SM JN ^P
^i/o ^2/o ^iJo
SM S^ ^P „ M— -t-v — -t-p-- = 0 (/,)
(*) Serret établit assez péniblement cette équivalence , eu s'appuyanl sur le principe insutSsamment démontré , que nous avons signalé au n" 103 en note. Il est facile de corriger ce petit défaut comme on l'a fait au numéro cité. Mais cette vérification à posteriori de la méthode de Cauchy est inutile, puisque tous les calculs de Cauchy peuvent se faire en sens inverse. C'est pour la même raison que nous avons supprimé la vérification à posteriori de la méthode de Pfaff modifiée par Jacobi et donnée dans les Vorlesungen, pp. 364-369. Voir aussi n» 109, V.
(241 ) Il est clair que l'on a , d'après ces relations :
Sz fi
Sp c'est-à-dire, d'après la dernière des équations (7) :
SZo
y dM
SxSzo
Js«
cZ .
S m p S S'a Remarquons maintenant que pour calculer l'intégrale
nous devons supposer tt exprimé en x seul, par le moyen des équations (5) ou des équations (4), (5), (6). Nous pouvons donc nous servir de celles-ci pour transformer tt. Or, l'équation (6) qui est équivalente à (3,), mise sous la forme :
donne
~ IJ2L ^*^ dy\mi PU J*M dy v iz,\iy^Sx Sy^iy dx) iy^ XSz^Sx "*" Sz^Sy dx) ~
Celte équation est vérifiée si l'on y fait ;
dx 7
( 242 ) En effet, elle devient, par cette substitution :
ou encore, après multiplication par v, à cause des équations (7) :
On peut donc remplacer ^ par g^ dans la valeur de tt, qui devient ainsi :
S m S m dy d m
;r = — -log- h — log-— X— -= — log
Sx ^ Sz^ Sy *' Sz^ dx dx ^ Sz^
Par conséquent,
jTrdx log 5 log ( j— ) J.W
J IqC JgB — 'o"J~'
carM=z = 2opourx = Xo, et, par suite, ^|jY =1.
114. Examen du cas critique. La formule précédente nous permettra de discuter le cas où la forme de la fonction ,;?/, à laquelle z doit se réduire pour x = Xo, est telle que l'intégrale j'izdx a une valeur infinie et positive , telle par conséquent que
-10g-=oo, OU -=0,
quand x = ar„. Dans ce cas, on n'est plus sûr, à priori, que
quoique I^ = 0. On devra donc vérifier, à posteriori, si l'on a vraiment I = 0. Quand il en sera ainsi, il existera encore une solution z = M, se réduisant à « = y?/, pour x =arQ, mais chose remarquable, elle est fournie par la solution complète, comme
la montré Serret. Les raisonnements de ce géomètre s'appliquent, non-seulement au cas où
— lOgT— '
est infini, mais encore à tous les cas, où celte expression, pour X = Xo, prend une valeur différente de zéro, [^) élant différent de l'unité, pour x = Xq.
Soit, en effet, pour x = x^,
- — = constante différente de l'unité,
et supposons que z = M , pour x = x^, devienne z = st/, ou encore que pour x = Xo,y = yo,on ait Zq = ç-yo* Les équations (5), ou les équations (4) (o) (6), doivent donc être identiquement satisfaites pour ces valeurs. Or, si Ion suppose
dans réquation (6), celle-ci ne peut pas être satisfaite, à moins qu'elle ne le soit déjà pour
quelque soit y. En effet, s'il eo était autrement, on tirerait de (6) la valeur y = t/o, après substitution de
X ^^Xo, So = f i/o )
Or, pour qu'il en soit ainsi, il faut que Ton ait, pour x = Xu, %^ = i, ce qui est contraire à l'hypothèse (*),
(*) Ce raisonnement n'est vrai qu'en général. On admet que la fonclion M est telle, que l'on ne puisse y faire a'=:jro, y^ t/oi ^*"s fl"^ '<*" ^'^5 "*""" seulement M = Zq, mais aussi 4^= 1. La valeur de ?— est donnée par I équation (6); donc Téqualion (6) doit conduire à la relation -5— = 1 , pour ^^^Oj !/==!/05 sauf les cas oii j/q n'existe pas dans celte équation. Serret est peu précis dans les raisonnements qui se rapportent à ce cas critique, qui a besoin encore d'être étudié plus à fond.
Ainsi y^ disparaît de léquation (6) quand on fait x = Xq. Mais l'équation (G) est la dérivée de l'équation (4) par rapport à t/o. Donc yo disparaît aussi de l'équation (4) quand on fait a; =a;oi puisque la dérivée du premier membre de (4), c'est-à-dire le premier membre de (6) est identiquement nul pour oc = Xq. Mais nous savons que l'équation (4), pour x = Xq, y = yo donne Zq = fy^; donc pour x = Xo simplement, elle donne z = (j>y. Dans le cas actuel , la fonction Zq = ï^^q 6St donc telle que la
solution
donne z = ^y, pour x = Xq^ sans qu'il soit nécessaire d'éliminer t/o entre cette équation et l'équation (6) ; ce qu'il fallait démontrer. Autrement : dans le cas, le seul important, pour la théorie qui nous occupe, où |- =0 pour x = aro, on a aussi, à cause de l'équation (6), ^ =0, et, par suite, pour x = Xo, y^ n'entre plus dans l'équation (4). Ce raisonnement est plus simple que celui de Serret, et s'applique à des fonctions qui, pour x =Xo, y ==:yQ, ne donneraient pas -^ ^ i.
