Exemple (*). Considérons les équations
linéaires par rapport à pi et p^, et auxquelles on peut par conséquent appliquer la méthode du n" 80, sans s'occuper du 4°"^ cas.
On trouve
(H, , Hj) = x^Pi — x^pi -+■ Xgp^ — Xtpf Posons
Hj = ajip, — XtP3 -t- iCsPs - x^Pt = 0 .
On aura :
(H„ H^) =- 2 (p.ps - a;,a;,) = - 2H, = 0,
On déduit des trois relations H4 = 0, Hj = 0, H3 = 0, les deux systèmes suivants de valeurs pour /)i, jpj,p3 :
XjfXg
Pi
Pi
Pi
p^Xt
^5= „ Pi
Le second système de valeurs s'obtient en permutant, dans le premier, les indices 2 et 3; la solution de la question dans un des cas donnera donc la solution dans l'autre, par la même permu-
(*) Ihschejvetskt, n» lOS, pp. 133-136; Collet, pp. 44-47; GaAii(Doa«E, n» 79-85, pp. 77-85. Nous donnons la même solution qu'IrnscnenETSKY; Collet en donne une plus compliquée, en partant de la solution commune suivante des équations, répondant au second système de valeurs des p :
/=ïja;,— x.xg (^j .
Cette valeur est trouvée au moyen de la solution Xt — x^x^x^p-^ de la première des trois équations linéaires aux dérivées partielles à intégrer. Graindohcb reproduit ces deux solutions sous une autre forme, et donne, en outre, une troisième solution par la méthode de Lagrange, une fois les valeurs de P,,Pj, p, obtenues. Voir un autre exemple, plus bas (n» 93).
talion. Prenons le premier système. On devra appliquer la méthode de Jacobi au système d'équations linéaires simultanées :
(Pi - x^xjp-', f) = 0, (Pi — x,x^ji, n = 0 , (P3 - p^ar^ir-', /") = 0 ,
où /"est une fonction de x, , Xj, X3, x^ et p^. Les deux premières de ces équations écrites toutes au long sont :
— --t--— XiX3P7* = 0.
Elles ont pour solution commune 6, =pt. Plaçons cette expression dans le premier membre de la troisième et nous trouverons une seconde solution commune aux deux premières, savoir 9j = p4Xf *. Il n'y en a pas d'autre distincte de 0, et B^. La solution commune aux trois équations devra satisfaire ensuite à l'équation :
-^ = —^ , ou — i = — i .
Celle-ci conduit enfin à la solution commune
Pt = ax^.
On déduit de cette valeur de pt, et des résultats précédents :
Pi=— ' Ps = — ' Pi = fX„
dz = - (a?jdx, -I- XjrfoTj) -f- a (x^tfXj -+- x^Xi) ,
s = - XiXj -+- 0X3X4 -+- b .
Par permutation tournante, on trouve une autre solution :
s = - X,Xj -4- ffXjX^ -H b .
