CHAPITRE I

EXPOSITION GÉNÉRALE. TRAVAUX DE CAUCHY (*). § 28. Caa 4e« éqwtHiott* ék deitae vnfiahie» i»idépc**da»%î0t.

10^. Idée générale de la méthode de Cauchy, dans le cas des équations à deux variables indépendantes. Considérons l'équation :

et supposons que Xq, t/o» ^o? Po> 9o soient les valeurs initiales de X, y, z, p, q liées entre elles par l'équation :

/'{^a^yo.ao. Po,9o)=0 (2)

(*) Cauchy, Exercices d'analyse et de physique malhémalique, t. II, pp. 238i72. Le § I que nous analysons ici est la reproduction d'un article publié, en janvier et février 1819, dans le Bulletin de la Société phiiomalique. L'examen du cas spécial oîi la méthode de Cauchy est en défaut, a été fait par Serret, dans les Comptes rendus, t. LUI, pp. 598-606, 734-743, ou Annales de l'école normale supérieure, t. III, pp. 143-161. C'est Bertra.nd, qui a signalé dans les Comptes rendus, t. XLV, pp. 617-619, l'existence de ce cas singulier, en prétendant, à tort, selon nous, qu'il se confondait avec le cas général. Ossian Bo>net (C. R. t. LXV, pp. 581-383) a donné une démonstration de la méthode d'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables indépendantes, qui permet d'éviter la difficulté signalée par Bertrand. La méthode de Cauchy est aussi exposée dans Imschenetsky , pp. 191-200. Il renvoie pour les travaux de Serret à la 6™« édi-

Soit u une fonction de x et dey; on pourra imaginer que y, z, p, q soient exprimés au moyen de x et de u. Dans cette hypothèse, on aura :

dz

dx

dy

dz du

du

Dérivons l'équation (3) par rapport à t/, l'équation (4) par rapport à X, et retranchons le second résultat du premier, nous trouverons :

dp dq dy dq dy

du dx du du dx On déduit ensuite de l'équation [ï) :