CC- o
Pi —
Xi 1
Pz = -
XiXg XiX^
Les équations auxiliaires
(Pi-^,/')=o, {p,-'p,,n=o, (p,-^3,/')=o,
sont:
^f x: Sf xl Sf
Sx^ 20;, J~a;4 23;^ t^p^ ' , Sf x^x^ Sf x^x^ Sf
Sx^ x^Xi SXi x^xl Spi
La seconde de ces équations admet la solution.
e, z=: p^Xi .
En substituant cette valeur dans le premier membre de la troisième équation à la place de /", on trouve une autre solution :
Sa^ja^s 6s = T{XiPi — \).
( 203 ) Faisant la même chose avec e^, on trouve une troisième solution
Une fonction 9 (X3, 61,^2) sera aussi une solution de la seconde équation; pour satisfaire à la troisième, il faudra que l'on ait :
df) de de de de de &,
\ ô, H 9î = 0 OU -—4 6jH-- ^ = 0.
d^s dOj de, doTs d6i de, Xj
Cette équation a pour solution :
e' =^ = e ^fti^fPini)
On trouve une autre solution commune, en portant cette valeur B\ dans la première des équations auxiliaires. Il vient Bl = ^\ : x,. Une fonction e(x,,e',) sera une solution des trois équations, si l'on a :
db de e; Donc enfin la solution commune sera
On trouve alors :
p, = — ax!, Pj = \-ax\, Ps= — âcuTi^s, p4= nâoaîja;,,
3 = 16 -H a (XjX* — XiX\) -4- la:,a;4,
Méthode de Boole. Soit z = 0 , la solution commune des équa-
lions données. On aura, d'après la transformation du î\° 2, au lieu des équations données, en faisant v = x^,
^ „dz dz dz
^ * dxi " *dXi ' '^dXs
dz dz dz
k^z='2x2- a;4— --t-aîs-— =0,
dx^ dXf dXs
^ dz dz dz
AjS ^ X^X^ -— H XlX^X^ — V- XiX^Xg - = U.
ax^ dXf dXr,
La première de ces équations a pour solutions :
Mj = , U^ = (Tj , Wj = iTj , M^ =
Prenons pour nouvelles variables «j, Uy, u^, Wj, Ui, et le système se réduira aux deux équations :
dz dz . dz dz dz
(A^a;,) -— -I- (A^Mi) -— -t- (AjUj) -— -t- (A^Mj) -— -t- (Ajî*^) -7— = ^dx^ du^ du^ ««3 du^
dz dz , dz ,^ dz dz
(K^i) -r- + (A3W1 -T- -H (Astg ■— + (A3M3) -— -4- (A3M,) -r- = 0 diCj dUi oMj a«s a»«
Mais on a :
AgO;, ^0, Ajî<i=:2wi, k.^u^-=^x^, AjU3 = 0, AjM^zt: — 2«4, Asa;i = 0, A3Ut = 0, A3M2 = 0, A3M3 = a'aa;*, AjM^^O.
Le système devient donc :
dz dz dz du
i<i ha;j w^— — =0, — = 0.
dUi dajj aw4 da^j
On trouve comme solutions distinctes de la première, les fonctions
^ Wl
Zi ' Zj ^2^4,
qui satisfont aussi à la seconde. Il en sera de même de
-^ = F(x,Ut),
Xa
qui donne l'intégrale la plus générale du système des équations données , savoir :
ajj ou V = x^Xi F {x^x\ — XiXl).
Ce résultat s'accorde avec celui qui est donné par la méthode générale (*).
(*) Collet (Annales de l'école nom., p. b7) traite encore les exemples suivants :
Intégrale générale :
z = F (x\ + x\-\-xl-\-x\, a-,Xj + x^x^).
dz dz dz dz
2» X, x^- hx^- x^~— = 0,
dXj dx^ dxj dXi
dz dz dz dz
^3 3 — ^^*Z ^iZ .Tj— - = 0.
dxi dXi dxg dXi
Intégrale générale :
[x\^xl){x\ + x\],-^ ^ .
Imschesetsky, u» 108 , p. 138-141 , traite les équations suivantes :
Pj -\-{x^-^x^x^+x^x^)p^ + (x^+x.^ — ^x^)p^ = (i, Pi + {X iX^Xt +Xi— x^x^) p, + [x^x^ - x^)p,=0,
dont l'intégrale générale est
Graisdorge, n° 84, pp. 85-87 , donne l'exemple suivant :
^iPt +x\Ps = 0, x*p, — axjps + (xlx^ — 2Xs) pa — iXiX^pt = 0.
Intégrale complète :
2z 4- ax\x^ — axl +6 = 0.
Il donne aussi, n<> 85, pp. 87-89, l'exemple d'IascHBHETSKv.
