CHAPITRE II
§ 19. Méthode <fe Jacohi quand tea équation» cherchée» »ont fétolue» pat' rapport auas cotttlaitle» (*).
67. Idée générale de la marche à suivre dans l'intégration des systèmes (II). L'intégration d'une équation aux dérivées
partielles
H, (a?,,. ..,a;„,pi,p,,.. .,/)„) = a,,
revient, comme on l'a dit plus haut, à trouver (« — \) relations
semblables :
Hj = aj, Hj = Oj, ..., H„ = a„,
d'où l'on puisse tirer des valeurs de pi, Pî, ... , p„, telles que dz = ptdxi -t- ••• -4- p„dx„ soit immédiatement intégrable. Pour cela il suffit de trouver les intégrables des équations (II) du § 18, que nous écrirons comme suit :
(H„HJ=0, (H3,H,) = 0, (i)
(H,,,HJ=0, (H,,,H,) = 0,...,(H»,,H,î) = 0,. . («--2) (H„,H.) = 0, {H„,H,) = 0,..., (H„,H,,) = 0 . . (u-l)
(•).I1 suffirait peut-être, dans l'exposition de la méthode de Jacobi, de se borner à ce qui est donné dans le paragraphe suivant, comme a fait Jacobi lui-même. Mais au point de vue didactique, il vaut mieux faire connaître d'abord la méthode du grand géomètre sous une forme plus symétrique, el qui peut d'ailleurs être utile en pratique, quand on ne sait pas résoudre les équations (H). Comparez à ce paragraphe, Imschemetsky, § 18, pp. 65-72, à qui il est emprunté presque en entier, et Ghal^ioorge, VI, pp. 42-bO.
11 est clair qu'une solution H^^Oj du système (1) satisfait au système (2) d'après la définition de celui-ci , puisque la fonction Hj, entre précisément dans l'équation {%). Donc, après avoir trouvé Hj, il faudra trouver une autre solution H3= Oj du système (2). A cause de la définition de l'équation (ôs), H^ et Hj satisfont au système (3); il faudra en chercher une autre solution H^, afin de pouvoir former l'équation (44) (Hj, H4) = 0, et ainsi de suite.
En résumé, chaque système {i) est identique au suivant, sauf qu'il contient en moins une équation (Hi+2, H,+.,) = 0, où H,^.i est la fonction qui satisfait à toutes les équations (^); il faut trouver une nouvelle solution du système {i) qui satisfasse, en outre, à
6§. Intégration de V équation {\) et du système{''2). L'équation (1) est linéaire par rapport aux dérivées de Hj, considéré comme fonction des p et des x :
Pour trouver l'intégrale Hi= a^, il suffipa de connaître une solution de système correspondant (n" 32), à (2« — \) variahles dépendantes, ou d'ordre (2w — 1) :
dx^ dx^ dXn — dpi — dp^ — dp„
J'p, Jpj Jp„ ^Xi Sx^ SXn
Une fois H2 trouvé, on pourra former le système (2)
Pour en trouver une intégrale H3, on cherchera d'abord une solution e, autre que H2, de (2i)ou (1), c'est-à-dire, une nouvelle solution du système auxiliaire dont nous venons de parler, de sorte que l'on aura
(9oH,) = 0 (!')
( ^49 ) (^ela fait, on calculera les expressions suivantes :
c'est-à-dire que l'on vérifiera si 6,, Oj, e,, ne sont pas des solutions de (2,). Je dis maintenant que l'on aura les cinq propositions suivantes :
I. Les fonctions ôj, ôj, 5,, etc., satisfont toutes à l'équation (2,)) c'est-à-dire que
(0„H.) = O, (03,H,) = 0, (e,,HJ = 0,...
En effet, d'après le théorème fondamental de Jacobi :
Le second membre de cette égalité d'après (1) et (!') se réduit à
qui est nul. La même démonstration se fait pour O3, 6^, etc.
IL Toute fonction 0 (H,> Hj, 6„ 9j,..., 9^) des solutions antérieures de {\) ou de (2i) est une solution de cette équation. On aura , en effet :
/ÎA /îft /îft <yô
fe,H,) = (H..H,) — -4-(H„H,) — -|.(6.,H,)— + -♦-(0„H,)— '
équation qui se réduit à
IIL En cherchant, par le procédé indiqué plus haut, des solutions Hj, 0,, 62, 63, ...,de l'équation (1), on arrivera, à la fin, à une solution
qui sera une fonction 8 des précédentes , et il en sera de même de toutes les suivantes. Les équations (a), en effet, ne peuvent avoir
que {'2n — i) solutions distinctes; donc la suite H^, ôj, B^, ..., contient au plus (2« — i) fonctions, et l'on a
pour i = (2n — 2), ou { < (2/i — 2). La formule
prouve d'ailleurs que la fonction suivante s'exprime de même, et cette conclusion s'applique à Sj + j, 0,^.4, etc.
IV. On peut déterminer une fonction des solutions H,, H^, e,, ... , 0,, de (2i) qui satisfasse en même temps à (22). Soit 0 cette fonction, on posera (9, Hj) ^ 0, ou
(eoH.)--^(e„H,)-^... + (e,H,)- = o,
ou encore,
dont l'intégration dépend de la recherche d'une intégrale du
système
ddi (/9g d&i-i ddi ...
Ce système devient, en introduisant une variable auxiliaire t dont la différentielle dt est égale à chacun des rapports précédents :
dO. dô^ dOi
On en tire l'équation :
d% ^1 de, d% rf'-'9A
dt' \ ' " ' dt dt' dl'-^ I
Si l'on connaît une intégrale première de celle-ci :
M ' "" " dt dt^ dt*-' ' *'
( iSI )
on pourra écrire cette intégrale sous la forme : H3(Hj,H,,6„...,e..)=fl„
et ce sera la solution cherchée.
Remarques I. L'intégration de l'équation (1) exige la recherche d'une solution du système (a), d'ordre (2w — i); l'intégration de (à), la recherche d'une solution autre du système (a), d'ordre (2w — i), et d'un autre d'ordre {i — i), c'est-à-dire d'ordre (2n — 3), au plus, ou d'ordre (2» —2), si l'on introduit une variable t auxiliaire.
II. Les solutions ôj, ôj, e,,... , de (2i) donnent aussi autant de solutions du système (a), sauf si elles rentrent les unes dans les autres. C'est dans cette remarque que consiste le théorème de Poisson. Bertrand a remarqué que ce théorème est souvent illusoire, quand on veut l'appliquer à la recherche de nouvelle solution d'équations de la forme (o). Cela arrive si ôj, ôj, .... sont identiquement nuls. Mais, quand il s'agit de l'intégration des équations aux dérivées partielles, c'est là précisément le cas le plus favorable (voir Wli, 1°). C'est là ce qui rend 1 étude des systèmes canoniques de la forme (a) plus difficile que celle des équations aux dérivées partielles correspondantes.
69. Intégration du système (3) et des autres systèmes. On cherche une seconde intégrale fli du système (2) ou de {S,), (3,). On forme les expressions suivantes :
c'est-à-dire que l'on vérifie si 9, , Qj, 9j, ..., ne sont pas des solutions de (Sj). Ces fonctions e^, Qj, 64, ... seront des solutions communes de (3|), (Sg). En effet, ou aura pour la fonction 6,, par exemple :
(H,,e,) = (H.,(0,,H,))=-(0.,(H„H,))-(H„(H.,fl.)), (H. , 6,) = (H, , (G, , H,)) = - (9. , (Hs , H,)) - (H„ (H„ 9,)).
Les seconds membres de ces relations sont nuls , en vertu des équations (2), ou des équations :
qui expriment que 9| est une solution de (2).
La suite 6^, e^, ..., dans le cas actuel comprendra au plus (2n — 4) fonctions distinctes, parce que, d'après le numéro précédent, à cause du système (6), qui ne peut avoir au plus que(2n — 3) solutions distinctes, il ne peut y avoir non plus que (2« — 3) solutions distinctes Hj, 6, , ô^, ... , de (2).
On trouvera, comme dans le numéro précédent, qu'il suffit de connaître une solution de l'équation :
ou
je j-e
ou, enfin, du système
9, + , étant une fonction de H,, Hj, Hj, ôj, e^, 63, ..., 6;, pour connaître la solution cherchée Hi=a4 du système (4). Et ainsi de suite pour les systèmes successifs.
70. Remarques I. Le système (5) exige d'abord , pour trouver «1, comme dans le cas précédent que l'on trouve une solution du système (a) d'ordre {2w — i), et une solution du système (6) au plus d'ordre (2w — 3); ensuite pour déterminer H^, une solution du système (6'), au plus d'ordre (2w — a).
II. En continuant, on verra sans peine qu'en résumé, l'intégration de
(1) exige l'intégration d'un système d'ordre 2n — 1, savoir le système (a),
(2) » » » an — t, ■! d'ordre 2n — 3,
(3) » » u 2« — 1, 1 » 2n — 3, 1 d'ordre 2h—o,
'(« — \] exige l'intégration d'un système d'ordre 2h — i, 1 d'ordre 2m — 3, 1 d'ordre 3, 1 équation d'ordre 1.
( *S5 ) En toat, il faudra donc chercher, au plus,
(;i — 1 ) = — !^ — - — iDt^rales.
En particulier il faudra chercher (n — i) intégrales du système (a): puis, au plus, (*~'y"~^ intégrales des systèmes auxiliaires (h), (6') qui sont beaucoup plus simples.
En apparence, la méthode de Jacobi exige plus d'intégrations que celles de Lagrange et de Pfaff, puisque, dans celles-ci, il -uffit, en général, dintégrer complètement l'équation (a), en prenant pour constantes les valeurs initiales des variables. Mais la méthode de Jacobi laisse une grande liberté dans les calculs, puisque l'on peut les commencer, à partir de chaque système auxiliaire, par niraporte quelle des solutions, et l'ordre de ces systèmes peut s'abaisser considérablement dans les cas particuliers. On verra, en outre, dans le paragraphe suivant, qu'elle peut encore être simplifiée.
111. On peut combiner la méthode de Jacobi avec celle de Cauchy, comme on le verra au n° 125, c'est-à-dire se servir du théorème fondamental de Jacobi, ou plutôt de celui de Poisson, pour trouver, dans certains cas, d'une manière simple, les intégrales du système (a), quand on en connaît quelques-unes. C'est le mode d'intégration le plus avantageux si la suite des fonctions 9 est complète. Dans ce cas, connaissant {"In — I) solution de (a), le mieux est d'abandonner la méthode de Jacobi. Cette remarque est due à Lie (*).
71. Simplifications et modifications. 1° Il peut arriver que l'une des fonctions 6, que l'on cherche soit nulle; alors le 9 précédent est la solution cherchée. Ainsi, par exemple, si l'on a :
Vi étant déjà une solution des deux autres équations du système (3), de manière que
il est clair que e,., est la solution de tout le système (ô).
i*) LiB, Nachrichten de Gôilingen, 1872, n* 25, pp. 488-489.
l" Si l'une des fonctions 9 est une cotistante, les calculs s'aclièvcnt immédiatement. Ainsi, par exemple, si
Or=(e,,,H3)=m,
l'équation auxiliaire (6') devient :
f/ r-2 dôr-l
qui est inlégrable.
3° Toutefois si r = 2, la méthode devient illusoire; la fonction
appelée plus haut 6 est alors déterminée par l'équation
qui donne pour 6 une simple constante.
Dans ce cas, on partira d'une autre intégrale de l'équation (a) ou (6), et la même circonstance ne se présentera plus, ou bien, on trouvera immédiatement la solution. Si l'on a, en effet, pour deux solutions différentes e,, Q[ de (5,), (3a)
on })rendra pour solution commune à (3i), (Sa), (03) , une fonction 0 de 6,, ô\. On devra avoir :
Les deux premières sont identiquement satisfaites, l'autre devient
^e je
^ -' '^ je, \ S' 1/ jQ,
que l'on saura toujours intégrer.
7^. Cas plus général de simplification. Séparation des variables {"). I. Supposons l'équation donnée de la forme :
Hi(a;,,...,a;„,pi,....p„, f^,..., ?',„) = a,, (*) Nous résumons le plus brièvement possible, Imschenetskt,§ 19,pp.73-79.
où 5,, î>î, ... , 5„ désignent des fonctions de x, , ... ,x„,p, , ... ,p„, telles que l'on ait , pour les valeurs de r et s comprises dans la suite 1, 2, 3, .... wj.
(fr,?.) = 0.
Si l'on parvient à trouver des fonctions H, contenant les quantités X, les quantités p et les fonctions s, et telles que l'on ait
en supposant, que dans ces fonctions H les fonctions y soient remplacées par des constantes, je dis que l'on aura aussi
dans le cas où on laisse les fonctions ^j dans les fonctions H. En effet, la formule (6') du § 16, donne
( SEt SEi
[E, , H*] = (Hi , H*) -+- 2 (H. ,fr)- {El , Pr)^-
^^ i JH. JHi SEi JHt J ^
I ^?v Sf, Sf, Sfr \
Cette remarque simplifie beaucoup la recherche des fonctions H. Ainsi, en particulier, si l'on a :
(Pr,f.)=0,
pour trouver les fonctions Hj, Hj, ..., H»+„ il suffira de poser :
H, = f, , Hj^p,, .... H«+i :=?;,.
ou même :
pourvu que les fonctions F soient indépendantes les unes des autres. Nous supposons naturellement m < n.
( do6 )
II. Un cas remarquable , où il est facile de trouver des fonctions y satisfaisant aux conditions indiquées plus haut, est celui où les variables sont dites séparées. Nous prendrons un cas particulier pour nous faire comprendre. Supposons une équation aux dérivées partielles :
ou
^ = ■^(^1 4,»-i,rj,..
X = xiUi,...,ui,s^,s^,..
•>Si),
dz dz dz dx dy dl
dz du
de sorte que H,, y, </,, -^ contiennent toutes des variables indépendantes différentes.
Il est clair que l'on aura.
Par suite, on pourra poser
Hi = a,, lf^ = f = a.,, ïi^ = 'P=za^, U^=x = (ii-
Appelons z^, z^, z^, s^ les intégrales de ces quatre équations qui pourront se chercher indépendamment les unes des autres. La solution complète de l'équation donnée sera
En effet, en premier lieu, on déduira de là, précisément les mêmes valeurs pour les p, les q, les r, les s que de z, , Zj, £3, z,; ensuite le nombre des constantes arbitraires sera {n -+-j -*- k-i- 1). Car dans z^ entrent (n — 1) constantes arbitraires, dansz^, {j — 1) et en outre a,, dans Zs,{k — I) et en outre aj, dans Zj, (/ — i) et en outre dans a,. Donc, en comptant encore la constante «, il y aura (« -+- J -4- A; -t- /) constantes arbitraires.
III. Ces précieuses remarques nous permettent de traiter systématiquement quelques cas remarquables, déjà étudiés par la méthode de Lagrange (§ 8, n° 54), qui, au reste, conduit au résultat général que nous venons d'exposer :
i" L'équation
/■(Pl»P»:"-.P/.) = 0
a pour intégrale
5 = a -4- «iJi -+- «jJ, -\ 1- a„ar„,
les constantes arbitraires a satisfaisant à l'équation /■(a,,o,,...,o„) = 0.
On ramène à ce cas celui où l'équation est de la forme
au moyen de la transformation du n" 2. En particulier, si z est une fonction homogène des quantités p de degré a . il vient
2" L'équation
/■(ri,P,,-.-, F«) = 0,
•ni =, ne contient que x.et;),, a pour intégrale :
^i étant la valeur de p, déduite de y^ = a^ et les constantes a étant
liées par la relation
5* L'équation
z = f{Xi^ Xi, ...,ar„,p,,pj,...,p„),
OÙ f est une fonction homogène de degré u. , par rapport aux p, devient, en appelant « = 0 la solution complète et posant :
eu du Ju
=9^+1 = {- ir/"(a:,,ir„...,ar„,ç,,g,, ...,9„),
où la variable z est séparée des autres. 11 suffira donc d'intégrer à part
Si l'intégrale de la dernière est
5j = «i-+- F (a;i,...,a;„, A, a, , ffj, ...,a„j), on trouve aisément que celle de l'équation donnée est
7Z. Exemples. I. Soit l'équation (*)
XiX^ . . . Xn ^= PiPi • • ■ Pu-
Les variables peuvent être séparées, si l'on pose XiJi = Pi, ce qui transforme l'équation en
fi?i ••• ?n = <•
On posera :
'2"a,cfj ... o„ = 1,
P»=,^„ P!C„ PlL-c,^
ce qui conduira aux solutions auxiliaires :
3, = «j -f- rtiorj , . . . , 3„ = œ„ -t- o„a;* , et par suite à la solution complète
5 = a -H UiX] -+- a^xl + . • • -4- OnX^- II. Soit encore l'équation (**) {x^Pt -+- a-,pj) x^ -4- p^ (p, — pg) [p\ -+- (ps + ar^) (/jj -4- x^,) p^] = «j.
(*) C'est l'équation étudiée, plus bas, par la méthode de Cauchy (n» 110). Graindorge, no^iO et C9, intègre celte équation par la méthode générale de Jacobi sous ses deux formes.
(**) Nous empruntons cet exemple", si bien choisi pour montrer toutes les simpliGcalions et toutes les modifications de la méthode de Jacobi, à lascHEifETSKT, H»» 61-65, pp. 79-86.
( 139 ) On posera, à cause delà séparation des variables X|, j», x^, et
Xi> ^5> '*'*}
On trouvera, encore par séparation des variables, après avoir posé p5 = )8, l'intégrale de celle-ci sans aucune difficulté :
s' -+- A' = — (a — ;3y — y a;,)i -t- ^Xj -+- 1- (3 -♦- a?^'/- 3r
L'équation donnée deviendra alors :
Hi = (a;,Pi -H x^Pi) x^ -t- «ps rpi — p,) = Oi.
La fonction Hj, d'après la métbode générale de Jacobi, sera une solution des équations auxiliaires (a) qui deviennent dans le cas actuel :
àPt dp^ dp, ^ ~^> ^ —^^i ^ ~^s ,qv Prï"s Pi-Tj Pi^^ï -*- Prî^i a7^s-t-«Pî iTiX, — ap, a{p, — Pj)'
On déduit de là,
(HPi-*-Pi) — (f(a-t-4-a;,) Pi-+-Pî ~ x.-t-a;,
d'où, pour H,, la valeur
Hj = («»-+- *i)(Pi-*-P»^ •
11 faut maintenant trouver une solution commune aux équations :
(H„HJ = 0, (H„H,) = 0 (2)
Pour cela, il faut chercher une seconde solution ô, des équations (a), et la substituer dans (^j). On tire de la première équation :
àPt dp, ^
Pi Pi et par suite
PÎ
( 160 ) Formons la quantité 02 = (^i? H2). On trouve :
Oj = (Oj . Hj) = (Pi -t- Pj) (-Pi) -4- (Pi -+- p,) p^=~pl-i-pl=: — 2ô, ,
c'est-à-dire que nous rencontrons le cas d'exception signalé plus haut (n" 68, Rem. II). On est donc forcé de chercher une autre intégrale du système (a). On trouve encore, au moyen des équations (a)
d (Pi — Pa) — dx^
l'intégrale
-a-3(Pl — Pî) «(Pl-Pï)
3; = a (Pi -Pi)— Y
Formons e^ = (0', , Hj). Il vient :
K = (Pi ■+■ Pi) (— *) -+- (Pi -1- p,) * = 0.
Nous rencontrons précisément le cas où la simplification est la plus grande, c'est-à-dire, celui où une solution de (2,) satisfait aussi à (2j). Nous poserons donc :
Les équations H, = o, , U^^Ui, 113=03, permettent de calculer dz" = pidxi-^ p^dx^-^ p^dxz, et par suite z". On trouve ainsi :
Donc enfin, en réunissant z et z", la valeur de z, avec 6 constantes a, p, y, A, «2, O3, est la suivante :
(ia^-^xl)^ ' \ -I
a 1/2 xi s
+ * arctg i— -H^(a — /3y — ya;Ji -4-/3a;«.
Nous pouvons encore, avec Imsche.netsky, arriver à la même intégrale complète, en cherchant une solution commune du système (2), à partir d'une solution de (Sj), ou du système correspondant qui n'est que du troisième ordre :
dpi dpj — dXi j, — Xj
Pi-*-Pi Pi + Pî -r, -j-j —dx^
Une solution très-simple est i^^ = pi — /)i= constante. Cherchons fi = (iji 5 H,) , )f3 = (-ti, H,), etc.
^i = (P^r,) ( — 1 ) -+- (PiX^) (-t- 1 ) = x^^^ ,
>fî = (pjJ-J { - J-j) -4- ip^X^) (-+- Jj) -*- )}!« (Pi - Pâ) = — -t- a>{î ■
Une fonction e (Hj, ij,, tfi) satisfait à (2j); elle satisfait à {2|), si elle est une solution du système (6) :
^^^, ou ^^'':l^^'Ù..
On retombe, en intégrant cette relation, sur la valeur 6i donnée plus haut, et par suite on arrive à la même intégrale complète.
§ âO. -ftétho^B «fe Jacohi som« «a fow»« te pftf« timpte (*).
14. /rfée générale de la marche à suivre, i' On déduira la valeur
Pi = f l (^1, • •• , Xn, «i ,Pj. Ps, • •• . P/i) = -^11
de la première équation H. 2» Cela fait, l'équation (VI), du § 18, où /■i = /"j(xi,...,x„,a,,p,,...,p„), savoir
(Pt-^i,A)=o, (1)
(*) Résumé de Jacobi, Nova melhodus, §§ 9 à 11 , §§ 18 à 22 Le même résumé se trouve dans Ihschexetskt , §§ 20 à 22, pp. 86-121, Graisdorge, VII, pp. 55-73, avec des exemples ei quelques théorèmes donnés par nous dans les paragraphes précédents.
( 162 ) donnera f,i = aî, et l'on pourra en tirer
Pj = fa (a^i, ... , a;„ , a, , a^, P3, . . . , p„) = ^^^ ,
et, par suite,
Pi = 'f 12 (a'i, • • . , a7„ , Cl , aj,Ps, . .. ,p„) ,
de sorte que l'on aura (§18, IV')
(Pi-<;'i2,Ps-M=o (1')
5" On déterminera ensuite ^ (x,, ...,x„, a,, Oj, /jj, ...,;?„), au moyen du système (VI) :
(Pi -^12' A) = 0, (P2-<^2../3) = 0 (-2)
La fonction /"j trouvée, en l'égalant à une constante arbitraire «3, on pourra en tirer la valeur de p^, que l'on substituera dans les valeurs précédentes de /j, et p^. On aura ainsi des équations de la forme
ZJ2 = '^23(^l:- •• ,^«,«l,«2.«3»P*, --.Pn),
Ps = 'Fs (aJi, ..-.a;», 01,03, «3,^4, ...,p„) = J'35. • Alors, d'après (IV) :
(Pi- ^3.P3-^Ô3)=0, (P2 — •|'23.P3— '^33) = 0, (Pj — «flS . Pï — t'ss) =0. (2')
4° Soit ensuite /i (ar,, ..., Xn, a,, «2, a^, Pi, ...,p,^) une fonction satisfaisant aux équations
(Pl-</'l3,A) = 0, (P2-4'23,/"4)=0, (P3--/-'33,A) = 0, ■ • <ô)
on tirera pi de f\ = Ui, et l'on pourra écrire
Pi = ^u(^l. •••> ^«.«1,02, «3, 0«,Ps, •••??«),
Pa = 'fî* (3:^1 . • •• >«;„, Cl, Oj , Os, 04,^5, . .. , p„),
P3 = 'f'84(^l> • ,a^n,«li«2)03i«oPs) •••jPn),
P4=P4 (aTi,.. ,a:;„,«n«2)«3.ai)P5, ••,P«) = l4*-
( 163 ) es valeurs seront telles d'ailleurs, d'après (IV), que
•i--;'i«,Ps-';'5«)=o, (pj-;'m,Pî— '?'s«)=o>
t ainsi de suite.
Si l'on appelle /", (x^, ..., x„, /),, ...,p„) = «i l'équation donnée, 1 trouvera ainsi le système suivant, auquel nous adjoignons équation donnée elle-même :
A(a:„...,ar„,Pi,p,,Ps,...,p„) = a„ /;(a?,,...,ar„,ai,p,,p3,...,p„) = o„ /s (a;»,... ,a;„,a„a,,p5, ...,p„) = 0,,
/«(fli, ,..,a:„,a,,...,a,-,,p.) = a,;
, Ton en a déduit
Pn =<i'nn (a?!, a*,, ... ,a;„, Oj, ... , oj = 5r„, p«, = <i,,,, (Xj, ar„ .. . , ar„, a,, ... , a,) = )r, , ,
Pa ='f'»o (iCi,a'j,...,a;„,a,,...,a,,) = ^j, Pi =-^1-, (a;,,a-j,...,x„,a,,...,a„) = r,.
est clair, d'après le § 18, que ces valeurs de p satisferont aux )nditions dintégrabilité. Toute la question est donc ramenée à cuver les solutions
es équations (1), (2), (5), etc. On va voir que ces intégrations sont lus simples que dans le cas où l'on cherche les équations H, arce que le nombre des variables va sans cesse en décroissant.
76. Intégration du système f2J. L'équation (1), écrite tout au long, prend la forme :
Hp.-^J Sf,
^(Pi-^n) ^f.
'^(Pi-'^u) ^r.
SXn ' Jp„ S (Pl - ^li) '^A
Sp, ' Jpi
Sp^ ' rJp^
Spn ' 'Sp„
ou encore, en changeant les signes :
^4 + 2 (^ — - — ^ Sxj 2 \<?a;„j Jp,„ Sp„, Sx„
équation linéaire par rapport aux dérivées de /j , ne contenant que (2n — 1) variables, x^ , ... , x„ , p^, ... , p„. Les équations différentielles correspondantes sont :
dXi
dx.
dx.
dx„
dPî f'Ps
Jp,, ^x^ Sx^
dp,,
Pour avoir la relation cherchée fi^^a^, il suffira d'en connaître une intégrale.
Le système (2) se composera de deux équations
SX^ 3 VXn,. Sp„, Sp„ Sx,,
SX^ 5 X'^Xn, Sp,n êp,„ Sx„,j '
qui contiennent chacun (2n — 5) variables indépendantes. Soit 5, une solution de (2j), de sorte que
Posons, afin de voir si ôj satisfait aussi à (2^),
K ~ (^1 , Pî - ^2s) , h = (0» . Pil - '^«) , ^4 = (05 . P2 - ^ts), etc.
( l6o ) ?s lonctions 6,, e^, O^, etc., satisfont aussi à (2,). En effet, l'on a :
(Pi - -^li, S«) = (Pl — ^lï, (P2 - hi, ^l))
= — (Pî - ■^« , (^i , Pi - -^n)) — (^i , (Pt - ■■^12 , Pi - •r'«)) •
3 second membre est nul , en vertu de l'équation (1 ') et de lypothèse sur 9. Donc
(^î.P.-^.J = 0e même
(^«, Pi -•;-..) =0.
Il peut arriver deux cas distincts : i° L'une des fonctions e est entiquement nulle; dans ce cas cette fonction o est évidemment
solution commune des équations (2). 2° Une des fonctions S sera ne fonction des précédentes et de x^, constante dans (2,). Cela
rivera nécessairement avant que l'on ait calculé (2;i — 5) fonçons 0, puisque les équations différentielles simultanées corresondant à (2,) peuvent avoir au plus (2« — 4) intégrales disnotes. On verrait comme plus haut (n° 68) qu'il en serait de léme de toutes les fonctions d que l'on pourrait calculer ultéieurement.
Supposons que l'on ait trouvé i fonctions 5 distinctes. Soit
6 = eiar„9,,...,e.).
in aura :
' , /'î - r m) = {Xt , Pi — ^„) — -+- (^ , P» — -Pii) ^ H H (0.- , p, - •;/„) —
^0 je je je
Ja^i *Jo, 'je, •+'jo.-
•ar hypothèse :
)n posera
je je je je
Jar, *je, «je. Je.- '
( 166 ) équation dont l'intégration dépendra de celle du système
dXi ^61 (/ôa rfôs d9,i de,- "1 ~^~~h~~^~'~ 0,- ©■'
OU de l'équation
= e iTa.e,,
II suffira de connaître une intégrale première de cette équation :
pour avoir la solution commune cherchée :
En particulier, il sera facile de trouver /j dans le cas où 0,+i== constante A;, car alors
dx\ ' dxi~^
et
Il est clair, en effet , que si (0, , p.^ — 1^22) = ^, on a
Remarque. On aurait pu commencer aussi hien par l'équation (22) que par l'équation {%). En tout cas, on ne rencontre plus ici l'exception qui rend illusoire la méthode exposée dans le paragraphe précédent. Si l'on a
e, = {0^ , P2 - 'p^^) = conslanle déterminée A;,
on prend simplement pour /s, l'expression
ôj — AXa,
(167) )ui donne, en effet,
omine plus haut.
Un cas très-simple est celui où l'on a
6, = 6 (a;,, 6,), parce que l'équation auxiliaire se réduit à
Elle se simplifie encore quand x^, 6,, ou Xj et 9i manquent dans 9.
76. Intégration du système (5). Les équations du système (3) contiennent (2n — 3) variables, c'est-à-dire deux de moins que le précédent. Ce système contient trois équations :
(>.-'^i,./4) = 0. (P»-4'«,/"J = 0, (Pî-^33,A) = 0. . . (3)
Soit 9. une solution des deux premières , de sorte que
Substituons-la dans la troisième et formons la suite,
\ = i\ , Ps - ^«) , h = («i , Pî - ^33) . etc. On aura :
(Pi - ^15. h) = (Pi - ^iS, (9i . Ps - 'i'-J) = — (Pj — -f-ss, (^1 . Pi - '^lî)) — (fil , (Pi - 'r'ts , Ps - ^3s)) .
c'est-à-dire, d'après les équations (2') et la définition de 0, ,
(Pi-<^.s,e^ = o.
De même
c'est-à-dire que o, est solution des deux premières équations (3). Il en est de même de Os) ^4 « etc. .
La suite des fonctions 0 comprend au plus (2n — 6) fonctions distinctes; on arrivera donc à une fonction e,^,, qui sera fonction des précédentes, et si l'on veut de x^, qui joue le rôle d'une constante dans les équations (3,), (Sj). Soit
Les fonctions 0,^2, 0,^^, etc., s'exprimeront de même. Soit maintenant 6{xz, 61, ..., 6,) une fonction nouvelle; elle satisfait à (3,) et à (Sj), comme on le voit sans peine. Pour qu'elle satisfasse à (Sj), il faudra que l'on ait, comme dans le n" précédent,
dO de dO ^dQ
dx, ^ db, 'de, dOi
dont il suffira de trouver une intégrale fi = ai, ou une du système
(fcCs de, dO^ ^f,
~T~\~\~ "ë""~ ' ou encore une intégrale première de
da^^ \ ' dx^ dx\-^
17. Intégration des autres systèmes et en particulier du dernier. Il est évident que l'on peut continuer de la même manière l'intégration des systèmes successifs (4), (5), ..., (n — d). Supposons que l'on soit arrivé à ce dernier, qui est :
(pi — ^,,„j,/-„) = 0, (Pa- ^î,„-i,f„) = 0 ... (/)„i — ^„-i, „!,/■„) = 0,
ou encore :
SX^ SXn Spn ^Pn <^^«
fA^^>^^»-.^£j%n-l^^Q^ .... (n-l,) ^X^ SXn ^Pn ^Pn ^^ii
âX„-l SXn Spn S pu SXn
< Ml cherchera une solution de (n— I,); on en déduira d'autres solutions au moyen du théorème fondamental, puis, comme ci-dessus, une solution commune de (n — l,), (n — 1»). Le théorème fondamental de Jacobi en donnera d'autres, puis on saura trouver une solution commune aux équations {n — i ,), (n — I j) , (n — 1 3) ; et ainsi de suite.
On remarquera que l'intégration de (n — 1,) dépend de la recherche d'une intégrale d'un système d'équations simultanées à trois variables, ou de la recherche d'une intégrale première d'une équation différentielle ordinaire du second ordre. Pour déduire de là une solution commune aux équations {n — 1,), (« — ii), il faut encore trouver une intégrale première d'une équation qui est au plus du second ordre; il en est de même dans la recherche des solutions communes aux 5, aux 4, aux o... premières équations (n — i). Par conséquent, on a tout au plus à chercher une intégrale première de (« — 1) équations du second ordre.
En résumé, on voit que la méthode de Jacobi exige la détermination d'une seule intégrale de chacun des "^"g~ systèmes d'équations. Parmi ces systèmes, il y en a
1 de Tordre 2 (n — 1) servant à déterminer /"j,
