III. On a, pour une ou plusieurs valeurs de i et de k

(H,-, Hi) = f{Xi ,x^,...,x„,Pi,..., p„).

Dans ce cas, on ajoutera les équations f=0, au système primitif, et l'on refera pour le système complété la même discussion que pour le système primitif, en comprenant le 4™" cas dans cette discussion.

IV. Enfin, il se peut que les équations (5') soient satisfaites, non identiquement, mais en vertu des équations (!') elles-mêmes. Cela arrivera toujours, par exemple, si les premiers membres des équations (!') sont dés carrés parfaits,

h^=0, hl = 0,...,hl,=zO,

puisque chaque terme de (H,, H^) contient le facteur hih^. Dans

ce cas, il faut bien recourir à la méthode du numéro précédent,

pour voir lequel des cas I, II ou III se présente.

Remarques. I. Soit :

On aura, par le théorème de Jacobi,

(Hy , Bm+i) = (Hy, (Hi, Hi)) = - (H/, (Ha, H,)) - (H*, (Hy, H,)).

Si l'on a déjà

(Ha,H,) = 0, (Hy,H,), = 0,

on aura, sans nouveau calcul,

(Hy,H,„4-)) = 0.

II. Que l'on emploie les équations sous l'une ou sous l'autre forme, en tout cas, il faut que les équations de chaque système considéré soient compatibles algébriquement.

81. Cas spécial, où il est inutile de recourir aux équations p — ^ = 0 (*). Supposons que l'on ait résolu , par rapport à p, , p^, ...,/?„, leswi équations H=0 du numéro précédent, puis que l'on ait remis dans ces équations ces valeurs de Pi,Pi, ... ,p„; elles deviendront des identités, et l'on aura, par suite :

SE m Sa. SE sp^ 1 li^ ... ^ —^ 0,

Sx Sp^ Sx Sp„ Sx

équation que Ton peut encore écrire :

SE SE S{p^-<p,) SE S(p„-^„) ' — ^= — -i- ••• -^ — «

Sx Spi Sx Sp„ Sx

On aura de même :

SE SE S(p,-^,) SE S{p„-à„)

Sp Spi Sp Sp„ Sp

même pourp égal à p,,/îî, ...,p„. Donc s - ^*H, SEk

(H., Hi) = 2 2 -- y- (p, - ^r, p. - h)' 1 1 Spr Sp,

Résolvons ces équations par rapport à (p^ — tp^, p, — i^,) ; le dénominateur de la valeur de ces expressions sera le carré du déterminant

H,, H^, ... , Hm

où l'on suppose d'ailleurs />„ p^, ...,p„ remplacés par leurs valeurs. Si ce déterminant n'est pas nul, en général, les équations (H„ H^) =0 ntraîneront les équations [p^ — i'r,p, — <p,) = 0, el, par suite, le quatrième cas n'étant pas à considérer dans l'analyse du numéro précédent, on pourra se servir uniquement d'équations de la forme (H;, 11^) dans l'application de la méthode de Bour. C'est, en particulier, ce qui arrive toujours dans le cas des

(*) La remarque de ce numéro est encore due à Matck (Math. Ann., t. IV, pp. 93-94).

( 178 ) équations linéaires, puisque le déterminant D ne contient plus