CHAPITRE VI
MÉTHODE DE MAYER POUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES AUXQUELLES CON- DUIT LA MÉTHODE DE JACOBI (*).
§ 26. Mntégration des système» d^équations totales linéaires inlégrables cotnplétetnent.
94. Correspondance entre les systèmes simultanés d'équations linéaires et certains systèmes d'équations différentielles totales('*). Toute équation linéaire aux dérivées partielles est équivalente , comme on le sait, à un certain système d'équations différentielles ordinaires (n" 52). Une correspondance analogue existe entre un système d'équations linéaires aux dérivées partielles et certains systèmes d'équations différentielles totales.
(*) Mater, Matheraatische Annalen, t. V, pp. 448-470 : Ueber unbeschrankl integrable Système von linearen totalen Differentialgleichungen und die simultané Intégration linearer partieller Differentialgleichungen. Lie a comparé la méthode de Mayer à la sienne, dans les Nachrichten de Gottingen, 1872, n» 2S, pp. 474-476. Mayeh cite comme lui ayant été utiles pour établir sa méthode, ou comme ayant quelque rapport avec elle, outre les recherches de BooLE : Natani , Ueber totale und partieller Differentialgleichungen (Journal de Crelle, t. LVIII, pp. 301-328), et une note de dd Bois-Reymond {ibid., t. LXX,p.312).
(**) BooLE, Treatise, etc., Supplément, chap. XXV, pp. 74 et suivantes, s'occupe de ces systèmes. L'analogie de sa méthode, exposée plus haut, avec celle de Mayer, est évidente. Mais Mater a eu de plus l'idée d'introduire les valeurs initiales des variables, comme l'a fait Caucht. [Le second cahier du tome LVl des Archives de Grunert, qui a paru seulement en avril ou en mai 1874, contient,pp. 165-174, un travail intitulé : Zur Intégration eines Systems linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, von L. Zajacrkowski , où l'auteur expose, comme complément de la méthode de Boole, précisément ce que nous résumons, d'après Mayer, dans les n»» 94, 93, 96; seulement, il démontre directement tout ce qui se rapporte aux conditions d'intégrabilité.]
Soient, en effet, les m équations suivantes :
dz dz dz . ^'f\ it \
etr, dyi dy^ dy^
dz dz dz ^- A ,t \
A^- = - Ha«,---»-a«,— -H \-a„„-— = 0, . . . (1„)
dXn, dyi dy^ dy„
z et les a étant fonction des variables indépendantes x,, ... , a:«.
Multiplions ces équations par des quantités quelconques i,, ..., i„ et ajoutons les résultats, nous trouverons :
dz dz
= ij-— -4- ••• -4- >.„- \-
dXi da:,„
dz ,
dy^
Toute solution des équations (1) est une solution de (2) et, par suite, égalée à une constante, est aussi une solution des équations simultanées suivantes, qui correspondent à l'équation (2) :
«te, dx„i dj/i ^^n
K~ ~ ira "'■Al«ll-« y-K,0-m^~ ~ >ia,„H HiraOran
ou encore des équations différentielles totales que l'on en déduit :
dyi = aiiAïr4-l-o„da:jH t-a™idr„, (5,)
<*y^=al»*''l^-«H<^»^ Ha„,sdir„, (3,)
d«/„ = a,„dx,-t-aj„«irjH \-a„rAx„, (3„)
Réciproquement, si une fonction z est telle que sa différentielle est identiquement nulle en vertu des équations (5), il est clair que cette fonction est une solution des équations (i).
Il résulte de là que l'intégration des systèmes de forme (1) est équivalente à celle des systèmes de forme (5) et réciproquement.
Clebsch ayant montré que, dans l'étude des systèmes de forme (4 ), on peut se borner à ceux qui sont tels que
on peut aussi, comme on va le voir, se borner à étudier certains systèmes (3).
95. Conditions nécessaires d'intégrabilité complète {unbeschrànkte Integrabilitàt). Nous ne considérons ici que les systèmes (5) qui proviennent d'un système de n équations entre (n ■+■ m) variables, de la forme
F (a?!, . .. , ajm, 2/i, ... , «/„) = constante,
par différentiation totale. Il résulte de là que les équations (3) que nous considérons, peuvent être regardées comme ayant pour solutions ti fonctions y de Xj, ... , x^ et de n constantes arbitraires. On a donc :
-± = ahk, z—=aik, (4)
dXh àXi
et par conséquent :
dXi dxh
Nous employons ici le signe d pour la différentiation, parce que les a contiennent à la fois les x et les ,v. On remarque que
dOhk Sahk Sank <?2/i
dXi èxi Sy^ êxi
Sahk Syn Syn SXi
c'est-à-dire, d'après (4) :
dUhk Sa^ Sank dXi Sxi ' ' Syi
Sahk Syn
ou encore, en tenant compte de la signification du symbole d'opération A,
duhk , / .
( 209 ) Par conséquent, les conditions (5) peuvent s'écrire sous la forme
Ai(aw)-Ah(a.*) = 0 (5')
Les conditions (5) ou (5') sont en nombre n. *" ^g~ . Elles doivent être satisfaites identiquement par les valeurs des y, puisque celles-ci contiennent n constantes arbitraires.
Les conditions (o) ou (5') sont donc nécessaires pour que le système (3) ait un système intégral de la forme indiquée. Nous dirons que ces conditions définissent un système (5) complètement intégrable. On verra plus bas qu'elles sont suffisantes pour que l'intégration soit possible.
On peut remarquer que les conditions (S') donnent
*=» dz
2 [Ai(a/.*)-Ah(att)]-— =0, (6)
*= 1 ayk
pour une fonction z quelconque. Mais on a (§ 17, n" 58) :
dz
(A,Aa - AftA.) s = 2 [A.- (om) - Ah (a.*)] 3- •
ayk
Donc les conditions (5) entraînent les suivantes :
AiAftS — AftA.z = 0 (7)
Réciproquement si celles-ci existent pour n fonctions z distinctes,. il est clair qu'elles peuvent remplacer les conditions (0) ou (5') , d'après la théorie des déterminants.
96. Réduction du Système (3) à m systèmes de n équations ordinaires du premier ordre. S'il y a vraiment n fonctions y qui satisfont aux équations (3), elles devront satisfaire en particulier aux n équations (4) suivantes :
— =aj„, . . .
Jx. = °"'^, = '^"'-'^=''"' ^**)
(210 ) où Xi, ... , x„ jouent le rôle de constantes. Soient
?i (x^ , . . . , x„, , i/i , . . . , y „) — Cl, (8j)
Pg (a?!, ..., ir,„, !/i, ...,?/„) = Cj, (8g)
le système intégral de (4i), où Cj, Cg, ... , c„ ne contiennent que
On peut se servir de ces équations pour effectuer un changement de variables, consistant à remplacer ?/„ ...,«/„ par Cj,..., c„. Il est facile de former les équations difféi'entiellcs totales qui doivent remplacer le système (5). On tire en effet de (8) :
, (S? <?? Syi df Sy,A
dc=[- ]r-r- -z 1- ••• -f-- ;^]dx.
\SXi Sy^êXi SynSxJ
^^^^I}^ ^^ ^\dx
Sx^ Syi Sx^ Sy^ Sx^
ou encore
Sf Sf Sy Sf SyA
i *"";r""; ^ '•' +-;, — ;: — \àxm\
Sx„, Sy^ Sx^n Syn êxj
'ILl Sf Sf Sf \
dc = Z {- h Ohi -r h ••• + a,,„ - — dXk.
I \^^h % ^ynj
Les fonctions ^ étant, par hypothèse, les solutions de (4), on a ^=0, et par conséquent les équations précédentes se réduisent aux suivantes, où nous employons le symbole d'opération A,
dCi = ^ Ahf idXh, (9j)
dc2 = 2iAft?2<toft, (9j)
dCr. = 2 khfndXh (9„)
Il est clair, d'ailleurs, que x, ne peut plus entrer dans ces équafions puisque les c ne contiennent pas cette variable. On peut le montrer encore comme suit. On a, à cause de k,f = 0
AiAftP = AaAiP = 0, ou encore,
diAnf) d(AAP) d(AftP) d'An?) ^
d^t dyi dy, dyn
ce qui revient à dire qu'après substitution des valeurs de»/,,...,y„ dans AftS la dérivée totale de A^o par rapport à a:, = 0. Il résulte de là qu'après la substitution dont il s'agit, les équations (9) ne contiennent plus x,. ,
On peut donc, sans inconvénient, mettre à la place de x, telle valeur particulière que Von veut, sans que les équations (9) changent.
On voit que la transformation que nous venons d'efifectuer remplace le système (3) par un autre contenant un nombre égal d'équations et une variable indépendante de moins. On peut remplacer le système (9) par un système analogjie contenant encore une variable x de moins et ainsi de suite, car le système (9) est évidemment complètement intégrable. puisqu'il est équivalent à (5). On voit donc qu'en continuant de cette manière, on peut ramener l'intégration de (3) à celle de m systèmes de n équations analogues aux équations (3).
97. Détermination de ces systèmes successifs. Si l'on introduit les valeurs initiales des variables y comme constantes, on peut établir immédiatement les m systèmes dont nous avons parlé à la fin du numéro précédent. Nous appellerons y^y», ..., y Mi ces valeurs initiales correspondant à x, = x,o.
Pour le montrer, nous résoudrons les équations (8) par rapport à y,, ... ,y„. Nous trouverons ainsi
yt = ']>Axi,---,x,.,,c^,...,c„), (!0,)'
Si l'on suppose que les c soient déterminés d'une manière convenable en fonction de ac^, ... , a:„, , ces équations donneront la solution des équations (3), et, par suite, on trouvera les n relations équivalentes aux équations (9) :
-.dc,^...^ --de. = ^a,, - ) dœ, + - -»- (a„.- — j da>^, (11,)
dc,-^...-^-dc„=^a,„--jd^,-*-- + ^a„„-— jd^„.(ll„)
Les Xi n'entreront pas dans ces équations équivalentes à (9), et les dxi en ont disparu aussi à cause de cette équivalence. On peut voir directement d'ailleurs que dxi devait disparaître des équations (H). En effet, les <p étant des solutions du système (4^), on a
Introduisons maintenant les valeurs initiales comme constantes. Posons
P (^1 j • • • > ^m j !/l ) • • • » J/n) = f (^10 5 a^î » • • ■ , X„i , t/io , J/jj, . . . , y^j) = C, ,
et déduisons des n relations contenues dans cette équation :
î/i = %i (a;i,---.a;„.,î/io,---.2/«o), (10;)
î/n ^^ %» (''^l) ••• ) ''^mi î/iO) ••• î î/no) (^"n)
On aura , pour ces fonctions % comme pour les -p :
équations qui sont indépendantes de a?,, comme les équations
équivalentes (11) ou (9). Faisons-y x, = x,o, elles ne changeront pas. Dans cette hypothèse, %, se réduit à ^,o, ... , %„ à ^„o et , par suite, le système (II') est remplacé par celui-ci :
On a ajouté un 0 aux indices a pour indiquer que l'une des variables Xi y a été remplacée par sa valeur initiale x,o.
Il est clair que ce système (12) est encore complètement intégrable. En effet, il a pour solutions le système intégral du premier. On sait d'ailleurs que les conditions d'intégrabilité (o) ou (5') étant identiquement satisfaites pour une valeur quelconque de x, le sont encore pour la valeur spéciale Xjo.
Il est facile d'écrire les systèmes successifs de n équations si l'on convient d'ajouter les indices 1,2,5, ...,(jh — 1), aux indices des quantités y et a pour indiquer que l'on y remplace successivement x,, x^, ..., x«i par leurs valeurs initiales, mais cela est inutile, comme nous allons le montrer.
98. Réduction de Vintégralion des m sjjslèmes auxiliaires de n équations à celle d'un seul système. Il y a un cas où l'on parvient immédiatement à terminer l'intégration. C'est celui où la valeur spéciale de x,, savoir Xjo, est telle que pour cette valeur, tous les a qui entrent encore dans les équations (12) s'annulent. Dans ce cas, le système (12) donne
(/,Q = constante , . . . , j/„o = constante ,
le problème est complètement résolu et il est inutile d'effectuer aucune transformation ultérieure.
Nous allons montrer que l'on peut dans tous les cas, par un changement convenable de variables indépendantes, faire en sorte que celte simplification se produise. Posons
X^ = X^iu^,...,U„), .., JVr. = X„ («,,..., «„,) (13)
( 214 ) Le système (3) deviendra :
rf?/t = b^^dui -4- b^^du^ H h b,„idUn, (UJ
dyn = b^„du^-^b^„du^-\ i-b„ndu„, (14„)
où :
bii = 2-r—au,.,.,bmi = 2~-aii, (15,)
1 àUi 1 dU„,
Ce système nouveau (14) sera complètement intégrable, puisque son système intégral se déduit de celui de (5). De même, si l'on
pose
Js J=" . dz
<?Mj j = l dUj
on aura :
B,-B,.s-BaB.3 = 0,
ce qu'on vérifie aisément d'ailleurs par le calcul.
Pour intégrer (14), nous cherchons d'abord le système intégral des équations
et nous y ferons entrer les valeurs initiales ?/,o, ..., t/„o qui correspondent à la valeur ^l^o de «j. Le système (14) sera remplacé alors par
dy 10 = b^wdi^ 2-^ ^KiodUni, (17ft)
%«o = ^2«o*'2-« l-6,„„od«,„ (17„)
Choisissons maintenant les équations (13) qui définissent la substitution de telle manière que l'on ait
dt/,o = 0,di/2o = 0,...,dy„o = 0. (18)
( 215 ) Pour cela, posons simplement
a;, =a:,o -H (m, — «lo) «i (13i)
X,n ^mo "t" ("l ^10/ ^m ) ('5m)
u, , Vj, ..., Va, étant des fonctions de î/j, Mj, ..., î<„ qui laissent les variables x vraiment indépendantes, x,o, ...,a;„o d'ailleurs étant choisis de manière que les a restent finis et déterminés, enfin, tels que l'hypothèse Wj = Mio ne rendant infinie aucune des fonctions V. On aura pour 6^^ quelconque, h étant supérieur à 1 :
i=l àUh
Donc, pour i/j = «,o, b^ = 0. Les équations (17) se réduiront donc aux équations (18). Ensuite, on aura
6u= 2 aiiVi -+- (u, — «lo) 2 i^Oii,
i = l , = ldUi
expression qui ne devient ni nulle ni infinie pour u = u^o, et par suite les équations (46) ne prennent pas une forme illusoire.
La solution du système (5) est donc ramenée à celle des équations (46). On fera entrer dans le système intégral de (16) les valeurs initiales des y quand Wj = m,o. On aura ainsi, avec les équations (15'), 2n équations entre les x, les y et les t/. Éliminant les M, on aura le système intégral de (3).
Remarque. La forme la plus simple des équations (45') est celle-ci
iTj = 37,0 -»- (m, - «io)Hj,
a^n = 3^/10 -*- («I — «lo) «n.
les constantes étant choisies de manière que les a ne soient pas infinis pour Wj = ?/jo. On a , dans ce cas,
bu = Cllk ■+■ UiOu -+-••• -h Umamtc ,
' bik = (w, — Wio) «tt ,
ce qui montre que l'on peut transformer les équations données, d'une manière très-simple.
§ 27. Mntégi'ation de» équation» auae déiHvée» partielle» dt* pt*entiei' ofdfe.
99. Intégration complète d'un système de Jacobi. Considérons maintenant les équations :
dz dz dz
AiS = - Ha,i^-H l-ai„-— =0, (1.)
dx^ dyi dij„
dz dz dz
A„z=-- Ha„i--H ha„„— - = 0 (1„)
dx„, dy^ dy„
Pour en trouver le système intégral, nous le transformerons, par
les substitutions
a^i =^10 -+-("! — wjvi, (13;)
en celui-ci
où l'on a
Xnt = X„,o-i-{Ui—Uio)V,^, (13À)
dz dz dz
B,z =— -i-fc„ +...-t-fcj„__ = o, (i;)
dMj %i dy„
dz dz dz
dUm dyi dyn
bit = 2 aikVk -+• («1 ~ Mio) 2 -T- C'i'' »
6a* = ("i — "lo) 2 -zr- (^ik ■
( 217 ) Cela posé, on cherchera le système intégral des équations :
et l'on exprimera les constantes en fonctions des valeurs initiales y 10, —j V„o des variables y pour w, = m,o. Ce système intégral sera en même temps celui des équations différentielles totales :
d(/, =:b,,dH, -t-6îid«i H y-b„idu„, (14,)
dy„ = b^„du^-^-bindu^-^ »-6™„d«„, (14„)
si l'on regarde t/,oj •••» yno comme des constantes. Tirons des équations qui donnent ce système intégral les valeurs de y,o, ...,y,0' Les équations ainsi trouvées
satisfont encore au système (14), et par conséquent, d'après la correspondance qui existe entre les systèmes (14) et (1), ces équations (48) constituent le système intégral de (i'). Éliminons-en w,, ... , u„ par la substitution inverse de (15j et nous aurons la solution complète du système (I).
Remarque. Les systèmes (1) doivent rarement être intégrés complètement. En général, on n'a besoin que d'une seule solution des systèmes de ce genre. Il est donc de la plus haute importance de montrer comment l'on peut déduire une seule solution de {i) d'une seule solution des équations (16).
100. Théorème de Mayer (*). On peut déduire une solution du système (!') de chaque solution du système (16). Soit
F (u,, M,,.. ..u™,yi,...,y„)= constante, (19)
(*) Lie, dans les Nachrichten de Gôllingen, 1872,0» 25, p. 473, a très-bien fait remarquer toute l'importance de ce théorème de Mayer, qu'il n'avait pas rencontré dans le développement naturel de sa propre méthode. Au fond , ce théorème est une traduction, pour les systèmes ici considérés, du théorème de Poisson , ou mieux de Jacobi.
( 218 ) une solution du système (IG). Si l'on considère les solutions
?yi = Pi(Wi....,w„,!/io,?y2o,---, 2/no). CA)
!/n = P«(M,,...,M„,î/io,2/20;---,?/no). (20„)
de ce système (16), on sait que, pour w, = Wio? les quantités yi, ...,y„ deviendront t/io, ..., ?/„,. Donc, pour «i = t/,o? on aura :
U = F(«,,Uj,...,M,„,yi,,..,?/„) - F (m, o,Mg,.. .,«„,,?/,„,.. .,î/„o) = 0, (21)
lorsque les y sont remplacés par leurs valeurs dans F.
D'après ce que l'on a vu plus haut, si l'on regarde i/io, •••,?/„« comme des constantes, les relations (20) satisfont aux équations (14), ou aux équations
-r— = hk.
Or, on déduit de (21), dans la même hypothèse :
ou encore
c'est-à-dire ,
Ji<A ' (?2/, éUh ' ' Sljn Sui,
m SI] m
