SM

(249 ) on a :

Ttdx jjyi

ce qui est la formule de Serret.

118. Examen du cas critique par Serret. Supposons que la fonction f ait été choisie de telle sorte que

-^ = constante différente de l'unité (12)

pour jr„ = a:„o. Il se peut qu'il existe une solution de l'équation (i), telle néanmoins que pour x, = a;io,Xj = X2o, ..., x„^x,ojOn ait z=Zo = ? (^io> ^205 —, ^»-i,o)' Dans ce cas, je dis que cette solution n'est pas l'intégrale générale correspondant aux équations (8) (9) (10), mais est l'intégrale complète, ou une autre solution intermédiaire entre l'intégrale générale et l'intégrale complète.

En effet, lorsque les circonstances précédentes se présentent, les équations (dO), à cause de l'équation (12), ne peuvent pas donner x^ = Xio, ... , ar,j = ar,,,o quand x, == a:,,o> car cela présuppose, en général, |^= 1. On doit donc admettre que pour ^11 = ^«o» ces équations sont identiquement satisfaites, quels que soient x,, x^,..., x,,, soit en restant distinctes, soit en se réduisant à un nombre m moindre que (n — 1).

Considérons d'abord le premier cas. Supposons identiquement nuls, pour x„ = x„o, les premiers membres des équations (10). Il faut en conclure, que (z — M) ne contient pas x,o, x^, ..., x„i,o quand x„ = x,o» car les premiers membres des équations (10) sont les dérivées de (z — M), par rapport à x^, ... , x, ,,o . Cependantz — M = 0, pour x, = Xjo,...,x, , = x„i,o, donnez =Zo = f (x,o, ..., x,,,o) si x„ = x,o. Donc, pour x„ = x„o, on a

Z = f (X,,X„ ...fXn-l).

Considérons maintenant le cas où les équations (10) se réduisent

à k = {n — 1 — m) équations distinctes, quand on fait x„ = x,,^. Tirons-en les valeurs de k d'entre les constantes :

et substituons-les dans les équations (10), et dans (8). Après cette substitution, il est clair que les équations (10) deviennent des identités. Il en est de même, par conséquent, des équations suivantes qui sont des combinaisons linéaires des équations (10) ;

£^ ^ £L^-Vf— -t-— — ^ — = 0- (13)

^Xg J"Zo ^Xo m+l \^i37,0 ^Zg SXiol ^Xq

par suite, z — M =0, dont les équations (13) sont les dérivées identiquement nulles, par rapport à a:,o, Xjo, ..., x^o ? ne contient aucune de ces constantes arbitraires. Mais, par hypothèse, pour Xi = Xio, Xj= Xjo, ..., x„^ = x„ 1,0 quand x„ = x„o, z — M = 0 donne

z = Zq = f (xio, ..., a7«-i,o).

Donc, enfin pour x„ = x„0 5 la solution mixte, définie par les équations (8) (9) (13), est telle que

Z = f {Xi,X^, ...,X„-i).

ce qui démontre le théorème annoncé plus haut.

On arrive au même résultat, au moyen du raisonnement plus simple du n" 114. Le cas d'exception est caractérisé par

y^zol x„=x„o On a, par suite, à cause des équations (10) :

aXiO aXn — i,0

ce qui conduit aux conclusions précédentes.

110. Cas des équations semi-linéaires. Occupons-nous, en second lieu, du cas des équations semi-linéaires. Les relations (3), par élimination des po, donnent m relations entre les variables et leurs valeurs initiales (n° 44, III et 109, IV). On peut alors considérer comme intégrale les relations en question, que nous supposons mises sous la forme :

^»o="f'i (2,a?i,-.-, a;„,a;^,...,ir,i.o), (14,)

Xm-i,0=<i'wt-i{Z,Xi, ..,XajX^,...,X»-i,o), . . . (i4»-0 Zo = 'Pm('S.Xi,...,X„,X„g,...,Xn-t,o) (14„)

On peut remplacer (n" 15) cette intégrale par la suivante :

ViH Hi«,i,i — ^„=0, (15)

>,, ..., i., étant des constantes arbitraires, ou encore par

F(s,a?„...,j;„, i„. ..,!»,, ar„o,...,a;,-i.o) = 0, . . . (16)

en représentant le premier membre par un seul signe fonctionnel. Les valeurs des p sont données par les équations :

JF JF

où

Sx Sx Sx Sx

aZ oZ aZ oS

On trouve une intégrale générale, en égalant à 0, la dérivée 'Je F par rapport aux constantes Xq. On trouve ainsi les équations ■suivantes :

Les équations (14), (17), (18) remplacent complètement le système (5) et permettent de calculer tt, comme l'a montré Serret,

en employant toutefois, au lieu de la relation (Ib), celle que l'on déduit des équations (14) et d'une relation arbitraire

Zo=?(«io,---.a;"-i,o), qui remplace l'équation dont nous supposons l'existence :

Zo = ?{^],---,^m-i,i^mo,---,X„-,,o) (19)

Il n'y a de modification dans les calculs qu'en ce que ii, ..., >„ j, sont remplacés par pio,..,p„ 1,0 j comme on le voit facilement. Posons, comme Serret,

de manière que les équations (17) deviennent

Pi-+-»T— = 0,...,P„ + "t— =0 (17')

iXi dX„

On reproduira la différentielle totale df du premier membre de l'équation donnée /' = 0, en ajoutant les différentielles totales des équations (20) et (17'), après les avoir multipliées par des facteurs fx, y,, ..., v„ propres à faire disparaître les différentielles des n quantités A,, .,., )i„,i. a;„o. •••? a;„ ,,o et w. On aura

A cause de l'équation (20),

S^¥ J'iogcc J^F J'iogco

" ji^ ~ Jz~ ' SxSz ~ Jx~ '

et, par conséquent, la valeur de t devient :

1 / J'Iog» <5'Iogw JlogwN

Vn \ ^Z àXi àX„ /

jr

On peut mettre cette valeur sous une forme plus simple, en en faisant disparaître les facteurs auxiliaires. En exprimant que les (iifiFérentielles des ). disparaissent de df, il vient :

oZ oj/j ^^n

Le multiplicateur de rfa devant aussi être nul, on a, en outre,

Sz Sx^ SXn

égalité, qui se réduit, à cause des précédentes, à :

Enfin, à cause de la disparition des différentielles <ix«oj—>rf3C,,,o

iziXmO Sx^SXmD iX„SXmO

Toutes ces égalités entre les ;* sont vérifiées, si l'on pose

dXi dXn dz

"i ~ ~ v„ ~ It'

à cause des équations (14) et (18). Donc enfin

d log « 3rdx„=— ; — <te„.

«te-

Pour Xi = Xio, ... ,x„ = x„o,z = Zo,onau = i. Donc

TTdx

l — l^e^"" =Io«-

Dans le cas où l'on a co = ûo, au lieu de w = i, pour x„ = a;„05 on n'est plus sûr que 1 1= 0, en même temps que Iq. Dans le cas où I est nul malgré cette circonstance, il y a encore une solution. On reconnaît, comme dans les cas précédents, qu'elle est donnée par l'intégrale complète, ou une intégrale intermédiaire entre celle-ci et l'intégrale générale , et non par l'intégrale générale même (*).

[Remahque. Si l'équation

dz

— --t-Hl^iPi, ..,a;„,pi... ,p„) = 0 (-21)

dt

conduit à des équations auxiliaires ayant pour solutions les relations (14), on trouvera, par le n° 1H, II, pour intégrale de cette équation semi-linéaire (21) :

ZrrrZ'o-f-pioJ'jH hpm-l.O'i'm^l -t- V, (22)

V étant la valeur de z déduite de (14„,). Dans le cas actuel z n'entre pas dans les équations (14i), ... , (14„i). L'intégrale (22) a été signalée par Darboux (voir n° IH, II).]

(*) Comme on le voit, la méthode générale de Cauchy est préférable à celle de Serret dans l'exposition de ce cas remarquable, surtout quand on introduit dans cette théorie les idées de Lie sur les équations semi-linéaires.