ÎL^H^^U.'^^^IL^^IL^^Q
Sx $y dx Sz dx Sp dx ~Sq dx ' • • • • w Sf dy Sf dz Sf dp Sf dq Sy du Sz du dp du Sq du
Substituons dans cette dernière les valeurs de ^' ^ tirées de
^f ,, au du
(4) et (5), ou multiplions (4) pai"— f^? (5) par — ^ , et ajoutons-les à (7). Il viendra :
''J.I'UîL,^îL1\^'!l{!L'l'>y.\ = , . , .(8)
du \ Sy Sz Sp dx j du\ Sq Sp dx )
tion du Traité élémentaire de calcul différentiel et intégral de Lacroix, avec notes de MM. Hermite et Serret, t. II, pp. 257-282, ouvrage que nous n'avons pu consulter. Voyez aussi Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, t. Il ,pp. 624-649.
Cauchy a ajoulé à son premier mémoire de 1819, des notes, à nos yeux, de la plus haute importance, oîi il généralise sa méthode d'exposition.
Jacobi, Vorlesungen, pp. 064-376, a donné une exposition a posteriori de cette méthode ou plutôt celle de Pfaff modifiée par lui; Mayer a montré le moyen de trouver en tout cas une intégrale complète dans le mémoire intitulé : Veber die Jacobi-Hamillon''sche Integrationsmethode der partielle Differenlialgleichungen erstér ordnung (Mathematische Annalen, t. III, pp. iôo-452). L'exposition générale de la méthode de Cauchy, donnée par lui, en 1841, contient implicitement ces recherches de Mayer.
( 223 ) La fonction u étant encore indéterminée, nous pouvons poser :
-L L ji = 0, (9)
Sq Sp dx
ce qui réduira l'équation (8) à :
IL^'l.^îL^^o „„)
Sy Sz ^ Sp dx
Enfin, ajoutons à l'équation (C), l'équation (5) multipliée par — |^ > l'équation (10) multipliée par — ^, l'équation (9) multipliée par — ^' '^ viendra :
Sx Sz Sp dx
Les équations (5), (9), (10), (H) peuvent se mettre sous la forme suivante que nous avons déjà rencontrée (n° 57) :
dx__dy^ dz —dp — dq
Sf ~ Sf ~ Sf Sf ~ Sf Sf~Sf Sf'''
— — p \- q — HO — \- q —
Sp Sq Sp Sq Sx Sz Sij Sz
Ainsi, toute solution de l'équation (1) jouit de la propriété suivante : on peut choisir une fonction u de x et de y, telle que les équations (12) soient vérifiées, en même temps que l'équation (4)
du du
Il importe de remarquer que le système (12) ne contient que des dérivées par rapport à x; il conduira donc à un système intégral de la forme :
!/ = A(^,!/o,2o,go)i (13.)
P=fzi^,yo,So,Qo), (13s)
q = fi{x,yo,Zo,qo), (13J
d'où l'on a supposé po éliminé au moyen de la condition (2), et où
u n'entre que dans les constantes de l'intégration de (12), savoir r/o. Zq, q^. Ces constantes contiendront u de telle sorte que l'équation (4) soit vérifiée.
Réciproquement, tout système intégral (13), des équations (4) et (42), où les valeurs initiales satisfont à la relation (2), donnera une intégrale de l'équation {i), telle que les valeurs initiales satisferont à la même équation (2). La relation entre x, y, z s'obtiendra en éliminant u entre {i'5^) et {15^), et les valeurs de p et de qr, trouvées par élimination de u entre (13,), (ISj) et (IS*) seront précisément^ et ^- En effet, les équations (12) et (4) permettent de remonter aux équations (6) et (7), ou
df df
dx du
On déduit de celle-ci df =^ 0, ou /'= constante. Cette constante est nulle à cause de la condition (2). Donc, en premier lieu, les équations (42) satisfont identiquement à la relation (1). Ensuite, on déduit des équations (3) et (4)
dz = pdx -H qdy .
Si donc l'on prend pour variables, x et î/, on aura :
dz dz
dx ' dy
L'intégration de l'équation (1) est donc ramenée complètement à celle du système des équations (12) et (4).
103. Détermination d'une intégrale de (12) satisfaisant à (4). Supposons que l'on ait déterminé le système intégral (15) des équations (12). Par hypothèse, on peut le mettre sous la forme :
y = yo-^{x — ^o)'Pi('^>yo,Zo,Qo), i^'^t)
z = Za-^ {x — Xa) 'Pi{x,yo,ZQ,q^), (I4j)
P = Po-*-('^—i^o)'Pi{^>yo>^o,<lo)y i^*s)
q = qQ + {x — Xt)<Pi{x,yo,Zo,qo) (14<)
Si ces équations ne satisfont pas identiquement à l'équation (4),
on aura
du du
On déduira des équations (4') et (3), l'équation
dp dq dy dq dy dl du dx du du dx dx
comme on a trouvé (5) au moyen de (4) et de (5). Les équations (5), (4) , (5) , (9) et (10) donnent l'identité (7) ; de la même manière (5), (4'), (5'), (9) et (10) donneront une équation, qui en vertu
de (7) deviendra :
Sf d{ Sf I-^-t-— ^ = 0 (15)
Sz dx Sp
On déduit de celle-ci i
It
Sz
Pour que I soit nul, il suffira en général que Iq soit nul. Or, on a :
Par conséquent, on doit avoir
du du
On peut satisfaire à cette équation des deux manières suivantes : 1"* Si l'on suppose que
pour X = Xq. on aura
et 1 équation (46) sera identiquement satisfaite. Dans ce cas, on trouvera l'intégrale générale, en éliminant y^ et par suite «, entre (1di) et (150 1"' deviendront ;
yi = /'i {a^,yo, ?tfo,p'yo), es;)
y» = fAx,yo,?yo^f'yo) - • (15',)
2° On peut prendre pour Zq et y^ des constantes arbitraires qui ne contiennent pas u, et ^o contiendra seul u dans les équations (43). On arrivera dans ce cas à une solution complète contenant deux constantes arbitraires Zq et y^, en éliminant ^o entre les valeurs de 3/ et de z (*).
104. Examen (Tune objecti07î de Bertrand. Bertrand a fait, contre le procédé de démonstration précédent, l'objection trèsspéçieuse que voici. On pourrait, dit-il, au moyen de ce procédé, prouver que toute fonction fX qui s'annule pour une valeur Xo de X, s'annule pour toute valeur de x. En effet, posons
XX = — <px
On aura :
I f'X ^ , <fX
TTXdx = / — dx = log. — *^ VT, (BCr..
Donc
fx far,
/ Vxdx fx = fXie ^t (14)
Pour Xi = Xo, fXi = yXo = 0, d'où il semble que l'on doive conclure par le raisonnement de Cauchy, que l'on a rfx = 0, pour toute valeur de x, ce qui est absurde.
Cette objection, très-juste en général, ne nous semble pas applicable au cas spécial traité par Cauchy. La fonction tzx, dans l'exemple de Bertrand, est liée de telle manière à la fonction yx que les zéros de celle-ci sont les infinis de celle-là et réciproquement. L'équation (44) prouve que
/ TCxdx
TTxdx, yrx,
convergent vers l'infini, en même temps que x, converge vers Xo, ou fXi vers ^Xq.
(*) Les auteurs cités en tête de ce paragraphe, c'est-à-dire Serret et Imschenetsky, ne se sont pas occupés de ce second cas, pourtant d'une importance capitale, et signalé par Cauchy dans les notes ajoutées, en 1841 à son mémoire primitif de 1819. Cela provient de que ces auteurs font « = ?/„ tandis qu'il faut laisser à u toute son indétermination afin de pouvoir faire au besoin , « == j/^, ou u = Çg.
Dans le cas spécial traité par Cauchy, il n'en est pas de même. Posons :
Il est clair que cette fonction tt, quand on y substitue les valeurs de y, z,p, q données par les équations (15) ne sera pas infinie, pour toute valeur de x, parce qu'elle contient des constantes arbitraires ou une fonction arbitraire. Par suite
ne peut devenir infinie que si tt = oo, pour x = Xq. En effet, si TT était infinie pour une autre valeur, en restreignant suffisamment l'intervalle (x — Xq) , cette intégrale serait toujours finie. Il ne peut donc y avoir d'exception que si l'on a , à la fois,
/'(a?o,yo,?'î/o,Po.f'!/o) = 0 (is)
'r(a;o,!/o,f!/o,Po,P'î/o) = « (16)
Cela ne peut arriver que si l'on prend la forme spéciale de la fonction f déterminée précisément par ces équations. Dans ces cas particuliers, si t croît indéfiniment, en étant négatif, quand X converge vers Xo, l'intégrale
f^ràx
sera finie, ou infinie et négative. Dans ces deux cas, on pourra encore conclure I = 0 de lo = 0. Dans le cas contraire , il faudra calculer I directement. Si l'on trouve I différent de zéro, on peut en conclure qu'il n'y a pas de solution telle que pour x = Xq, z=^y, rien de plus.
Il se peut que l'équation t = oo , au lieu de donner une forme de f pour laquelle on n'ait pas, à coup sûr, 1=0, donne au contraire une valeur x = Xo, telle qu'il soit douteux que 1 = 0. Dans ce cas, si réellement I n'est pas nul, on doit conclure qu'il n'y a pas de solution qui permette de donner à x la valeur initiale Xfl. Ce cas d'exception ne semble pas avoir été signalé.
105. Remarques. I. Dans le cas où l'équation est linéaire et de
la forme
Pp + Qg = R,
les deux premières équations auxiliaires sont celles de Lagrange :
dx dy dz
et elles suffisent pour résoudre complètement la question (§ 5).
IL Si les deux équations {\'5^) (ISj) ne contiennent pas qo, on en déduira :
î/o=?'i(«»î/,z). Zo=?i{x,y,z);
Par suite, à cause de Zo= <fyo, on a pour l'intégrale générale-:
fa = f (Fi).
Celle-ci conduit à une équation linéaire. Les équations linéaires sont donc les seules qui conduisent à des intégrales du système auxiliaire telles que les valeurs de z et de y ne contiennent pas qo. La réciproque est évidente d'après la remarque précédente. •
IIL En exprimant que les valeurs données par les relations (13) satisfont à l'équation (4), quand on suppose Çoseul fonction de w, on trouve :
relation qui prouve que /à et /i contiennent à la fois qo, ou en sont toutes deux indépendantes, sauf dans le cas ou /i = 0 (*).
(*) Serret, qui fait w= j/^, z = yt/o, Qo = f'î/o. essaye de démontrer ce ihéorème comme suit. L'équation (4) donne, dans cette hypothèse :
« Cette équation, dit-il, devant avoir lieu identiquement, les termes multipliés par ^ doivent se détruire. On a donc identiquement
Ce raisonnement nous semble sans force probante , puisque f"yo n'a pas une valeur indépendante de celle de z^ et q^.
