CHAPITRE III

INTÉGRATION DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.

§ 21. Théofie générale Méthode de MMouêt (*).

79. Cas où les équations données sont résolues par rapport à m des quantités p. Supposons que l'on ait à chercher une solution commune des m équations :

Pi =ri(a;i,.. ,a;„,p»+i,-..,p„), 0»)

Pj = ^i(a;i,...,a;„,p»+i, ..., p„), (1,)

P«=*»(a;,,...,iF„,f>«-M, ..., p„) (IJ

La question revient à chercher (n — m) nouvelles relations entre les p et les x de telle sorte que les valeurs de p,,. ..,/>„ en Xj, ..., x„ que l'on déduit de ces nouvelles équations et des données rendent

rfs = Pidr, -H Pj^Xj H i-PndJCn ....... (2)

immédiatement intégrable.

(') Sur f intégration des équations différentielles partielles du premier et du second ordre (Journal de l'école polytechnique, 39™e cahier, pp. 149-191), surtout le § III . pp. 1 63-i 74. La méthode de Bour est exposée dans Graixdobge, VIII, pp. 75-89; Ixschenetskt, §23, pp. 121-136; Collet (Annales de l'école normale supérieure, t. VII, pp. 7-47). La théorie de Bour contenait une légère erreur reproduite par ces divers auteurs et corrigée par Mates dans un excellent petit mémoire ( Malhematische Annalen, t. IV, pp. 88-94), dont nous donnons ici la substance. Il a pour titre : Veber die Intégration simultaner partieller Différenlialgleichungen der ersten Ordnung mit dersellen unbekannten Funclion. IascBE!iETSKT.§ 26, pp. 143-136, applique la théorie générale à la détermination des conditions d'intégrabilité immédiate d'une expression dilTérentielle.

11 résulte de là que l'on doit avoir pour les valeurs de i et de k comprises dans la suite 4, 2, 3, ..., m :

iPi — 'pi,Pii—4'k) = 0 (3j

On doit ici distinguer trois cas :

I. // se peut que l'équation (3) soit identiquement satisfaite pour toutes les valeurs de i et de k. Dans ce cas, on trouve la valeur de z en se servant de la méthode de Jacobi pour le cas d'une équation aux dérivées partielles isolée, à partir du moment où l'on connaît déjà m relations entre les p et les x.

On cherchera donc (n — m) autres relations

entre les p et les x, et l'on trouvera une solution, dite intégrale complète avec [n — m -\- \) constantes arbitraires.

II. On peut trouver, pour une ou plusieurs valeurs de i et de k

{Pi —h, Pk — 'pk) = constante, ou

{Pi -^i, Pk — 'l'k)= FiXi,X^,...,Xn).

Dans ce cas, les équations (I) n'ont pas de solution commune, puisqu'il est, ou bien absolument impossible de satisfaire à la condition (o), où bien l'on ne pourrait y satisfaire qu'en posant F = 0, c'est-à-dire en supposant qu'il y a une relation entre les X (*).

III. On peut trouver paur une ou plusieurs valeurs de i et de k

(p.- — 'pi, Pk — 4'k) = f{Xi,...,irr,,Pm + t,...,Pn)-

Dans ce cas, il est clair que, si le système donné a une solution, les relations qui restent à trouver entre les x et les/) doivent être telles que l'on ait pour chaque fonction/":

/■(aji , . . . , a;„ , p,„+i , . . ., p„) = 0.

C) Il y aurait lieu toutefois d'examiner si Ton ne se trouve pas dans le cas des équations semi-linéaires de Lie, dont nous n'avons pu donner plus haut (n» 14) que la définition.

Donc, et c'est en cela que consiste essentiellement la méthode de Bour, toutes celles de ces équations f= 0 qui sont distinctes, doivent être ajoutées au système primitif puisqu'elles doivent être satisfaites comme les équations données elles-mêmes. . Le système ainsi complété devra être traité comme le système primitif; si le cas I se présente, on achèvera la solution par la méthode de Jacobi ; si c'est le cas II que l'on rencontre , le problème n'a pas de solution ; si c'est le cas III, nous devrons encore ajouter de nouvelles équations aux équations données et faire la même étude sur un troisième système, composé du précédent et de ces équations nouvelles. Et ainsi de suite.

Il est clair qu'à la fin on tombera sur le cas I ou sur le cas II. En particulier, si l'on rencontre un système contenant plus de n équations, le problème sera impossible.

80. Cas où les équations sont données sous forme implicite. Soient

où H désigne une fonction de x,, Xj, ...,x„, ^,, Pî, ...,p,., les équations données. On prouvera, comme plus haut, que pour les valeurs de i et k, non supérieures à m, on doit avoir

On trouvera encore trois cas à examiner, et, en outre, un quatrième, qui avait échappé à Bodr et qui a été signalé par •Mater.

I. Les équations (3') sont identiquement satisfaites pour toutes les valeurs de i et k, non supérieures à m. Dans ce cas, la méthode de Jacobi exposée au § 19 conduira le plus souvent à la solution; dans le cas contraire, on emploiera celle du § 20.