II. Veut-on avoir l'intégrale générale, on posera (n

•^0 = y (^10» •^ÎOy ••• ) ^n— l,o)>

et on éliminera les ar^ entre les n premières équations (3), ou entre (4) et les équations suivantes déduites de (4) :

Les équations (4) (o) (6) sont équivalentes aux équations (3). III. On trouve des intégrales moins générales si l'on suppose,

Z = ?{Xio,...,X„-i,q),

et, en outre, que les Xg soient liés entre eux par des équations :

CCm+i,0=?i{Xio,...,X„o),... ,X„-i,o='Fn-m-l {Xio, ■ ■■ , X„o) ■

Les intégrales moins générales dont il s'agit, ou intégrales mixtes, sont donnéespar les équations (n° 10) :

F{Z,Xi,...,X„,Za,Xio,..-,Xn--l,o)=0, (4)

<?^,„-^^p--^.ifc-*-]^P'VJ^='' • • • ("'^

JF <?F '— * / J~F JF \ J-p.-

àX„o dZ m+i \dXio dZ, / ^X„o

Remarque. Dans ce dernier cas, on emploie, au fond, m variables auxiliaires Xjo, ..., a:„o et {n — m) fonctions arbitraires;

dans le cas de la solution générale, on emploie (n — i) variables nuxiliaires et une fonction arbitraire.

117. Nouvelle forme de ta valeur de I, trouvée par Serret. Occupons-nous, en premier lieu, du cas où

Pioj--.P--t.o

n'est pas nul. Nous pouvons, dans ce cas, supposer l'équation (4) mise sous la forme :

ï = M(x,,...,ar„,2,, ar„, ...,a?»i.o), (8)

et les équations (5) et (6) sous la suivante :

7— -^TrP.o = o....,j- — -t-— p^t.o = o . . .(10)

L'ensemble de ces équations, qui est équivalent au système (5), va nous permettre de calculer I.

On peut obtenir la différentielle totale df du premier membre de f=0, en ajoutant la différentielle de l'équation (8) et celle des équations (9), après les avoir multipliées par des facteurs u, y,,.. .,v„, propres à faire disparaître f/z^, dx^, ...» dx,i,o. On a donc :

les facteurs /«, vi, v^, ... , y„ devant satisfaire aux n relations :

<Jx,- «fx,- . Jx,

M— ^y,-i H.... H-v„-—Ji=o. . . . (n„)

oXm—l ,0 oXa— 1 ,0 0Xs— 1 , 0

( 248 ) D'après la valeur de df et la première de ces équations , on a :

JN„i

Sz Sf

M Vi SZa v„ ~ v„ JM "^

v„-i SZq

SZq

SPn

Sz,

Sz.

Sz,

On devrait éliminer Xi , ... , a:„i de cette valeur de tt, au moyen des équations (10); mais on peut auparavant transformer cette expression, au moyen des équations (10) elles-mêmes mises sous la forme :

^'~'SJi' SXa

On tire de celle-ci , en dérivant par rapport à x„ >

^M /JNi dXi (^Nn-i dXn-l Sjc^

SZo y^o ^a S^o ^^« ^N /

SM /SN^ dXi S^„.i dXn-i J~N

J"a?o \Sz,^ dXn S^o ' dXn SZq

Ces équations, à cause de (H), sont identiquement satisfaites par

dX^ Vi dXn-l Vn~\

àXn ~ y» dXn Vn

Donc la valeur de t peut s'écrire

SN, SN„-i S^„

SZo dXi SZo dx„-i SZo d SM

"^^ £M d^"^ ^"Tm dXn '^'sW~'dx^ °^^o'

SZo SZo SZo

Par conséquent, en se rappelant que , pour x„ = x„o,