Exemples. I. Soit l'équation
xy=pq.
Les équations auxiliaires seront :
dx dy dz dp dq q p 'ipq y ~ X
ou, en multipliant par xy =pq :
pdx = qdy =-dz = xdp = ydq,
c'est-à-dire
dx dp dy dq p q
— = — > — = — > dz = — • zxdx = — -sudiJ, X p y q X y
On trouve immédiatement pour intégrales : avec la condition :
^oyo=Po9o-
En multipliant entre elles les deux valeurs de (z — Zq), on trouve
intégrale complète contenant une constante supplémentaire Zo, si on regarde Zo comme arbitraire.
Pour avoir V intégrale générale j il suffit dajouter à celle-ci la relation
ou
(2-2o)9o = (^' — a;;)yo,
qui est d'ailleurs identique avec l'une des relations données plus haut
(z-ao)a?„ = (a^-a;;)p,,
(*) Caocht, Exercices, etc., t. II, p. 249.
quand on tient compte de /JoÇ'o = ^o^o- II. Soit l'équation
2xz —px^ ■+• qxy -\- q^x = 0 .
Les équations auxiliaires sont :
dx dy dz —dp — dq
— x^~ xy-h- '2qx q^x — 2xz ~ px ~ Zqx
Elles conduisent au système intégral suivant, où C = ^o ^l
q = Ca;^
Po p^—X,
4 xl\^- i Cx' x„ I Cx'
Les quantités po> ^oj 2/o» ^o sont liés par l'équation
^x,z, —p,xl -\- q^x,y, + 9>„ = 0 .
En éliminant C entre les valeurs de y et de z, on trouve l'intégrale complète, A et B étant des constantes,
{z — Air») -+- (y — ^x-^f = 0.
Dans le cas actuel, on a tt = oo pour x = Xo = 0. En effet, T = 2 a;"*. On trouve 1 = lo (rf, équation qui n'apprend plus rien. Mais l'intégrale complète que nous venons de trouver n'ayant plus aucun sens, pour iCo = 0, nous pouvons conclure que nous trouvons ici le nouveau cas d'exception signalé plus haut. II n'y a pas d'intégrale complète correspondant à ^ = fonction arbitraire de u et telle que l'on puisse y faire x = 0.
§ 29. Équation» cotttettant tti» nombre quelconque de rariableê.
101. Réduction du problème à l'intégration d'un système d'équations simultanées. Soit l'équation :
/•(s, iCi,...,a;„,Pi,...,p„) = 0 (1)
Supposons que, pour x„ = x„o, les quantités z, Xj, ... , x„,, p,, ...,pn prennent les valeurs Zq, Xjo, ... , x„,,o, ... , p«», ... , p„e liées entre elles par l'équation :
/•(z„,a;io,...,a;„o,Pio,---.P«o) = 0 (2)
La méthode de Cauchy consiste à prendre {n — i) nouvelles variables Ui, u^, ... , u„i fonctions de ar,, ... , x„. On pourra supposer réciproquement z, Xj, ... , x„i, pi, ... , p„ fonctions de m,, «2, ... , Un-i, Xn. Dans cette hypothèse, on aura :
dz dx. dXn-i
dXn dXn ax„
dz dx, dXn—i it\
— =Pi:7— H V-pn-l--—' W
au du du
l'équation (4) en représentant (n — i), que l'on obtient en remplaçant successivement m par «i, Mj, ... , w,i {*). Dérivons l'équation (3) par rapport à u , l'équation (4) par rapport à x, , et retranchons le second résultat du premier, nous trouverons :
Idpi dXi dpi^ dxA /dp«-i dxn-i dpn-i dx,-i\ ,»,>
\dXn du du dx„l \ dx„ du du dXn }
(*) Nous employons celle manière abrégée de représenter (n — 1) équations plusieurs fois afin de pouvoir calquer le § 29 sur le § 28. Ainsi les équations (3), (7), (8), (9), (10), (10'), (11) en représentent chacune (n — 1), obtenues
u remplaçant M par u,,u,, ...,u,i, a; par Xi,x,, ...,a;«i, ou pparp,,p,,"
( 252 ) On déduit ensuite de l'équation (l)
SX-n 1 Sx dXn SZ dX„ i Sp dXn ' ' ' "
1 Sx du Sz du i Sp du
Substituons dans cette dernière, les valeurs de ^ '-^tirées des équations (4) et (5), il viendra ;
1 du \dx Sz Sp„ dXn) i du \Sp <Jp„ dXn)
Les fonctions u étant indéterminées, nous ferons disparaître la
dernière somme qui entre dans cette équation, en posant les
(w — 1) équations :
Sf Sf dx
Sp J~p„ dXn
L'équation (8) deviendra par là :
»-» (to ISf ?f Sf dp \
1 du \Sx ^ Sz Sp„ dXn' Le déterminant
Xi, ..., Xn—l
Mi,...,M„l
n'étant pas nul, en général, d'après les conditions (9), qui ne contiennent pas explicitement les ti, les équations (10) équivalent à celles-ci :
Sf Sf Sf dp
Sx SZ Spn dXn
Enfin, on déduit des équations (6), (5), (10) et (9), comme on l'a vu dans le cas de deux variables indépendantes,
Sf Sf Sf dpn
SXn Sz Spn dXn
Les équations (3), (9), (1 0'), (H) peuvent se mettre sous la forme suivante que nous avons déjà rencontrée (n° 42) :
-^ -^ P,— 1 HP„-^ »-Pi— — i-Pn
<yp. ^Pn ^Px ^Pn ^^i "^^ ^^n J«
Ces équations (12) ne contiennent pas les u. On en tirera un svstème de valeurs :
X^=:fl,Xi = fi,...,X^-l=f,-l, ==/■„, Pt = /"f. + l, .-.,/>« = An, (Ï5)
chacune des fonctions /] contenant jf,, et les valeurs initiales jro,Xio, ...,x,,,o, Pio, -,Ph-\,o- Il est clair que pour achever la solution, il suffit de déterminer ces valeurs initiales en fonction des !/, de manière à satisfaire aux équations (4).
108. Détermination d'une intégrale de (12) satisfaisant à (4). Substituons les valeurs (15) dans l'équation (4), et posons :
dz dx. dxn~i
du du du
dp^ — « du '
Au moyen de (5), on déduira de celle-ci :
";;' / dp dx dp dx\ dl 1 \dx„ du du dxj dx„
Eli substituant ces valeurs dcj^et-^dans (7), il vient
.jy dl Sf ^
âZ dXn àPn
D'où , en faisant
Pour que 1 = 0, il suffit, en général, que Io = 0, ou :
dZ(, dx^f, dx„-i,o ,. ,
dUi dUi dui
■Pio-^ 1 HP«-i,o— . . . . (1/n-l)
dUn-l dUn—i dUn—i
On peut satisfaire à celle-ci de diverses manières (*) :
i° On peut supposer que Zq, Xjo, ... , a:„i,o soient des constantes arbitraires, et que pi^, ... ,/î„i,o soient des fonctions quelconques des u , ou soient eux-mêmes les u. Dans ce cas , en éliminant les ^o entre les n premières équations (15) on trouvera Vintégrale complète :
F(s, a;,,...,a;„,Zo,^io. •••j^n-i.o) = 0 (18)
2° On peut supposer
Pio=ir— ,-.-,i'»-i,o =
Xwi^io, ... , x„^^o étant des fonctions quelconques des u, ou étant pris eux-mêmes pour les u. Pour trouver l'intégrale correspondant à cette hypothèse, il faut se donner préalablement la forme de », afin de pouvoir éliminer les u entre les n premières équations (1 5). Cette intégrale est Vintégrale générale.
5" Enfin, on peut satisfaire aux équations (17), au moyen d'hypothèses intermédiaires entre celles dont nous venons de parler. On peut poser, en même temps,
^0 ^^ î" ('''10 ) • • • ? Xmo) 1
Xm+i,o = constante, ... , a;„i,o = constante,
Xio,ar20} •..,3fmoj/'m+i,0 5 --jPn-i.o étaut des fonctions quelconques des w, et les autres p étant déterminés par les relations suivantes :
(*) Ce ne sont pas les seules manières de satisfaire à ces équations (n» 1 16.111).
109. Remarques. I. Si l'équation donnée est linéaire et de la
forme :
XiPjH hX„p„ = Z,
les n premières équations auxiliaires sont celles de Lagrange :
dxi dXn dz .jg>
Xj X„ L
Elles suffisent pour résoudre complètement le problème (§ 6).
II. Si les n premières équations (43) ne contiennent pas lespo> on en déduira :
ce qui donnera l'intégrale
qui appartient à une équation linéaire.
III. En exprimant que les valeurs données par les relations (13) satisfont aux équations (4) quand on suppose u = po> il vient :
■fn + l- 1 t-/î»f
Spn-i.a ^Pn-i,0 ' ^P»-i,0
Il résulte de ces équations que si (n — 1) des fonctions /j, ...,/], ne contiennent pas un des po» il en est de même de la w*"*.
IV. Si l'on déduit des ti premières équations (13) , par élimination des/), plus d'une et moins de n relations entre z et les x, on se trouve dans le cas des équations semi-linéaires , signalé par Lie (n° 44, III), et rencontré incidemment par Serret (n" 149).
V. On peut donner de la méthode de Cauchy, dans le cas général, une interprétation géométrique symbolique dans un espace à (n -+- 4) dimensions, d'après les idées de Lie. L'équation (4) représente oo*" éléments dans l'espace à (n -t- 4) dimensions. Les raisonnements des numéros précédents démontrent que les éléments de toute solution de l'équation (4) sont compris
parmi ceux qui satisfont au système auxiliaire (12); le système auxiliaire (12) ne contenant que oo*" éléments, contient donc seulement les éléments de l'équation (1). Les équations (4) expriment simplement comment il faut grouper les éléments des équations (12), pour que l'on ait dz^^pidxi -+-•••-+- p„dx^. Cette remarque explique aussi pourquoi il suffit de considérer les n premières équations (12) dans le cas où l'équation donnée est linéaire.
JIO. Exemple. Soit l'équation (*)
Les équations auxiliaires, après multiplication para;i...x„=pi.../>„ sont :
dz
PldXi = • • . = PndXn = =: X^dPi =■■= Xndpn )
c'est-à-dire :
dXi dpi dXn dp,,
Xi Pi' ' «„ "~ p„ '
dz Pi pn
On trouve, pour les intégrales :
X^ fl/iQ Xn 3?fio
Pi Pto' ' Pn Pm
- - = ~ (^1 ~ ^lo) = ••• = — - i.X» ~ ^«o))
avec la condition :
X^Q ... Xna = Pi Q ... Pno •
En multipliant entre elles les n valeurs de (z — z^), on trouve
— (s Sg)" — [Xi OJjo) {X^ — ajjo) ... [Xn — Xno),
C) Cauchy, dans le mémoire cité, traite ainsi cette équation quand n = 3. Graindorge, no^g, p. 50, n- 69, p. 65, intègre la même équation pour n = 3, par la méthode de Jacobi , sous ses deux formes. Voir aussi le n» 73, L
intégrale complète qui contient une constante supplémentaire, si l'on regarde Zo comme arbitraire.
111. Cas d'exception apparente. Modifications de Mayer et Darboux. I. Si l'équation donnée est homogène par rapport aux/i, on a, à cause de /"= 0,
Sf Sf Sf ^
et, par conséquent, la n"~ équation (12) donne pour intégrale
s = constante.
Il est impossible évidemment d'éliminer lesp^ entre cette équation et les (n — 1) relations (15i),... , (13,,), et par conséquent la méthode générale de Cauchy ne donne plus l'intégrale complète. Mayer a indiqué un moyen très-simple d'arriver, tant dans ce cas que dans le cas général, à une intégrale complète contenant comme constantes pw, .. , Pn-i.o et Zq. Pour cela, considérons l'intégrale générale qui est telle que
-o = -!)-*-Pio^io-< HPi.-i.oa:,i,o (19)
On aura, zô étant une constante,
dZf, dZg
T— =Pio,---,-J- =P— 1,0.
àXio oXn-1,0
Par conséquent, pour trouver l'intégrale complète correspondante, il suffira d'éliminer Zo, Xjo, ^.,x,4,o entre les équations (15,), ..,,(15,) et (19). La chose est toujours possible parce que, les X se réduisant à Xq pour x„ = x,o , le déterminant D 'ly'"'-
n est jamais nul, puisque pour x,= x^, il est égal a l'unité. On peut donc trouver les Xq en fonction des x.
Il est facile de généraliser ce qui précède. Posons
2o = P(a?io,"
•iX.-M,»!,. ..,«„)
Jx.«
••>JP„,,0 = T-
dX,|,o
a,, ..., a„ étant n constantes. Eliminons entre les équations (13i),..., (13„), (20) et (21) les quantités Zo, Xq et po? on trouvera
F(z,a;,,...,a7„,ai,...,œ„) = 0, (22)
relation qui sera une nouvelle intégrale complète. Le système des équations (13i),...,('13„) (20) (2i) peut être remplacé par (i3i),..., (13J(21) (22). Si donc l'on fait x„= a;„o, et, par suite, si les équations (13) donnent Xi = x,o, ..., a;„i = iCn i,o ? ^ = ^o? l'équation (22) conduira à la relation
«o = ?'(^io."-.^»-i.o,ai,...,a„) (20)
Donc, si l'on faisait simplement a;„ = x„o dans (22), on trouverait
z = p (a^i,... , a;„i,aj, ... ,«„).
Ainsi l'intégrale complète en question se réduit à la fonction
y (Xi, ... , X„i , a, , ... , a„), pour X„ = X^ (*).
[II. On peut encore satisfaire aux équations (4) en posant :
et regardant Xio,...,x^o? Pm+uo, — ■,Pn-i,o comme étant les u,
Pk, '•' 5 Pmoj arm+i,oj ••• 5 x„^^o , ^ô les constantes (**).]
(*) Mayer expose directement ces remarques au moyen de la méthode de PfafT modifiée par Jacobi. Il donne plusieurs théorèmes intéressants sur la liaison des intégrales entre elles (voir le n» 120, note). [On voit que la méthode de Cauchy, exposée dans toute sa généralité, comme nous l'avons fait plus haut, contient implicitement la modification de Mayer.]
[(**) Darboux (Comptes rendus, 1874, t. LXXIX, pp. 1488-1489, 1875, t. LXXX, pp. 160-164) a le premier signalé cette intégrale, mais seulement dans le cas des équations semi-linéaires (voir n» 119). Il expose aussi ses recherches au moyen de la méthode de Pfaff modifiée par Jacobi.]
