r- 6/.I H H -— hn

On peut encore arriver à ce résultat, au moyen de l'équation B,F = 0, identique par hypothèse. En effet, on a

B, (BftU) = Ba (B^U) = B/. (BjF) = 0

Donc BftU, quand on y substitue les valeurs (20), a, comme U, une valeur indépendante de î/, Mais pour i/, = u^Q, comme »/,, ..., y,, deviennent yio,--, y„o, U est nul et par suite B,,U aussi. Ainsi la fonction U est telle que l'on a :

quand on y remplace les y par leurs valeurs (20); de plus, par hypothèse, la première des équations (22) est identiquement satisfaite. Mettons maintenant l'équation (21) sous la forme

yio = Ui(Wi,«j,...,t/™.j/i,...,y„,yio:---î!/'.o) • • • • (23)

On aura , à cause de (22), identiquement encore :

puis,

quand on substitue les valeurs (20) aux y. Aucune de ces équations (25) ne peut être une conséquence de (23), parce qu'elles ne contiennent pas y,o. II peut se présenter deux cas. Ou bien toutes les équations (25) seront identiquement satisfaites comme (24); alors U, est une solution commune cherchée des équations Bz = 0. Ou bien, on pourra en déduire encore y^oj — j Vm en fonction des w, des y et des constantes restantes. S'il en est ainsi, on opérera sur les nouvelles valeurs trouvées comme sur (23). En continuant toujours de cette manière, ou bien on trouvera une solution commune des équations Bz = 0 , ou bien on arrivera à exprimer toutes les valeurs des î/o pn fonction des y et de u, et les équations ainsi trouvées seront équivalentes aux équations (20) qui donnent la solution complète des équations (14) et par suite des équations (!') ou (1) elles-mêmes.

101. Application à l'intégration des équations linéaires auxquelles conduit la méthode de Jacobi. La méthode de Jacobi, appliquée aux équations aux dérivées partielles du premier ordre, ramène lintégralion de celle-ci à celles de systèmes linéaires de la forme :

A/=0, A/=0,..., kf,f = Q, OÙ

y étant le nombre des variables de l'équation aux dérivées par

tielles donnée, et par suite (2y — p) étant le nombre des variables indépendantes contenues dans le système A/', savoir :

Xi,Xi,...,Xij.,a;y.+i,...,xv,P/jL+t,..- ,Pv.

En appliquant la théorie précédente, on devra faire

m = ix, n = 2 (y — jj.).

Pour trouver une intégrale du système A/', il faudra donc en trouver une d'un système de 2 (v — /u) équations ordinaires.

La méthode de Jacobi conduit à v (v — \) systèmes auxiliaires, contenant respectivement 2, 4, 6, ..., 2 (y — \) équations. Donc la méthode de Mayer pour intégrer une équation aux dérivées partielles nécessitera seulement la recherche d'une intégrale unique de

1 système de 2 [v — 1) équations différentielles ordinaires, 1 » 2 (y - 2) » »

1 système de 4 équations différentielles ordinaires ,

On arrive à ce résultat en faisant /x = i, 2,..., (y — 1), dans la conclusion donnée plus haut. On remarquera que la méthode la plus favorable, celle de Weiler et Clcbsch, exige un nombre presque double d'intégrations (voir n" 87).