S^F ?[„, PF
^fm dpi SPi dyi
Sp„ SyiSXn
^Pn dyi
puisque /„ est identiquement nul, après substitution des valeurs (4) des quantités />, et posons :
dXi dpi
dx„ ^p„ '
il viendra
dXn-i ' SXn
^'Jl^Xn
D'où, chaque fois que le déterminant ^9,,...,g.- 1
ne sera pas nul, ce qui est évidemment le cas général,
~ SXn
Or, U est nul d'après l'équation
comme on va le voir. En effet, on a :
Sxk 1=1 ^Pi SxiSxk
Par conséquent.
Sxk
SU Spk
Sx, Spk
ISU J'F ^ ^ J/-,. S*¥ \ •t V<Jpi Sxjxi Sp^ Sx^SXk)
SPn
( 492 ) Ordonnons la somme du second membre par rapport à
ip, ^p^
l'équation précédente deviendra
^Pi \Ja-i ^Pi ^xl '*' Sp^ ^xjxj "*"
Sp^y^Xn Sp^Sx^SXn SpnSxlj~ '
OU, en abrégé,
Spi dXi Jp„ dXn
c'est-à-dire
Donc enfin, on a aussi
dXn
c'est-à-dire que les équations transformées ne contiennent plus x„.
90. Démonstration de la seconde propriété du système transformé. Considérons deux des fonctions/", par exemple, f^ et fi et soit posé, pour plus de facilité, après élimination des x, au moyen des relations qui donnent les quantités q,
A ^Xi,...,Xn, — >••"—] =î'(j/j,...,y„,,g^,...,çf„,),
/ ^F JF \
fç, \^Xi,...,Xn,~^'-->j-\ =^(yi,...,2/„i,9i,...,g„i).
En remplaçant dans le second membre de ces égalités les quantités 7, par leur valeur, on obtiendra les identités suivantes :
/ ^F SF \ I ^F ^F \
( SF SF\ I SF ^F \
On déduit immédiatement de ces identités, en dérivant par rapport à une quelconque des variables y :
Sq^ Sy
Sf Sqn-i\ Sfi Spi
Sqn-i Sij
/ Spi Sy Spn
Par suite, dans l'expression
^^Pn
^Pn Sy ' Sp„ Sy
Syi
Syi
Sqi
Sqi
entre , avec le signe — , la somme suivante de déterminants
Sf S^F
Sqi SytSyi
S't> J*F Sf
Sqn-i Syn-iSyi' Sqi
SQi Sy^Sy^ Sq„^ <îy,i(Jy,- %
Or cette somme est nulle , car la quantité
S*F est multipliée par
SykSyi
Sf S<;j Sf Ji Sqt Sqi Sqi Sq^
dans le déterminant correspondant à l'indice i; mais la quantité
est multipliée par
SyiSyk
Sf Srp Sf S<p
Sqi Sqt Sqi Sqi
dans le déterminant correspondant à l'indice k. Donc tous les termes se détruisent deux à deux.
{ iU ) Il résulte de là que la quantité (y, </-) est égale simplement à
Sf, SPn
spn Sy*
Sqi
Pour démontrer le second théorème de Korkine, il suffit de montrer que cette expression, que nous représentons en abrégé, par
iqi
^f/i est nulle.
Pour cela, il faut trouver -||-. , |^, et exprimer, en outre, que la substitution est telle que /i et f^, après la transformation, ne contiennent plus ar„.
Pour trouver — , dérivons par rapport à q les valeurs des fonctions y,/)i, ...,/>„, 7i, •.., </n-i, comme suit:
Sqi SXi dqi
Sp. dx, 0 = — — -.
SXi dqi
Sfi dxn-i Sft dpi
Sx„-i dqi Spi dqi Spi dxn-i dp y
Sxn-\ dq^ dqi
Sfi dp„ Sp„ dq^
Sp„ dx.
SXi dqi
Sq. dx, dXi dqi
Sq^ dx, Sxi dqi
SPn dXn-i dp„
Sx„-i dÇi dqi Sq^ dx„-i
Sxn-i dqi Sq^ dx„-i
Sx „-i dq^
Sxi dqi
iqn-l dXn-l
Sxn-i dq^
On déduit de là , par élimination des dérivées des x et des p, par rapport à ^j,
^x, Sx»—i
^Xi Jx,
Jg,
àqn
' dXj ^Xn-I
ôq^
Sq,-i Sq^-t
àXi
En multipliant la première colonne par ^,, puis ajoutant tous les déterminants semblables, obtenus en remplaçant 4^, par y|-» 4^, .... on trouve un nouveau déterminant nul et ne différant du précédent qu'en ce que la première colonne est
JA
^Pn
^Pl
^Pn
^Pt ^U'-t
^Pn ^y—i
tandis que les autres colonnes restent les mêmes.
Multipliant les lignes du déterminant ainsi obtenu, à partir de la seconde, respectivement par
puis ajoutons-les à la première ligne; celle-ci, à cause de l'équation suivante, déduite de (6,),
Sh ^su Sp,^ ^Sf, Sp„ \
Sx, Spi Sxi Spn Sxi r
Sf Sq, Sf Sqn-i \
Sq^^ S Xi Sqn-i SXi j
n'aura que
son premier élément non identiquement nul. Cet i
ment sera
UqiVpi ^'Ji ^Pn ^yJ j
Sf ISf, Sp, ^ ^ Sf, Sp„\}\
A cause de
Spi S'? Sq,
Syk SXiSijk SXi
la partie de cet élément précédée du signe — , peut s'écrire
Sf^ iSf Sq, ^ Spi [Sq, Sx,
s? Sq„^i\
Sq„-i Sx, I
^Pn VQl ^X„
Sf Sq„ \
lous donne encore
, au lieu de cett
Sp, \Sxi Sp, Sx,
Spn SXij
sh (SU ^ Sf, sp,
Spn SxJ
Sp„ \SXn Spi SXn
te déterminant dont l'expression (8) est le ])remier élément, étant nul, et les autres éléments de sa première ligne étant des
quantités nulles, ce premier élément doit être nul lui-même. Donc enfin,
2à ~r~ fa — 2i ~ ; *" ^^
Sqt ) ^Xi Spi 1 1 Spi Spi ?XiiXk
On trouvera de même :
i Sqi I Sxi Spi 1 1 Spi dpt SXiSxk
Soustrayant la première de ces égalités de la seconde, il vient
ce qui constitue la seconde propriété du système transformé.
On remarquera que nous n'avons pas exprimé explicitement que/', et/i, ne contiennent plus a;„ après la transformation. Mais on le suppose implicitement, en employant les équations (6) (*)].
§ 25. Éqtêftioms linéaire», .fiélhode fie Êtoole (**).
91. Forme spéciale des équations linéaires et de leurs condins d'inlégrabilité ("*). Soient à considérer m équations linéaires :
Hi = 6,iPi + ^ijPî H h 6,,nPs = 0,
(*) KoRKi.'^R conclut de ces deux théorèmes que le système donné à une solution , avec {n-*-i — m) constantes. La réciproque est plus facile à démontrer, en s'appuyant sur la théorie de Jacobi et de Bour, comme il est facile de le voir. Dans cet ordre d'idées, les grandes et pénibles démonstrations que nous donnons ici deviennent, inutiles.
(•*) BooLE, Treatise, etc., Supplément, ch. XXIV, pp. 68-69; cb. XXV, pp. 74-89. Collet, Annales de l'école normale, t. VII, pp. 47-37.
(•**) Voir sur ce sujet, outre les précédents, Iiscbesetskt, § 24, pp. 136-141. •Ni cet auteur, ni Grai.idobge n'exposent la méthode de Boole.
( 198 ) où entrent (m-»- n) = N variables indépendantes,
X^ . X^j , ,., X„i , Xm + 1 j • . . j X^ ,
et les dérivées de z par rapport à ces variables,
Nous pouvons déduire des équations données m autres relations dont chacune contiendra une seule des m premières dérivées. Pour plus de symétrie nous représenterons les variables
Xm-hi ) Xm+i, •••) Xs,
par
et les dérivées correspondantes par
Cela posé, les m nouvelles équations seront de la forme :
AjZ = Pt -t- Otiîi •+■ «1272 -1 i- ai,nqn = 0.
Aj3 =Pï -4- 021^1 -+- a^a^a H h ai,„q„ = 0,
X„z = prr.-i- a,n,,qi-i-a„,,iq^-i ■+■ am,„q^ = 0.
Les conditions d'intégrabilité, comme on le sait, par le § 17, sont toutes de la forme
ou encore, en développant :
g, (A.aii — Aao,!) + g, i^i^ki — ^kai■2) -h ••• ■+- q„ (A,aA„ — AiO,») = 0.
Il sera facile, au moyen de cette formule, de chercher les conditions d'intégrabilité et de compléter le système des équations don-
nées, jusqu'à ce qu'il ait pris une forme telle que l'on puisse y ippliquer la méthode d'intégration de Jacobi et de Bour.
92. Transformation des équations linéaires {*). Prenons de nouvelles variables indépendantes
On aura
Ui,U^, ...,Ux.
dz dUi dz du's
du, dJCi dun dXi
dz dui dz dws
du, dXm d«s da;„
dz dUj
^ du, dy.
dz dun du:n dy.
dz dui
dz rfus duy dyn
Substituons ces valeurs dans les équations Az = 0, elles deviendront :
dz dz
h,z =(A,w,)-— -t-..- + (A,Us)-— = 0, du, aw>-
dz dz
k^z =(A,tt,)-— H h(AjUs)— -=0,
du, dum
A,„s = (A„«,) -1- -f. ... + (A„Ms) T^ = 0. du, dun
On peut simplifier ces équations et leur rendre la forme des équations A^ ^ 0, en posant :
'(=x,, u, = a;j,..., u„i = x„, u„+iz=v„ u«+s = »»,..., «s = On-
(*) On pourrait démontrer que le système transformé satisfait aux conditions d'inlégrabililé; mais la chose est inutile (voir la note de la Gn du numéro 90) , d'autant plus que la méthode même suppose l'existence d'une solution z contenant (n-t- 1) constantes arbitraires.
( 200 ) Les équations transformées, à cause des relations
A„a;i = 0, A„a;2 = 0,...,A„a;„ = l, deviennent:
dz dv„
I d^\ / . N ^^ , . . dz
( dz \ . ds ds
Il est facile de faire en sorte que les {m — 1) dernières de ces équations ne contiennent plus explicitement x,. Supposons que
constituent avec Xj , 0-3, ... , x„, les (m h- « — i ) solutions distinctes de la première équation AiZ = 0, de telle sorte que
Ait>i = 0, AjVg = 0, ..., AiV„ = 0.
L'un quelconque des coefficients des {m — I) dernières équations, AjV, par exemple, sera une solution de Ai2 = 0; car, d'après le théorème de Jacobi :
A^Ag^i = AjAjU = AjO =: 0.
(*) Nous avons employé des parenthèses pour indiquer qu'il y a une différence entre les p et les ~ qui entrent dans les équations dont nous nous occupons ici. Si s était exprimé au moyen deXi,Xi,...,Xn,Vi,v^,...,v„,on aurait
\dx/ dx
suivant les notations que nous avons adoptées.
Donc AiV est une fonction des solutions x^^x^, ... , x„, Ui, ... , u„. La première équation se réduit dans le cas actuel à
ce qui prouve que le changement de variable a fait disparaître explicitement x, de la valeur de z.
Il résulte de ce qui précède que la substitution des variables
a7( , ajj , . . . , Xn ) ^1 ) ^2 ) • • • ? Wn , à
•^1 > ^îi •••■> -^m ) Vu Vî' •••y Vn i
transforme le système donné desm équations à (m ■+- ?î)variables, en un système équivalent de (m — i) équations à (m — i -4- «) variables et de même forme.
On pourra effectuer une transformation semblable sur le nouveau système et de proche en proche arriver à une seule équation linéaire à (n m- 4) variables.
93. Exemple (*). Soit proposé d'intégrer le système suivant :
^ „ du , dv
^jvl ' h xlœ. xlv = 0 ,
(tej dx^
dv dv
2Xi Xt v = 0,
dx^ dx^
^ dv dv
* dx^ * dx^
{*) Collet, Annales de l'école normale, etc., § 10, pp. 53 57. Les équations ne sont pas homogènes par rapport aux quantités p comme dans la théorie générale , mais il est cbir que cette circonstance ne complique en rien les calculs.
Méthode générale. Posons v = e', ce qui fera disparaître v de l'équation; on aura :
Hj = 2a;,a;4p, + xlx^p^ — a;| = 0 ,
Hj = a;,a;^p3 -i- x^x^x^J)^ — x^Xs = 0 .
On trouve aisément :
(H„H,) = 0, (H„H3) = 0, (H3,H,) = 0. On tire des équations données :
