CHAPITRE IV

MÉTHODE DE CLEBSGH ET DE WEILER POUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES AUXQUELLES CONDUIT LA MÉTHODE DE JACOBI (*).

§ 22. HédtMClion d^un syatèine complet d'équations Unéaires à un «ygtètnB de JTacobi , ou tfanaforwèalion de Clebach.

83. Propriété d'un système complet. Soit un système d'équations linéaires aux dérivées partielles homogènes :

où

dz dz dz

Pour que les équations du système donné aient une solution commune, il faut que l'on ait pour les valeurs de i et de A, non supérieures à fi,

(A,A,. -AiAi)z = 0, (2)

comme on l'a vu au § 1 7. ^

Si ces relations sont identiquement satisfaites, Clebsch appelle le système donné un système de Jacohi ; si le premier membre des équations (2) est une combinaison linéaire des équations (i), il l'appelle système complet et nous savons que dans ce cas encore les équations (i) ont une solution commune, comme on l'a vu au chapitre précédent. Enfin si les équations (2) ne sont pas satis-

(*) Clebsch, Veber die simultané Intégration linearer partieller Differentialgleichungen (Journal de Crelle , t. LXV, pp. 257-268), pp. 257-266. Nous n'avons pu consulter le mémoire de Weiler, cité par Clebsch (Sclilomilch's Zeilschrifl fiir Mathematik, etc., t. VIIJ, année 1863, p. 264).

( isi )

laites pour toutes les valeurs de t et de A-, la méthode de Bour permet de transformer le système douné en un système complet, ou de voir qu'il n'a pas de solution. 11 suffit donc de considérer les systèmes complets et les systèmes de Jacobi.

Cela posé, soit donné le système complet (i). Soient ensuite :

Ms = miA,r-»- m,Aj3H -+■ myatAya2 = 0,

N5 = «jAj^ -4- n,A,2 -H H nuAuS ^ 0,

deux combinaisons linéaires des équations données. Il en sera de même de

On a , en effet ,

MNs = m^A^ (»iA,5 H- HjAjS -+- 1- nftk/iZ)

-♦- m, A, {nikiZ ■+' n^z H v- n/iA^z)

•+■ ni/tAfi (rijAiS-t- ;ijAj3 H H n/iAfiZ)

= (Mn, X A,: H »- M/lu X AoS) -♦- 2in,-fuA{AtZ.

Donc

(MX - XM) 2= 2 (M«, — Xnii) X A.s -t- 2m.«i lA.A* - A*A,) z.

La première partie du second membre est d'elle-même une combinaison linéaire des équations données; il en est de même de la seconde, à cause des équations (2). Donc enfin :

On peut remplacei' dans un système complet, un certain nombre d'équations, par un nombre égal d'autres équations qui sont des combinaisons des équations données, sans qu'il cesse d'être un système complet.

S4. Réduction d'un système complet à un système de Jacobi.

Soient

"il"». •••,«/»,

ft fonctions arbitraires, et déduisons les équations :

B,3 = 0, B^ = 0, Bs3 = 0,...,Bju2 = 0, (3)

( 182 ) des relations suivantes :

AjS =AiMi.BiZ -+- AjMj.BaZH h A

AjZ = AjMj.DiS ■+■ AjUj.BjSH h A

A/J.Z = A/;tMi . BiS -+- A/j,.u^ . BjZ H j- X/^Uy. . B^s . )

Le système (5) sera un système de Jacobi, c'est-à-dire que l'on

aura identiquement

(B,B* - BkBt)z = 0 (3)

Faisons, en elTet, dans les équations (4), successivement z = Wi,

z = «2, ... , z = M^. On trouvera , comme il est aisé de le voir :

BiMi = 1, BjM,=0, BgM. =0,...,B;,M, = 0,. . . . (6i) Bi«2 = 0, Bj?/s, = 1, B^u^ =0,...,BfjM^ = 0,. . . . (63)

BiM/A=0, B^U/j.= 0, B^Uy.= 0,...,Bf,.Uy.= l,. . . . (6y.)

c'est-à-dire :

B.Wi = 0, BiUi = l (6)

D'après le numéro 83, (B,B^ — B^.B,)z est une combinaison linéaire des expressions Az, ou, d'après (4), des expressions Bz. Donc :

(BjB;;. - BaB.) z = C.BiZ + CjBgS -+- C3B3S -i y- C/jByZ = 0. . (7)

Faisons dans cette équation z = «< , z = u^, ... , z = w^ ; il viendra

C, =0, Cj = 0,..., C^ =0,

d'après les relations (6,). Donc enfin l'équation (5) est identiquement satisfaite.

Corollaire^ Le système (3) de Jacobi est tel que l'on connaît (^ — 1) solutions distinctes de chacune des équations qui le composent, comme le prouvent les relations (6).

85. Intégration du système des équations Bz = 0. La méthode consiste, comme nous l'avons déjà dit, à chercher d'abord une

olution de la première équation, puis une des deux premières, mis une des trois premières, et ainsi de suite. Mais la solution ^e simplifie à cause du corollaire du numéro précédent. Supposons, en effet, que nous ayons trouvé une solution Qj des {i — 1) premières équations, différente des solutions connues immédiatement, savoir î/,, Wj+i, ..., U/j.. On posera :

e,=:BiOi, es = BiOj, etc.

9j, ôj, etc., seront encore des solutions des (t — 1) premières équations. Comme on ne peut trouver plus de n — {i — i) solutions communes pour {i — i) équations à n variables indépendantes, on est sûr que la série des valeurs

0j, 9j, ...,0r, M.-,Mi-H,... ,M/i. ........ (8)

ne peut contenir plus de w — {i — 1) valeurs distinctes; r est donc au plus égal à {n — pi). Nous chercherons ensuite, comme on a fait plus haut, une fonction

qui satisfasse à B,z = 0, Pour cela , on devra avoir

„ dô dô dd dO db

d^x dO^ dQr dUi dUfj.

A cause de la définition des 9 et des équations (6), cette équation auxiliaire se réduit à

d9 dO ^ dQ de

où Qr+t est une fonction des autres solutions des {i — i) premières équations Bz = 0. Ainsi l'existence des équations (6) simplifie la recherche de la série (8) et l'équation auxiliaire.

La solution complète du système (2) s'achève par les méthodes indiquées dans le chapitre précédent.

§ 25. méthode de IM^eite»' pouf l'itêtégfaHon de» »yg$étnea d''équalionê Uuéait'e» siinullanée» auac défitcéea partieMie» auxquel» conduit la tnélhode de Jfacobi,

86. Notations et conventions spéciales pour l'application de la méthode du ^précédent. Pour plus de facilité, nous écrirons comme suit les systèmes du n*" 67 :

AA = o,. (1,)

A,H„=0, A,H„=0, AsH„ = 0,...,A„iH„ = 0, . (!„-,)

et les systèmes transformés :

B„Hs = 0, B,,H, = 0, (i;)

B,,„,H„ = 0, B2,„-iH„=0, B3,„iH„ = 0,...,B„^i,„-iH„ = 0. (i;i)

Pour effectuer la transformation de Clebsch , nous nous astreindrons aux règles suivantes : 4" Les u seront les mêmes pour le système (1,i) et le système (IJ, sauf que l'on prendra, pour transformer (1,), une fonction Mj de plus; 2° Cette fonction w, sera une solution du système transformé (4î i); 3° Les systèmes (1,), (I2), (la),..,, (l„i) n'étant pas indépendants, mais chacun ne différant du précédent que par l'addition d'une équation, pour transformer un système (1.) quelconque, nous le supposerons remplacé par (i'i-i) auquel on ajoute l'équation AiH.+j = 0.

La fonction m, est arbitraire; Ui, ... , u„-i, sont telles que l'on a :

B,iMî = 0,

Bijt/s = 0, BggW, = 0,

B,sM< = 0 , BjsM^ = 0, B33«4 = 0 ,

Bj,n-2Mn-i = 0, Bi,n-iUi,-i'=0, B3,n-2Mn-l = 0, . . . , Bn-2,n-2Mn-t = 0. (2)

On aura d'ailleurs, comme dans les transformations du paragraphe précédent ,

Bii"i = 1, BjjU, = 1,..., B,i,,iu»i= 1, B.jU, = 1, B,5M, = 1,..., Bw«i = l. BmW» = *,•-,

Bi,.iu, =1, Bî,.u,= l, ' - (3)

87. Transformation de Weiler. Les formules générales de transformation sont, pour le système {!,), quand on n'emploie pas la dernière convention du numéro précédent, en faisant Hi+i = Zj

A,s =AiMi Bi,: + A,Wj Bi-H h AiU,|B|i,i2 +Âjti{ Bi,iï,

AjZ =A,Ui B),3-+-AjM, Bîi^H H A,fii iBi i,iS -t-A,Mj Bi,iS,

Ai-42=A,-|0,B|,s-*-A,-iu,Bî,s h -+- A,-|tt.iB,i,,s-H A,itt,B,,i5,

ka =AiUi Bi.:;-4-A,Uj Baz -i f-A,ii,iBi t,,z -f-AjU,- Bj^. (4)

Les (i — 1 ) premières de ces relations deviennent :

Bi, i-iz = Bi.i-tUiBjjZ -t- Bi,<iUjB4i3 -t- ••• •*- B|,i iu<iBj i, jS -+- Bi, .-iw.B^iS, Bj,j iZ = Bs,i iUjBt,3 H- Bi,,,u,Bj,z -♦- ••• H- Bî, ,j«,iB,i. ,s -H Bî, i-iUiBi^z ,

Bi-i,»-iS = B,i,f iUjBifS + B,i,,iUjBï,s h

-♦- B,i,i iu,iB.ij3 -+- B.i. ,iu,Bj,,z ;

si nous y introduisons la dernière convention (n° 86 , 3*). Les conventions relatives aux u donnent ensuite, d'après les relations (2) et (5) ,

Bi,i i2 = B|,iZ,

Bi-ï, i- iZ = Bi-i, ,s ,

B,i,,iz = B,i,,3-t-B,-i..iu<Bi,j3 (5)

Donc le système (1-) est le système (1î i), dont on a retranché la

dernière équation, et auquel on ajoute deux nouvelles relations

Bi,,,z = 0, Bi^z=^0, déterminées par les équations (4) et (5).

On peut donc représenter comme suit le système transformé :

DiHh-j = 0, DjH„i = 0, ..., C„2H„i =0,

D,H„ =0, D,H„ =0,...,D„2H„ =0, C„iH„ = 0.

Les opérations désignées ici par C et D sont déterminées par les

équations :

C,,F = D,iF -+- C,iWiCiF,

A,F = A(«i . DiF H h AiM< jDj-iF -t- XiUidF.

Au lieu du nombre d'intégrations indiquées au n° 77, il suffit, par la méthode de Clebsch et de Weiler, de chercher wie intégrale

de 1 équation différentielle d'ordre 2n — 2 pour trouver H,, de 2 équations différentielles d'ordre 2n — 4 » » Hj, de 2 » » « 2n — 6 « » H4 ,

de 2 équations différentielles d'ordre 2 pour trouver H„.

Toutefois il importe de remarquer que la simplification ne sera aussi grande que si les nombres analogues à r dans le paragraphe précédent ont toujours leur valeur maxima. Dans le cas contraire, la simplification s'arrête parce que l'on ne trouve plus des fonctions m en nombre suffisant pour l'efTectuer complètement.