III. — Des involutions sur les courbes algébriques

12. La considération des systèmes linéaires va se présenter dans l'étude intéressante des involutions sur une courbe algébrique.

Soit, sur une courbe f{oc,y) = o, une série de groupes de n points, tels que chaque groupe soit déterminé d'une manière unique et sans exception, si l'on en donne k points. On dira que

(^) Ce théorème pourrait encore être regardé comme un cas particulier d'une proposition énoncée en i886 par Kronecker : Toute surface algébrique irréductible possédant une double infinité de sections planes réductibles est réglée ou est une surf ace de Steiner {voir pour la démonstration de ce théorème une Note de M. Castelnuovo ô.d.ws\t?> Rendiconti délia Accadeniia dei Lincei, 1894).

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ces points forment une iiwolution cV ordre n et de dimension k : \\.

D'après cette définition, les n points jouent un rôle symétrique clans la détermination du groupe, c'est-à-dire que si l'on prend /c points au hasard, ces A- points déterminent sans ambiguïté les n — k autres, ce qui exclut le cas où deux groupes de la série, ayant en commun un ou plusieurs points, en nombre inférieur à /f, auraient en conséquence d'autres points communs. Cette circonstance peut d'ailleurs se présenter pour une série de dimensions au moins égale à deux, mais alors la série est formée de groupes dont chacun est composé d'un nombre entier r >- i de groupes arbitraires d'une même inçolution, comprise dans le sens que nous lui avons donné.

Dans le premier cas, nous dirons que V involution est simple et dans le second cas c\u elle est composée.

Or, considérons une série linéaire g^^^^ simple, c'est-à-dire telle que l'obligation de contenir un point n'entraîne pas comme conséquence, pour ses groupes, l'obligation de passer par d'autres points déterminés par le premier. Cette série est évidemment une involution Y^^ simple.

La question suivante se pose alors : Puisque toute série linéaire simple est une involution, réciproquement toute involution simple est-elle une série linéaire?

Il en est bien ainsi lorsque la dimension k de l'involution est supérieure à un. Mais pour k ^:= i ^ il existe des involutions qui ne sont pas linéaires. Telles sont, par exemple, les séries découpées par les génératrices d'une surface réglée irrationnelle sur les courbes appartenant à la surface.

13. Nous nous proposons donc de montrer qu'une involution simple ij^ peut être obtenue linéairement, c'est-à-dire que ses groupes sont ceux cjue déterminent sur la courbe f des courbes formant un système linéaire, sauf peut-être pour la valeur

(^) La démonstration qui suit est due à M, liumbcrt [Sur quelques points de la théorie des courbes et des surfaces algébriques {Journal de Mattiéniatiques^ 1894)].

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SoiLG(^i,^2) ...,^/^)un groupe de l'involiilion, eisoil g(œ^j) une fonction rationnelle telle que l'intégrale

relative à la courbe /, soit de première espèce. Formons la somme

elle peut s'exprimer en fonction des coordonnées et des différentielles de k points du groupe, soient les points (x^ , j|/,), . . .,(^/f, j'/,)^ d'où l'équation

(i) S'i^i-, 70 dxy^, . .-f- g{x.,,y,i)dx,,= Al dxi^. . .+ A/^dx/,,

les A étant des fonctions rationnelles de (^i,j)^i), . . ., (xjt^y/f).

Des propriétés des intégrales de première espèce, il résulte d'abord que A^- ne dépend que de (a^i^yi), puisque l'intégrale

(S) / A,-(^i, ji. . . ., x/„ y/,) dxi

devant être de première espèce est nécessairement de la forme

OÙ les gi sont relatifs à p intégrales de première espèce linéairement indépendantes de la courbe /*, supposée de genre p^ et où les a sont a priori des. fonctions rationnelles de

Or ces fonctions ne peuvent être c[ue des constantes, puisque l'intégrale (S) doit rester finie quelles que soient ces variables.

Donc Ki est simplement fonction de (^Xi.yi). D'autre part, le second membre de (i) doit être symétrique en (^, ,/)^i), ..., (•^/.,J)7,), donc on a

A.i= X(a7i, 7i), A,^ X(^2, Js)? ..., A/,:== \{Xk, Yk).

Mais on peut définir le groupe G au moyen de

(^i,7i), .•-, (^a-i,7a:-i), (^/,+i, j^a-m); ie premier membre ne change pas, et par suite on a le système

cV équations

X(^i, ji) dxy-=^ \{x2,y^^)dx^^ = , . .= \{xn, yn) dx^.

Si \ Il est pas ideniiqueineiit niil^ ces équations, pour un groupe initial Go, déterminent x^^ ..., oOji en fonction de .Tj, et par suite, on doit avoir k = i. Le système peut ne pas être linéaire. C'est le cas exceptionnel que nous avons mentionné.

14. Supposons donc A" >- i ; les 1 sont identiquement nuls. On aura alors, pour les p intégrales de première espèce gi^ les p équations

(2) g-i(Xi, JKi) dXi-h. . .-h §-i{Xf,, yn)dXn= O (1 = 1,2, .. .,p).

Ces équations déterminent sur/* une série de groupes de points dans laquelle notre série sera évidemment comprise. Or, en vertu d'un théorème bien connu, tous les groupes de points vérifiant uniquement les relations (a) sont découpés sur^ pardes adjointes qui ne rencontrent eu outre /'qu^en des points fixes. Soit

(3) XoOo-4- >^i^i-f-. . .-i- lr^r= O

la série linéaire complète satisfaisant à ces conditions, les o étant, bien entendu, linéairement indépendants sur la courbe : on a

puisque la série des groupes en involution (I) est comprise dans la série déterminée par le système (3), et l'on aura l'involation en assujellissant les \ k r — k relations algébriques et homogènes convenables. Il faut montrer que ces relations sont linéaires^ sous la condition admise que k points arbitraires de/" détermineat un seul groupe de l'involution.

Considérons le système S formé, dans le système linéaire (3), parles courbes de ce système qui découpent sur /les groupes de l'involution (I). La courbe générale de S est d'abord indécomposable, sinon les groupes de (I) seraient formés de points jouant un rôle dissymétrique, ou bien chaque groupe de (I) se composerait de groupes d'une involution d'ordre inférieur, cas que nous avons écarté.

De plus, par k points pris au hasard sur / ne passe qu'une

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courbe du système S. Supposons en effet qu'il en passe deux. Ces deux courbes passeraient aussi par les n — k points de/ qui, avec les k points primitifs, forment un groupe de I, et comme toutes les courbes de S coupent/ aux mêmes points fixes, on pourrait, en désignant par S, = o, S2= o les équations des deux courbes, trouver une constante Q telle que S, + 082=0 passât par un nouveau point de /, ce qui nécessite que S, + 8S0 soit divisible par/. Il existerait alors une combinaison des cp divisible par/, ce qui n'a pas lieu.

Ceci posé, deux cas peuvent se présenter. Ou bien par k points quelconques du plan ne passe c^n une courbe du sj^stème S, et alors celle-ci est linéaire en vertu du théorème démontré plus haut.

Ou bien par k points quelconques du plan passe un certain nombre /^ >> i de courbes de S. Prenons k ■ — i points quelconques du plan et un point quelconque sur la courbe/. Deux hypothèses pourront encore être faites: On peut supposer que par ces points passent moins de r courbes distinctes du système ou qu'il en passe r.

Dans la première hypothèse, deux au moins des courbes passant par les k points ainsi choisis coïncident, et alors on voit que/ serait l'enveloppe des courbes du système qui passent par k — i points arbitraires du plan, ce qui revient à dire que toutes les courbes du système S touchent / en un ou plusieurs points mobiles. Or chacune de ces courbes ne coupe / qu'en n points mobiles qui constituent un groupe de l'involution, et les points d'un groupe général sont évidemment distincts deux à deux. Cette hypothèse est donc inadmissible.

Dans la deuxième hypothèse, nous distinguerons encore deux cas, suivant que par k — 2 points arbitraires du plan et par deux points de /il passe moins de r courbes ou r courbes de S. On verrait comme précédemment que le premier de ces deux cas est impossible. On ne peut donc adopter que le second. Et en continuant ainsi de proche en proche, on arriverait à la conclusion que par /f points de /passent phisieurs courbes distincles de S, ce que nous avons démontré être impossible.

Donc le système S est linéaire et le théorème est établi.

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68 CHAPITRE m.

15. Gomme exemple àHïwolutlon composée, considérons une série linéaire ^'^^ non simple, c'est-à-dire telle que tous les groupes qui ont en commun un point arbitraire A^ , ont en conséquence p — I autres points communs A2, ..., Ap. Ces p points jouent d'ailleurs un rôle symétrique, de sorte que les groupes qui passent par A25 par exemple, ont en commun A, , A3, . . ., Ap et aucun autre point : ils forment donc une involution simple 1^ de dimension lui. La série ^J^ ainsi définie est une involution composée dont chaque groupe est formé d'un nombre entier k de groupes appartenant à une involution simple li, et l'on a

n = kp, p ^ 1.

Voici quelques conséquences de celte définition : Supposons qu'une telle série g*^^ soit complète et non spéciale : on a alors

D'autre part, comme /' points arbitraires déterminent un groupe de la série, on a

par suite

Donc une série complète et non spéciale est toujours simple si n > 2/>. En particulier, les adjointes d'ordre supérieur à m — 3, m étant le degré de la courbe/, déterminent une série simple, puisque n est égal au moins à ^ip — 1 -\- m (adjointes d'ordre m — 2 ) .

Les adjointes d'ordre m — 3 peuvent donner naissance à une involulion composée.

Il faut pour cela, puisque n = ip — - 2 et /■ ^=^ p — r , que l'on

ait

2/? — 2== Ap avec

p ^ 2, d'où

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Par suite, si la série canonique est une involution composée, son groupe est formé d'un nombre p — i d'involutions simples \\ d'ordre deux. Considérons alors le système linéaire de toutes les adjointes d'ordre m — 3 qui passent par p — i points fixes de la courbe, elles détermineront une ^^ • ce sont des courbes hyperelliptiques, car elles peuvent évidemment être transformées point par point en courbes telles que

11 suffit pour s'en assurer de considérer le faisceau P + XQ = o des adjointes qui déterminent la g\.

Réciproquement, il est clair que les courbes hyperelliptiques y- — R(,2?) 1= o contiennent une série linéaire g\ formée par les droites x = const.

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