Mais, il importe de faire remarquer avec le savant russe (pp. 124 et 145), que Donkin a trouvé le théorème fondamental de son côté (Philosophical Transactions, 1854, part. I, pp. 71 et 93); que LiouviLLE l'a également démontré dans son cours de 1853, d'après ce que dit BouR , dans son mémoire, Sur l'intégration des équations différentielles partielles du premier et du second ordre (Journal de l'École polytechnique. 39" cahier, pp. 148-191), p. 168, où il l'appelle théorème de Liouville. Néanmoins, il convient de conserver à ce théorème le nom de téhorème de Jacobi, parce que ce géomètre en a plus qu'aucun autre révélé la fécondité.

a,, ... , a., 6,, ... , h„ étant des fonctions quelconques des u, et A et B étant des symboles d'opération définis par les équations précédentes.

Cherchons l'expression

Elle sera égale à

s Pi Spi

(ImPm) S {biPi

Sui bi

c'est-à-dire, en réunissant les divers termes multipliés par p,, ...,ç«:

^Om, / ^fem Sb„ db^\

^^~ ~r»T — ^-''îT ' ►-«mir-

ou encore

(I . J) = p, (Bfl^ - A6,) -4- /Jj (Boj — A6,)

/>„ (Ba,„ — A6„).

Si Ton ajoute à l'ensemble des termes qui ont le signe + dans (I, J), tous les termes de la forme

aibj

SuiSuj

et si l'on retranche la même quantité des autres termes, on reconnaît immédiatement que l'ensemble des termes positifs représente BAR, et les autres — ABR.

Donc enfin ,