CHAPITRE V

MÉTHODE DE KORKINE ET DE BOOLE.

[§ -24. Méthode de giofhintf (*).

S8. Idée générale de la méthode de Korkine. Dans la méthode de Clebsch et de Weiler, comme dans celle de Jacobi et de Bour, les systèmes d'équations simultanées sont traités absolument de la même manière qu'une équation unique, à laquelle on serait parvenu d'adjoindre, par bonheur, sans calcul, des relations entre les variables x, les dérivées partielles /), et des constantes arbitraires. Il n'y a aucune différence entre l'intégration d'un système d équations simultanées et l'achèvement de l'intégration commencée d'une équation unique.

Dans les méthodes de Korkine, de Boole et de Mayer que nous exposons dans ce chapitre et le suivant, on part encore des idées de Jacobi, mais de plus, on élimine une variable , chaque fois que l'on parvient à intégrer une des équations simultanées. La méthode de Korkine s'applique aux équations quelconques, celle de Boole aux équations linéaires générales , celle de Mayer également, et de plus, spécialement aux équations linéaires auxquelles conduit la méthode de Jacobi. La méthode de Mayer contient en outre une autre idée, empruntée à la méthode de Cauchy, savoir, celle de l'introduction des valeurs initiales des variables, comme constantes.

,'/ Korkine, Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, t. LXVIII, pp. 1460-1464, 1869, 1" semestre. Noos supposons que l'on fait disparaître la variable s des diverses équations, ce qui simplifie considérablement les calculs. La méthode de Korkine est la seconde méthode d'abaissement de BocR, commç il le dit lui-même. Le § 24 tout entier a été ajouté au Mémoire primitif, en 1874.

{ 188 ) Voici en quoi consiste la méthode générale de Korkine, Soient

ft{Xi,...,Xn,P„...,Pn) = ai, (J»)

f,n{Xi,...,Xn,Pi,..-,Pn) = am, (!».)

m équations simultanées qui satisfont identiquement, pour les valeurs de ^ et k, non supérieures à m, à la condition

(A-,A) = o ou 2 Intégrons l'une des équations (1) , par exemple (1^)? et soit

Sx Sx Sp' Sp

z-^u = F {Xi,...,Xn,yi,...,yn-i),

l'intégrale complète trouvée, u,yi, ..., y„i étant les constantes arbitraires. On sait, parle n° 15, que u accompagnez, comme nous le supposons ici. La relation (3) donne :

SF Sxi

,Pn

Si l'on suppose que u soit une certaine fonction des quantités i/, on déduira de l'intégrale complète (3) une intégrale générale, si l'on y adjoint les relations,

SF du

,qn-f

SF

oyn-\

du

dyy dyn-i

Dans la méthode de Korkine, on se propose de déterminer la forme de la fonction u en yi, ... , î/„i, de manière que l'intégrale

générale de(l„) dont nous venons de parler, satisfasse aussi aux autres équations (i,),..., {i„,) du système. Pour cela, déduisons des équations (4) et (5) les valeurs de

en fonction de

yt.y». •••, î/«.-»>a;„,9i, ... g—i,

et substituons-les dans les équations (i). La dernière deviendra une identité, puisque les équations (3), (4) et (o) donnent une intégrale générale de (!„,). Les autres se transformeront en un système de (m — l) équations simultanées entre yi, î/i, •••» y«-i.qi, ..., qm-ii jouissant des deux propriétés suivantes {*) ;

i" Elles ne contiendront plus la variable x„;

2° Elles satisferont à des conditions d'intégrabilité analogues à l'équation (2) , par rapport aux quantités y et q.

On déduira de ce nouveau système de {m — 1) équations contenant (n — i) variables indépendantes, un troisième système qui contiendra une équation et une variable de moins, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on arrive à une équation unique contenant (n — »j) variables indépendantes.

La méthode générale se simplifie un peu, quand quelques-unes des quantités p manquent dans l'équation /"„ = 0.

89. Démonstration de la première propriété du système transformé (**). Soit, après l'élimination de x,, ..., a:,, ,/?,, ...,p„,

P(y„...,î/.i,a;„,9i,...,g»i)=/;-^aJi,...,a;„,— ,...,— I

dft dx. dfi da;n-i dft êf

dXi dXn dXm-i dx,i dx„ Sx^

(*) Toutes les méthodes où l'on procède par élimination conduisent à des propriétés semblables. On en a déjà vu un exemple à propos de la méthode de Pfaff (n» 43). Les recherches de Lie rendront probablement inutiles toutes les démonstrations analytiques des théorèmes de ce genre.

(**) KoRKi>E énonce les propriétés en question sans les démontrer.

( 190 ) De mêmej des équations (5), on tire

^«F dx^ J^F dx„-i PF

^^y^êXi dXn

Sxj^^Sx„-i dXn ^lliSXn

S^Y dx^

S'^V dXn-l

Syn-iSx^ dXn Sy„-iSx„-i dXn Sy„--\SXn

L'élimination de ^S ••• > ^~\ entre ces équations, conduit à la relation

dfi dfi ) •••)

dXi dXn-l

d/) Jy

dWn SXn

Sy^^Xi Sy^SXn-i ^yi^Xn

Syn-iSx^ Syn iSXn-t Syn-iSXn

Multiplions les colonnes de ce déterminant, respectivement par

Sp^ Sp^ Sp„ '

et ajoutons-les à la dernière; remarquons, en outre, que