Exemple (*). Soit l'équation
ce d' />, -H (ôjj H- 2a?,) p, 4- (4iFj -t- Sxs) pg-t- [a;, -H a^s (p.— Ps)] P5-+- -^-^ = 0 .
Pi
(*) Nous l'empruntons à Isschesetskt, no89, pp. 116-121. Graisdobge, n" 71, pp. 70-73, en donne un autre, emprunté à Aipèbe , que la méthode de Jacobi permet d'intégrer très-simplement.
( 170 ) i° Il faut trouver d'abord une intégrale de
(Pi — 'Pu) représentant le premier membre de l'équation donnée. Le système auxiliaire correspondant est :
dXs dp^ dp^ dPi dps
dXi
dx^
Ht,
On
en
tire
Sps rîXt ^Xs
dx^ __d (Pa — ?>5) 1 ~ Pî — Ps
et par suite on peut prendre l'intégrale de cette équation pour f^, c'est-à-dire poser :
On tire de là, la valeur de pa; et on la substitue dans /?,. On ;i ainsi
Pi - '/'lî = Pi -+- {^x^ + SiCs) (pj -+- a^e-^i) -f- {Ax^ -t- Sa;,) p,
-♦- [x^ -H ajjaje-^'i] Pj + -^-^ ; Pj — -^^j = P2 — Ps — «ae-'^' • P4
2" Il faudra trouver une solution commune des équations
On obtient une intégrale de la seconde équation en cherchant une solution d'un système contenant l'équation
ou
dx^
dPz
Ja?3
dx^
dp^
On pourra donc poser, puisque p^ = constante est l'intégrale de cette dernière,
On aura ensuite :
^* = - (Pi — -^lî , Pî) = - 2 (Ps + Oje-'i) — 5ps = — 76j — SOjC-'i .
La suite des fonctions 4 s'arrête ici. II faut maintenant chercher une intégrale de
■ T~ "■ — "ôi — 20,6-'' ' et ce sera ^5. On trouve :
/s = ( ^1 -•- - «je-»» j e'x, __ I p ^ fï^e-n | gTi, ^^
On tire des résultats précédents :
Ps — -^33 = Pa -»- r o»e-'i — a^T^, o
Pi - -^iS = Pï - - «2^-'' - «36" ''S O
Pi — -^13 = Pi -+- etc.
3" On considère ensuite les équations
(Pi -^13, A) =0, (P,--^,3./"«)=0, {p,-^33,/-,) = 0.
La dernière a pour solution 0, =p^= constante, qui satisfait ('gaiement à la seconde. Ensuite :
6« = (9i,Pi-<?'is)=-P5,
9»= (0„ Px - •;'„) = - a,e-«ie, + -i.
Cela conduit, par la méthode générale, à
D'où
Pi — 'Pu ~P4~ Psate-oi"'"'^ Ps ~ 'Psi = etc.
Pi ~ 'Psti = etc .
Pi — "^14 = etc.
4" La dernière des équations :
a pour solution e, =p«= constante, qui satisfait à la seconde ef a la troisième, et donne
^2 = (^1 , Pi — 'Pu) = — aje-^i^i e"î~'''e
On trouve alors :
et
5° On exprimera p„ p„ j»,, p^ en fonction des x seuls et des constantes. En intégrant l'expression
Pid^i + P^dx^ ■+- p^ix^ -t- p^(lx^ -t- /î^da^^ ,
on trouvera enfin :
