IV

8. Tout système algébrique S de courbes planes indécoinposableSy tel que, par k points arbitraires du plan^ passe une seule courbe du système, est un système linéaire. — Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème dues à MM\ Gastelnuovo et Enriques, et à M. Humbert ; voici la démonstration de M. Humbert : Admettons que la proposition soit vraie pour k — i points, nous allons montrer qu'elle est vraie pour k points. En effet, considérons l'ensemble des courbes du système S passant par un point A; ce système est infini de l'ordre k — i et, par suite, linéaire. Soit

ce système. Envisageons alors une courbe /o(^, .x) = o de S ne passant pas par A, et soit B (^o?JKo) "n point quelconque de cette courbe. L'ensemble des courbes de S passant par B forme encore un système linéaire de dimension k — i, qui contient la courbe /o et les courbes de (a) passant par B : il appartient donc au système linéaire à k dimensions

( P) >^o/o+ Xi/i + X2/2 + . . . H- \kfk = o

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clans lequel les constantes 1 sont assujetties à la seule relation

les coordonnées ^o^ ^o du point B satisfaisant seulement à l'équation/o('^? J^'') = ^- O^ ^^^ conclut que toute courbe du système (P), quels que soient les )., appartient à S. Car, pour clés \ donnés arbitrairement, on peut choisir un point Xq j^o? tel cjue l'on ait à la fois

/o(^o,ro) = o, Xi/i(^o,ro)-h. . .-i-)^A'/A'(^o,7o) — o-

Toutes les courbes du système ([3) appartiennent donc à S et comme par k points du plan ne passe C[u'une courbe de S^ on en conclut réciproquement cpie toute courbe de S appartient à (P), c'est-à-dire que le système 2 est linéaire.

Il reste à démontrer c|ue le théorème est vrai pour /c = i . Dans ce cas, deux courbes du système ne peuvent se couper cju'en des points fixes. Soient f^ et J\ deux de ces courbes d'ordre n\ elles ont /z^ points communs, et toute courbe A du système passe par ces points. Or, on peut choisir \ de manière que la courbe

passe par un point de ^ en dehors de ces points; cette courbe aura alors 72-+ I points communs avec ^ et, par suite, coïncidera avec elle, c'est-à-dire cpi'on aura

et le théorème est démontré.

Nous étudierons bientôt pour les surfaces une proposition comprenant comme cas particulier le théorème précédent cpand k est supérieur à l'unité.

II. — Systèmes linéaires de ^qyivq zéro. Surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales.

9. Parmi les systèmes linéaires, i^ J ^ \\^\\ de mentionner ceux de genre zéro. Nous en ferons une application à la recherche des surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales.

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Soit donc an système complet de genre zéro et d'ordre n. On aura d'abord la relation

et, en désignant par r la dimension dn système et D son degré,

on a en outre

D = /z2-sX2,

/• = D + iH-s;

la surabondance £ étant nulle si le système est régulier. On va voir de suite que s = o. En effet, dans le cas contraire, prenons D -f- £ points arbitraires du plan ; on pourra, par ces points, faire passer un faisceau de courbes du système. Le nombre des points de rencontre de deux courbes de ce faisceau sera au moins égal à l'X^ + D -]- £ ou à /z^ + £, ce qui exige que l'on ait £ = o.

10. Les transformations de Cremona dans le plan fournissent un premier exemple de systèmes linéaires de genre zéro. Ces transformations sont définies, en coordonnées homogènes, par les équations

(a) I pY = cp(^, y,z),

{ pZ = ^(x, y,z),

où p est un facteur de proportionnalité, et où/, cp, ^ désignent trois fonctions homogènes de même degré n en x^ y, z^ linéairement indépendantes. Elles sont telles qu'à un point (X, Y, Z) ne correspond qu\in point (^x^y^z) et réciproquement. Les deux faisceaux

n'auront alors qu'un point commun variable avec \ et ja, et des équations (a), on pourra déduire le système (p)

les fonctions F, $, W étant du même ordre v et sans facteur commun.

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DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES DxVNS UN PLAN. 69

D'ailleurs, on a évidemment v = n^ puisque, aux points de rencontre de

avec la courbe

en nombre /i, correspondent les points de rencontre de

avec

AX -h BY -+- GZ == o.

De plus, dans le plan (^, jk, ^)j le réseau

est un réseau linéaire de courbes de genre zéi^o^ puisque celte courbe est évidemment unicursale.

H. Nous alloDS faire une application des résultats qui précèdent à l'étude des surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales (^). Tout d'abord, on voit aisément qu'w/?^ telle surface est unicursale et peut être représentée par des équations de la forme

^ -/i(^, P, T), y =/2(a, P, y), z =Ma, p, y), t =f,{a, ^, y).

Prenons en effet sur la surface supposée d'ordre /2, n — 3 points en ligne droite, et par cette droite faisons passer un plan quelconque. Soit X le paramètre variable dont dépend la position du plan. La courbe d'intersection de la surface et du plan est unicursale; si donc, dans ce plan, on considère un faisceau d'adjointes d'ordre n — 2 passant parles n — i points considérés, ce faisceau rencontrera en un seul point mobile la courbe d'intersection, dont les coordonnées seront par conséquent des fonctions rationnelles du paramètre variable [jl des courbes du faisceau. D'autre part, les coefficients de l'équation du faisceau contiennent rationnellement le paramètre A dont dépend la position du plan; et la conclusion est immédiate.

(^) É. Picard, Sur les surfaces dont toutes les sections planes sont unicursales {Bulletin de la Société pliilomathique de Paris, 1878, et Journal de Crelle, t. 100).

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6o CHAPITRE III.

Envisageons maintenant, dans le plan (a, j3, y), le système linéaire

Ce système, par hypothèse, doit être de genre zéro.

Le système linéaire complet (S), défini par le système (S), et dans lequel ce dernier est compris, est de genre zéro et a même degré D que (S).

D'après ce que nous avons dit plus haut, le système complet (S) sera de dimension D -f- i ('), et D sera en outre, comme on le Yoit de suite, égal au degré n de Ja surface.

Prenons, dans le plan (a, [3, y), D — i points arbitraires

distincts entre eux et différents des points communs aux quatre courbes /. Si m désigne l'ordre des courbes /, nous pouvons trouver une courbe d'ordre m appartenant au système (S) et passant par ces points; cette courbe dépendra de deux paramètres et aura une équation de la forme

XU(a, p,Y)-f- îJLV(a, ,3, Y)-f-vW(a, 8, y) = o.

Ce réseau est de degré lui; il définit par suite une transformation birationnelle, soit

a = Ui(X, Y, Z), ^ == Vi(X, Y, Z), y ^ W, (X, Y, Z).

Les points fondamentaux de cette transformation, dans le plan (a, p, y), sont d'une part les points-bases du système (S) et d'autre part les D — i points fixes (a/, [B/, y/).

En effectuant cette transformation, une courbe arbitraire de (S) se transforme en une partie fixe commune à ifoa^e^ les courbes du système, que nous pouvons laisser de côté, et en une partie

(^) Dans les Mémoires cités, M. Picard admettait implicitement ce résultat^ c'est-à-dire qu'un système complet de genre zéro est régulier : la démonstration en est intuitive, comme on l'a vu au n° 9. M. Guccia a repris depuis, à un tout autre point de vue, l'étude de la réduction des systèmes linéaires de courbes dans plusieurs Mémoires des Reiidiconti di Palermo (t. I).

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variable avec les paramètres du système (S), soit

(Si) F(X,Y, Z)==o.

Quant aux courbes particulières

((t) au -{~iJ.Y -^vW ==o

qui appartiennent à (S), mais qui passent par les points (a/^ [^/^ y/), elles se transforment^ en laissant toujours de côté la partie fixe précédente, en une droite arbitiaire XX + |jlY -f- vZ = o et en D — I droites fixes distinctes correspondant aux points fondamentaux (a/, jS/, Y/). Désignant par ^(X, Y, Z) l'ensemble de ces D — i droites, la transformée de (a-) est donc

(œi) (XX -H -j-Y -f- V Z) ct(X, Y, Z) = o.

Or, les courbes (S) et (cr) ont D points de rencontre variables, auxquels correspondent évidemment, puisque la courbe générale cle (S) ne passe pas parles points (a^, [3^-, v/), les points de rencontre de la courbe F avec la droite XX + aY-j-vZ = o. D'où l'on conclut déjà que la courbe F est de degré D.

D'autre part, la courbe F est la courbe générale d'un système linéaire de genre zéro, puisque le système (S) est de genre zéro. Elle doit donc avoir un nombre de points multiples fixes équiva-

lent a ^ — -> et qui ne peuvent être que les -^^ —

points de rencontre des D — i droites distinctes (p = o.

Le point capital à élablir maintenant est que les D — i droites forinani <ï>, sauf le cas D = 4? passent par un même point O, et, par suite, que la courbe F a en O un point multiple d'ordre D-i.

Prenons en effet une des D -— i droites, soit AB, et supposons qu'il V ait sur AB un point multiple d'ordre /?, c'est-à-dire que p — i droites viennent se rencontrer en un même point G de AB. Jl reste D — p — i droites qui devront couper AB au même point, car si une des D — p — i droites en question ne coupait pas AB au même point que les autres, ce point serait un point double pour F et il y aurait sur AB un point multiple d'ordre/?, un point multiple d'ordre D — /? — i , plus un point double, soit en tout

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D + I points. 11 y a donc, dans cette hypothèse, sur AB un point G^ multiple d'ordre D — p.

Mais prenons une droite C^D parmi celles qui passent en G . Il y a sur G^D^ p — i points doubles, plus un point multiple d'ordre D — /?, donc en tout D H-/> — 2 points de rencontre avec F, et comme />^2, il faut que p :=:^ 1 pour que ce nombre ne dépasse

Fi2-. 5.

pas D. Dans ce cas, nous avons sur AB un point double G et un point G^ d'ordre D — 2. Mais alors, sur la droite GD, il y aurait D — 2 points doubles, soit 2 (D — 2) points de rencontre avec F. Ge nombre n'est inférieur à D que si D = 4? ou D = 3.

D'ailleurs, pour D = 3, il n'y a évidemment pas d'exception. Donc, sauf pour D = 4? ^es droites <ï>, en nombre D — i, concourent en un même point, et ce point est pour F un point multiple d'ordre D — i .

Revenant maintenant aux fonctions /i , /2, /s, /'/j qui définissent notre surface, elles se transforment en quatre fonctions Fj,.F2, F3, F4, telles que les quatre courbes F/=o(^ = i, 2,3,4) ont en commun un point multiple d^ordre D — i, on peut supposer que ce soit le point X == o, Y = o, et la surface est alors représentée par des équations de la forme

z??-A,(X, Y)-hZBi(X,Y),

j = A.2(X, Y)-+-ZB2(X,Y),

^=:.A3(X,Y)-hZB3(X,Y),

^=:A,(X,Y)-hZB4(X, Y),

où les A sont des fonctions homogènes d'ordre D et les B d'ordre D — I, c'est-à-dire que la surface est réglée.

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Pour D = 4, les trois droites ^ peuvent former un triangle. La surface est alors représentée par les équations

^ = Fi(X,Y,Z), ^ = F2(X,Y,Z), ^ = F3(X,Y,Z), f = F4(X,Y,Z),

Fig. 6.

OÙ les F sont des courbes du quatrième ordre avec trois points doubles A, B, G. De telles courbes sont des transformées de coniques, comme on le voit en posant

Les équations de la surface se mettent finalement sous la forme

X = Xi(X', Y', Z'), y =M^', YS Z'), z = ls(X',Y', Z'), t = X,(X', Y', Z'),

les 1 étant des coniques. C'est une surface de Steiner. En résumé :

Les seules surfaces algébriques dont toutes les seetions planes sont unicursales sont les surfaces réglées unicursales et la surface du quatrième degré de Steiner (^).