RECHERCHES DE SERRET

§ 50. Éqtuitiaitt à deux rariables indépendanteg.

11*. Forme donnée à la solution générale dans les recherches de Serret. L'équation

nx,y,z,p,q) = 0. (1)

conduit aux équations auxiliaires

dx dy dz —dp — dq ^,

lf~ôf~ Sf Sf ~ Sf Sf ~ Sf Sf' ' '

3p Sq Sp Sq Sx Sz Sy 3z

dont les intégrales sont

y = A(a;,yo'2o. îo), (3i)

s = /,(a;,yo.-(., 9o). (3,)

P = /s(a;, Vo, 2o,?o). (3,)

9 = A(aî,yo.^o'9o) (3<)

Nous supposerons que l'on ait déduit des deux premières l'intégrale complète

z = M(a;,y,yo,2o) (-*)

On aura, par conséquent :

P = ^ = N{a;,y,yo,-o). 9=^ = P(-iy.!/o.2o) • • • (3) Si l'on veut avoir l'intégrale générale, on n'a qu'à supposer

«• = fVoy

( 240 ) et joindre à l'équation (4) sa dérivée par rapport à y^ :

y--^jr^o=o (6)

Les équations (4), (5), (6) sont équivalentes aux équations (3) et les remplaceront complètement dans ce qui suit (*).

113. Nouvelle forme de la valeur de l, trouvée par Serret. On peut obtenir la différentielle totale de f [x, y, z, p, q), en ajoutant les différentielles de l'équation (5), ou des équations équivalentes (4), (5), (6), multipliées par des facteurs tels que les différentielles dyo, dzo, dqo disparaissent du résultat final. Il est évident que l'on doit multiplier par 0, ou laisser de côté l'équation (6), qui contient seule Ço- Multiplions les équations (1), (o,), (Sj) respectivement par p, v, p. On aura :

' \ ^x Sx ^ Sx)