SURFACES SOUS-ADJOINTES ET SURFACES ADJOINTES
ï. — Des systèmes linéaires de surfaces.
1. Nous avons défini, dans le Chapitre précédent, les systèmes linéaires de courbes planes par leur comportement en des points donnés du plan, les points-bases, et nous avons insisté sur la manière dont il fallait comprendre cette définition.
Les systèmes linéaires de surfaces^ d'ordre donné, sont définis par leurs comportements suivant certaines lignes-bases et en certains points-bases donnés.
Pour les lignes-bases nous supposerons que ce comportement est défini par le comportement, en un point O arbitraire de la ligne-base, de la courbe intersection de la surface par un plan arbitraire passant par le point O.
Quant "àViiL points-bases, que nous désignerons plus particulièrement sous le nom de points-bases isolés, qui sont en nombre fini, et qui peuvent être d'ailleurs soit des points extérieurs aux lignes-bases, soit des points particuliers des lignes-bases, on procédera comme pour les courbes planes. Soit O un de ces points, que nous supposerons être l'origine des coordonnées, après avoir mis les équations des surfaces passant par ces points sous la forme
o = cpi(^,j)/, z) + 92(^,7,^) -4-. . .,
où cp/ désigne l'ensemble des termes homogènes de degré «, le comportement de ces surfaces en ces points sera défini par un certain nombre de relations linéaires et homogènes entre les coefficients des cp jusqu'à un certain rang \.
2. Un système linéaire de surfaces d'ordre donné n sera coin-
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plet ou incomplet suivant que Ton considère l'ensemble tout entier ou une partie de l'ensemble des surfaces d'ordre n se comj3ortant de la manière indiquée aux points-bases donnés et le long des lignes-bases données.
3. En restant toujours dans les hypothèses bien nettement spécifiées plus haut, envisageons un système linéaire complet de surfaces d'ordre n^ soit | ^^H, défini seulement par certaines lignes-bases.
Si l'on considère l'intersection de ce système par un plan général a, on obtiendra ainsi, dans ce plan, un système linéaire de courbes d'ordre n, qui a ses points-bases aux points d'intersection du plan et des lignes-bases, et qui s'y comporte de la manière donnée. Mais ce système de courbes planes pourra être complet ou incomplet. Dans tous les cas, il est contenu dans un système complet [T^l, complètement défini par les points-bases.
4. Etant données des lignes-bases et un comportement défini dans un plan arbitraire, considérons d'une part le système linéaire \^^^\ ainsi défini, et d'antre part le système linéaire \W^\ défini par la condition cpie ses surfaces se comportent de la manière voulue, le long des lignes-bases, mais seulement dans le plan général passant par une droite donnée A. Le système \^'^\ est évidemment compris dans le système \W'^ |, s'il ne coïncide pas avec lui. Nous allons montrer c[ue ces deux systèmes coïncident.
Sur un plan général a de l'espace, les courbes découpées par I ^'^ I apparliennent à un système complet de courbes j F'^ |, et les courbes découpées par | W'^ | appartiennent à un système complet iAJJ[. Supposons que \W^\ et \<b^^\ ne coïncident pas, il faudrait que, pour un plan arbitraire a, les comportements delà section correspondante de \W^\ aux points de rencontre avec les lignesbases exigeassent moins de conditions que pour \<^'^\. Or les courbes A et r étant de même ordre /z, il faudrait que le degré (nombre des points d'intersection en dehors des points -bases) du système I AJJ I fût supérieur à celui du système \T'^\. Or ces deux systèmes ont même degré : en effet, le degré du premier système est l'ordre de la courbe d'intersection de deux surfaces <ï>, et le degré du second l'ordre de la courbe d'intersection de deux surfaces W; et
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ces deux ordres sont égaux, car ces deux courbes coupent en un même nombre de points un plan arbitraire passant par A. Les deux systèmes | <ï>^^ | et | W'^ | coïncident donc bien.
5. On conclut de la proposition précédente le moyen de construire une surface ayant le comportement voulu le long de lignes-phases données. Envisageons, dans un plan arbitraire passant par une droite fixe A, le système ] F'^ | complet de courbes d'ordre n ayant le comportement voulu aux points de rencontre du plan et des lignes-bases. Fixons une de ces courbes au moyen d'un certain nombre de points déterminés rationnellement en fonction du paramètre qui détermine Ja position du plan. Cette courbe, quand le plan tournera autour de A, engendrera une surface se comportant de la manière voulue le long des lignes-bases. Quant à l'ordre de cette surface, il pourra être supérieur à n, et sera égal à /2 -h A", si la droite est une droite multiple d'ordre k de la surface.
6. Revenons aux systèmes de courbes déterminés par V intersection cVun système linéaire de surfaces ctvec un plan. Nous allons démontrer le théorème suivant (') :
Des lignes-hases étant données avec comportement donné ^ le système linéctire des surfaces cV ordre suffisctmment élevé .^passant ct<,^ec le comportement voulu le long de ces lignes^ découpe sur un plan général un système linécdre complet et régulier de courhes.
7. Commençons par établir un lemme relatif aux systèmes linéaires de courbes planes: Soient | C'^ | et [ C'^"^ ' | deux systèmes complets et régulier s^ d'ordres /2 et n + i , ayant les mêmes points-bases et le même comportement en ces points. On forme toutes les courbes C'^"^^ composées d'une C'^+^ et d'une droite variable; nous allons montrer que le système linéaire IC""^-], de dimension minimum contenant toutes ces courhes C'^+-, est le sys-
(^) Ce théorème et la démonstration que nous en donnons sont dus à M. Castelnuovo [^Alcune proprietà fondanieiitali clei systeini lineari di curve tracciati sopra una superficie algebrica {Aiinali di Mateinatica, 1897 )1*
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tème complet cP ordre n + 2 défini par les mêmes points-hases et les mêmes comportements en ces points que les systèmes primitifs.
Désignons par p/^^ p/z+i, ?//+2 les dimensions des trois systèmes I G'M, I G'^"^^ L I G'^+- 1, et soient a ei h deux droites du plan. Les courbes de | G'^+- | qui passent par le point de rencontre de a et b forment un système de dimension O/^^o — i, qui contient, par hypothèse, les deux systèmes obtenus en réunissant d'une part les courbes de | G'^+' ] à la droite a, et d'autre part les courbes du même système | G'^"^' | à la droite b. Ges deux systèmes sont de dimension 0,^^, et ont en commun le système de dimension p,^ obtenu en réunissant les courbes de | G'^ | aux deux droites a et b. On a donc la relation
PAi+2~ i= ^?ii^l — P/^•
Or, en désignant par k le nombre maximum de conditions auxquelles doit satisfaire une courbe algébrique pour passer avec le comportement voulu aux points-bases donnés, on a, puiscjue les systèmes | G'^ | et | G'^+^ | sont réguliers et complets,
nin-^'^^ j ( ^ H- I ) ( 71 -f- 4 ) ,
donc
et par suite
72M- 7 /^ -T- 8 2pAi+i — p/z = : A",
Mais la dimension d'un système de courbes d'ordre ^z-1-2, ayant les points-bases et le comportement donnés, est au plus égal à
^ -^ — /f, donc on doit avoir
et par suite le système | G'^+^ | est complet et régulier, puisque les deux premiers le sont. Notre lemme est établi.
De ce lemme résulte évidemment que, sous les hypothèses faites, le système de dimension minimum | G'^+^' | contenant le système obtenu en formant toutes les courbes composées d'une G'^+^
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et d'une courbe d'ordre /' — i fixée arbitrairement est aussi complet.
8. Voici maintenant la démonstration du théorème fondamental énoncé au n° 6. Pour un groupe-base donné (lignes-bases et comportement), on peut clioisir l'ordre /2 du système des surfaces assez élevé pour que les systèmes complets de courbes | F'^ | relatifs à un plan sécant arbitraire soient réguliers, et qu'il en soit de même pour les systèmes | r^'*~* | déterminés par les systèmes de surfaces d/ordre Ji — i , et il en sera de même pour les systèmes d'ordre supérieur. Gela posé, partons d'une position arbitraire, mais fixe, du plan a, et fixons dans ce plan une droite arbitraire^'. Considérons le faisceau d'axe g et soit | F^^ | le système complet de courbes d'ordre n déterminé par les points-bases dans le plan a. On peut, comme nous l'avons vu, construire une surface <ï)^^+'^% ayant ladroile ^ comme ligne multiple d'ordre /f, qui se comporte de la manière voulue le long des courbes-bases données et dont l'intersection avec le plan a soit une courbe d'ordre n fixée à l'avance parmi les courbes du système | F'^ | correspondant.
Répétons la même construction en faisant varier dans le plan de départ aussi bien la droite g que la courbe F initiale. Nous obtiendrons ainsi une infinité de surfaces <ï)'-*+^^' qui appartiendront à un système linéaire complet | <ï>'^+'^ |. Toutes les surfaces de ce système se comportent de la manière voulue le long des courbesbases et découpent sur le plan a un système linéaire de courbes d'ordre n + A, comprenant toute courbe composée d'une T'^ et de la droite générale g comptée k fois .
En vertu du lemme précédent, ce système de courbes d'ordre /z -f- /{■ est complet et régulier. Donc le système complet \^'^'^^\ découpe sur le plan a un système complet de courbes. La même chose a lieu a fortiori -^our tout plan de l'espace et notre théorème est démontré.
9. Ces résultats peuvent s'étendre au cas où il y a des pointsbases isolés. On peut, en effet, en partant d'une surface ^ qui se comporte de la manière voulue le long des courbes-bases données, construire une surface particulière qui satisfasse aux conditions imposées par les points-bases, par exemple en adjoignant
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à #, pour chacun de ces points singuliers O, un cône de sommet O et d'ordre suffisamment élevé. De la sorte, en partant du système I $'^+^^ I obtenu précédemment, et faisant varier tous les éléments arbitraires, on obtient un système linéaire complet | (p'^ | de surfaces d'ordre 7?2 >> /z + /c qui découpe sur tout plan un système complet et régulier de courbes; on le voit par le même raisonnement.
10. Pour montrer l'intérêt du théorème précédent, indiquons des exemples de systèmes linéaires de surfaces qui ne découpent pas sur un plan un système complet et régulier de courbes.
Considérons toutes les surfaces du second degré passant par un groupe-base formé d'un cubic[ue gauche et d'un point A extérieur à cette cubique. Elles dépendent de deux paramètres et déterminent, sur un plan arbitraire, un système de coniques qui n'est pas le système complet des coniques passant par les trois points où la cubique rencontre le plan, car elles doivent passer par un quatrième point fixe, le point double apparent de la perspective de la cubique sur le plan, avec le point de vue A.
Soit, en second lieu, le système des quadriques passant par huit points; elles déterminent, sur un plan arbitraire, un système de coniques dépendant d'un paramètre, qui n'est, par conséquent, pas le système complet des coniques du plan.
ÏI. — Sur la dimension d'un système complet de surfaces (^).
H. Considérons un système complet de surfaces d'ordre /2, défini par des lignes-bases et des points-bases. Ce système \^'^ | détermine, sur un plan général a, un système de courbes planes ayant un comportement déterminé aux points où a rencontre les lignes-bases. Ce système peut n'être pas complet; il. est compris alors dans un système complet | T'^ j et il a un certain défaut to^^. Le système |r'^| peut ne pas être régulier : soit Sn sa surabondance. La dimension p/^ du système | F^^ | sera
pA. = ^ — ^ ^^ — I A- -!- Sn,
k ne ciépendant pas de n. Alors le système | <î>^^ | de surfaces dé- (^) Voir Castelnuovo {Mémoire cité d^w. n° 6).
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termine sur a un système de courbes dont la dimension est
Si l'on assujettit une surface ^'^ à passer par o,i — (0,^ + i points pris arbitrairement dans le plan a (en supposant cela possible), cette surface se décomposera en le plan a et une surface du système I ^^^~^ I défini par le même groupe-base. Si donc />^ et /'/^, désignent les dimensions des deux systèmes \^'^\ et j<ï>/^~' |, on aura
d'où
/o\ (/2-hi)(/2-+-a) , ^ ^ . ^
Dans le cas où le système [(ï)/-*"' | n'existerait pas, on aurait alors f^n^== pn — ^/Z5 ce qui revient à poser, dans l'expression précédente, ?',i.\ = — I .
Cela posé, partons de la plus petite valeur de n pour laquelle I ^'^ I existe, et écrivons toutes les égalités (E). Quand n atteint une certaine valeur/, le système [ F^^ | devient régulier, c'est-à-dire que s,i est toujours nul. Puis n continuant à croître, il arrive une valeur /^/, à partir de laquelle on a a la fois ^ ^/^ = o, 03/^=0, d'après le tliéorème fondamental, et alors on a
On a donc les égalités
(a-hi)(a + '2)
{nll).
j(f-f-i) rt-i — /^/2 = k -i- 5/, — oj/|,
(^j-0(^^2Ji) h-
/V-i — r/2 = k — co/i,
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Eli ajoutant, on obtient La formule très intéressante valable pour n supérieur ou égal à l — i
(A) 7^;, ^ ^ ^ — I - kji -i- k ,
ou k' désigne une nou^^elle eons tante [positive ou négative) (jui, comme /r, ne dépend pas de n. Ces deux constantes h et k^ dépendent du groupe-base; mais, tandis que la recherche de k se ramène à un problème de Géométrie plane, la recherche de //, cpii dépend à la fois des lignes-bases et des points-bases, est beaucoup plus difficile.
Comme exemple, considérons le cas particulier où le groupebase se réduit à une courbe simple de degré <:/, de genre/?, avec / points triples. Nous avons vu que le nombre des conditions pour (pi'une surface d'ordre n suffisamment grand passe par cette courbe est égal à
nd — p — 2^ + 1; donc
■ nd -\- p -^ 'it -
etj par suite,
k = d, k' = 'it -^ p
12. Connaissant k et k\ relatifs à un groupe-base donné, la formule (A) ne donne la dimension du système des surfaces I ^'^ I que pour n suffisamment grand.
Pour 72 ^ / — I , la formule est exacte.
Pour n <^ l — j , il faut ajouter à la valeur (A) la différence
et l'on a
. wx (77 + l)C7Z-f- 2)(72 + 3) 7 // , "^ ^
(A') 7',,==:^ ^ ^r—^ . —i—kn-^k'-h 2^ w/,— 2^ su,
la première somme s'annulant à partir de n ^= l — i , et la seconde à partir de n ^=- i — i .
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îlï. — Du système linéaire des surfaces sous-^adj ointes ('^).
13. Nous avons déjà défini les surfaces sous-adjointes à une surface donnée f[x,y^ z) = o. Une surface o[x^y^ z) =^ o est sous-adjointe à f^ si une section j3lane arbitraire de / a pour adjoinle la section plane correspondante de la surface cp.
L'ensemble des surfaces sous-adjointes à / d\in ordre donné forme évidemment un système linéaire de surfaces, dont la dimension peut être supérieure ou égale à zéro.
Il existe toujours des surfaces sous-adjointes d'ordre /^^ /2 — î, n étant l'ordre de la surface /, puisque telles sont les surfaces polaires des points de l'espace par rapport à y, jointes à une surface d'ordre r — /z + i •
14. Nous reportant à ce que nous avons dit relativement aux intégrables doubles de première espèce au Chapitre Vif du premier Volume, on peut montrer que si cp est une sous-adjointe, l'intégrale double
r r o{ X, y. z) dx dz ^') Jj ^—^y
est finie à distance finie, sauf peut-être en un certain nombre limité de points singuliers de la surface. Le seul point à établir est évidemment que cette intégrale reste finie en général le long des lignes multiples. Or, sur une ligne iPxultiple, l'x d'un point est une fonction a(^z) de z liolomorphe dans le voisinage d'un valeur y, d'ailleurs arbitraire, de z. Gela posé, envisageant la sec tion plane f\x^y^ ^) = o, l'intégrale
/<^\x\ y, z^ , ;../ • ^ - dx
une
relative à cette courbe restera finie au point multiple, interse tion du plan s=s avec la ligne multiple, puiscjue o est une
(^) Dans la définition des surfaces sous-adjointes, comme dans celle des surfaces adjointes qui sera donnée dans la Section suivante, nous nous plaçons à un point de vue transcendant entièrement différent du point de vue algébrique de M. Enriques.
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adjointe. D'autre part, le quotient ^i ^^t susceptible, sur la sur-
face^ cFun certain nombre de développements suivant les puissances croissantes fractionnaires de x — a(z)^ soit
On a évidemment a >> — i, puisque l'intégrale (2) doit rester finie, et les coefficients A sont des fonctions holomorplies de z. En posant
l'intégrale (i) devient
(A t//^-H-. . .)diidz,
et, sous cette fornie^ on voit bien qu'elle reste finie autour du point w = o, s =: v.
La réciprocjue est d'ailleurs immédiate. Si l'intégrale (i) reste finie en général le long de toute ligne multiple, la fonction o définit une sous-acljointe ; il faudra, en effet^ que l'intégrale
reste finie autour des points de rencontre du plan s = 5 avec la ligne multiple, sinon le nombre a, considéré plus haut, serait <C — ï, et l'intégrale double ne serait pas finie.
lo. Nous avons défini les surfaces sous-adjointes à / par la condiîion cjue leurs sections, par des plans arbitraires généraux, soient des adjointes de la section correspondante sur /. On peut se borner, dans la définition, à considérer seulement des sections planes passant par une droite arbitraire donnée.
Soit A une droite occupant, par rapport à la surface, une position arbitraire, la coupant, par exemple, en des points distincts; on suppose qu'une surface A soit telle cjue sa section, par un plan général passant par A, soit une adjointe de la section correspondante àe f. Il faut montrer qu'un plan général de l'espace coupe ^ suivant une adjointe de la section correspondante de/.
Ce théorème est évident pour les lignes multiples ordinaires.
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8o CHAPITRE IV.
Si, par exemple, la surface a une ligne multiple d'ordre m, avec des plans tangents en général distincts, la surface ^ aura certainement cette ligne comme ligne multiple d'ordre [j. — i, puisque jes plans passant par A donnent des adjointes, c'est-à-dire des lignes avec points multiples d'ordre li — i. La surface ^ admet donc, en un point général de la ligne multiple, [j. — i plans tangents, d'où la conclusion indiquée.
La proposition est moins immédiate si les lignes multiples sont de nature quelconquco On peut faire le raisonnement de M. Enriques, qui demanderait peut-être à être un peu plus développé.
Nous avons dit qu'il existait toujours des surfaces sous-adjointe& d'ordre r^ 71 — i , soit /• = /i — ^ 3 + p > /z ^ — i . Considérons, d'une part, toutes les surfaces es sous-acijointes d'ordre /', coupant de la manière voulue un plan général de l'espace, et, d'autre part, les surfaces il coupant de la manière voulue seulement un plan général passant par la droite A. Les surfaces cp et les surfaces ^ forment deux systèmes linéaires de surfaces, et le système 'i^ contient le système es. Il faut montrer que ces deux systèmes coïncident. En effet, si l'on désigne par tï le genre d'une section plane générale de /', et, par suite, d'une section plane passant par A, une surface cp coupe, en dehors des lignes multiples, la surface y suivant une ligne y dont l'ordre est égal au nombre des points d'intersection dey avec un plan arbitraire, qu'on peut supposer passer par A; ce nombre est égal à 27: — 2-|-p/z, en vertu de l'iiypotlièse faite. 11 est le même pour la courbe y' d'intersection d'une surface i avec /. Les courbes y et y' sont donc de même ordre. Cela posé, un plan quelconque a coupant la surface y suivant une courbe K, coupera les es suivant un système linéaire de courbes adjointes à K, et les ii suivant un système linéaire qui contiendra le premier. Or, une courbe de l'un et l'autre système coupe K en stt — 2 -f- p /i points en dehors des points multiples. Ces points multiples absorbent donc le même nombre de points de rencontre avec K pour l'un et l'autre système, donc l'intersection des à par un plan arbitraire est une adjointe.
Dans Je cas où l'ordre des (d serait <^ n — i^ il suffirait d'adjoindre à cp un nombre suffisant de plans arbitraires, de manière à avoir un ordre supérieur à n — i, et de répéter le même raisonnement.
SYSTÈMES LINÉAIRES DE SURFACES, ETC. 8l
16. On peut donner, de la proposition précédente, une démonstration presque intuitive, avec les intégrales doubles.
On peut supposer que la droite A est à l'inlini dans le plan œy; le faisceau de plans est alors z = const. Soit un plan arbitraire qu'on peut prendre sous la forme x =^ Xq; l'intégrale
y, z) dx clz
reste finie en général le long des lignes multiples, puisque, par hypothèse, la courbe :f (^,7, ^) = o est une adjointe de la courbe /(^, j, ^) = o. Or, l'intégrale précédente peut s'écrire sous la
forme
' '^{^^ Y') -•) ^fy <'^'^'
ir
elle est finie, en général, pour tout point à distance finie ^ donc l'intégrale
•y^ ^ ^ {xq arbitraire)
relative k f{xQ.y^ z) ■=^ o est finie pour le voisinage du point multiple considéré de la ligne multiple, et, par suite, la courbe cp(^05 y? ^) == 0 est une adjointe de la courbe /(^o? JK? -s) =: o. Le plan x = Xq pouvant être regardé comme un plan arbitraire de l'espace, le théorème est démontré.
17. La dimension d'un 'système linéaire | ^v | de surfaces sousadjointes d'ordre v s'obtiendra en appliquant la formule (A) du n" 11. Supposons qu'il s'agisse des surfaces dont l'ordre v^ni — 3, m étant l'ordre de la surface /. Le système des courbes planes déterminé par les | ^v ! sur un plan général a peut ne pas être complet, mais il est certainement régulier^ et l'on a par suite S5/ï=: o. SoitTû le genre d'une section plane de la surface, on aura
En désignant, comme précédemment, par /^ m — 3 le nombre à
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partir duquel le système des courbes planes est complet, on a
/ - 1 r, = ^ 1 - /cv - /. + 2 '""
en convenant que le terme Sw/^ s'annule pourvu / — i, et les o>^ étant les défauts relatifs aux systèmes des adjointes planes d'ordres v+i^ v+2, ...^ l — i. Dans cette formule, //désigne une constante indépendante de v.
ÎV. — Du système linéaire des surfaces adjointes et du genre numérique.
18. Le système des surfaces sous-adjointes est un système de surfaces dont le groupe-base ne contient que des lignes. Il est défini par le comportement d\ine de ses surfaces le long des lignes multiples de la surface donnée f(a^^ y^ z) = o, de degré m, sans qu'il soit question des points multiples isolés, que peut posséder la surface, par lesquels une surface sous-adjointe arbitraire ne passera pas en général. Lors donc qu'on effectuera une transformation birationnelle, une surface sous-adjointe ne se transformera pas en une surface sous-adjointe, si, à la surface /, correspond une surface F, telle qu'à un point multiple isolé de /correspond sur F une courbe multiple d'ordre au moins égal à deux.
19. Envisageons maintenant les surfaces adjointes d^ ordre m — 4 ^^ nous avons définies au Ghap. VII du premier Volume, à propos des intégrales doubles de première espèce. Elles forment un système linéaire, désigné sous le nom de système canonique, de dimension pa- — i ,
I K I rj„iq^{x, 7, z) -^ y.oq^{x, j, ^) H-. . .-f- %;,„qj,^{x, y, z) =. o,
dans lequel chaque surface cj d'ordre m — 4 peut servir à former une intégrale double de première espèce
r r cf{x,y,z)dx dy ^
Nous avons vu que le nombre />^-, genre géoniétriciue de la surface, était un nombre invariant (t. I, p. igS), c'est-à-dire
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qu'il est le même pour deux siuTaces qui se correspondent birationnellement, et la même démonstration (t. I, p. 207) établit V invariance du système canonique. Cette invariance est exprimée par l'identité
les Q étant les polynômes adjoints d'ordre M — l\ relatifs à Ja surface F, supposée de degré M.
Le système [R] appartient évidemment au système des sousadjointes d'ordre m — 4, mais avec des points-bases en plus. Ce système est défini par la condition que sa surface générale se comporte le long des lignes multiples de / comme une sous-adjointe, et di\xs.points multiples isolés de manière qu'en ces points l'intégrale (I) reste finie. Cette dernière condition se traduit toujours d'ailleurs par un certain nombre de relations homogènes et linéaires entre les coefficients.
Nous sommes donc bien dans les conditions où nous nous sommes placés au début de ce Chapitre, relativement au comportement d'un système de surfaces le long de lignes-bases données et en des points-bases donnés.
20. Nous avons défini les surfaces adjointes d'ordre m — 4 a'-^ moyen des intégrales doubles de première espèce. Des considérations du même genre vont nous permettre, en restant toujours au point de vue transcendant, de définir les surfaces adjointes, à une surface donnée/, d^ ordre supérieur à m — 4-
On peut d'abord, par une transformation préalable, faire en sorte que la surface /' ne présente à l'infini aucune singularité isolée, c'est-à-dire que tous les points multiples isolés soient à distance finie. Cela posé, le polynôme q[x^y.^z)., d'ordre m — 4 + ^% étant le plus général de son degré, envisageons l'intégrale double
' q {x, y, z) dx dy
Lf-
et cherchons les conditions auxquelles ce polynôme cj doit satisfaire pour que cette intégrale reste finie et déterminée pour tout
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point à distance finie. Nous arrivons d'abord à la conclusion que la surface ^(^,j/, s) = o doit se comporter le long des lignes multiples comme une sous-adjointe. Quant au comportement en un point multiple isolé O, que nous supposerons être l'origine des coordonnées, on mettra la fonction q sous la forme
où cp/ désigne l'ensemble des termes homogènes de degré i^ et effectuant alors successivement les transformations qui permettent de réduire la singularité, on arrivera nécessairement à un certain nombre de relations linéaires et homogènes entre les coefficients des cp jusqu'à un certain rang, et qui seront les mêmes, quel que soit V ordre ni — 4 + ^' de la fonction c[. INous arrivons donc à cette conclusion que les surfaces adjointes forment un système linéaire de surfaces qui se comportent le long des lignes multiples comme les surfaces sous-adjointes et qui, en outre, aux points multiples isolés, se comportent d'une manière déterminée indépendante de leur ordre. Si donc la surface f admet des adjointes d^ ordre m — 4 7 on pourra dire que les adjointes d'ordre ni — l\-\-r ont le long des lignes multiples et aux points multiples isolés le même comportement que le système canonique | K|.
Remarquons que nous ne disons rien relativement au comportement des surfaces €[ à l'infini. En exprimant que l'intégrale (I) reste finie à l'infini, on retomberait sur les adjointes d'ordre m — 4-
En particulier, si la surface f n'a d'autres singularités que des courbes multiples ordinaires d'ordre i et des points multiples isolés ordinaires de l'ordre A, les surfaces adjointes sont déterminées par la condition d'avoir ces lignes comme lignes multiples d'ordre i — i, et ces points comme points multiples d'ordre A — 2.
Le système adjoint et le système sous-adjoint peuvent coïncider. Cela a lieu, par exemple, lorsque la surfaceyne possède pas de points multiples isolés, ou lorsque ces points sont d'ordre 2. Il en est de même pour une surface / qui possède une courbe double et, sur cette courbe, un certain nombre de points multiples
isolés d'ordre A, qui soient d'ordre — pour la courbe
double, par exemple un point triple de la courbe double.
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SYSTÈMES LliNÉAlRES DE SURFACES, ETC. 85
21. Rappelons encore une remarque faite (t. I, p. 207) relative aussi bien aux sous-adjointes c|n'aux adjointes. Ces surfaces, en dehors des lignes multiples et des points isolés qu'elles doivent contenir, peuvent encore, de ce fait, passer par certains points simples ou par certaines courbes simples de la surface, du moins tant que leur degré ne dépasse pas une certaine limite. Nous en avons donné des exemples. Voici, sur le même sujet, une observation importante.
Supposons que, considérant/ et sa transformée F, il J ait sur/ un -^oiYil fondamental, c'est-à-dire un point simple de la surface qui se transforme en une courbe, courbe exceptionnelle (en général une droite) de la surface F. Soit la courbe A correspondant au point a. Nous allons démontrer que toutes les adjointes d'ordre M — 4 «^^ F passent par A. Supposons le point a à l'origine des coordonnées. Dans l'entourage de ce point, z est une fonction holomorplie de ^ et jk- A un point de la courbe A
correspond une valeur de -? et l'on aura
\ x= S(X, Y), ^^^ iy^^P(X,Y) = S(X,Y)P(X,Y),
P et S étant bolomorphes en X et Y dans le voisinage du point considéré de A, et S s'annulant pour les points de A. Partons alors de l'identité (a)
des équations ([3) on déduit
D(X, Y)" ~ \dX ^ "~ ^' dx)
et l'on en conclut que les adjointes a, Qi +...-1- ^-^^^Qp^=o passent bien par la courbe A.
22. De la définition que nous avons donnée des surfaces adjointes, on peut conclure que le théorème du reste, établi au Ghap. I dans le cas des surfaces sous-adjointes, s^ étend aux surfaces adj ointes . En effet, les surfaces adjointes étant des sousadjointes si l'on désigne par cp, (L, y trois adjointes dont la pre-
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mière passe par deux groupes de courbes P et Q, la seconde par P et Q', ]a troisième par P^ et Q, on a l'égalité
Nous pouvons d'ailleurs supposer que l'adjointe (d ne se comporte pas d'une manière spéciale aux divers points singuliers isolés, c'est-à-dire qu'elle se comporte en cliacun de ces points comme une adjointe arbitraire d'un degré suffisamment élevé. Cela posé, nous avons sur la surface^ d'après l'identité précédente,
'K^'.y^-)yS^^ y^^-) ^ ?(^. r'^)?(^r7.^)- La surface [3 r=r o, qui est nécessairement une sous-adjointe, doit être de plus une adjointe. Pour montrer qu'il en est bien ainsi, envisageons un point singulier isolé A; on sait que le voisinage de ce point sur la surface peut être représenté par un certain nombre de développements où x^ jr, z sont des fonctions holomoi'phes de deux paramètres u et {> dans le voisinage de u = o, ç = o. Prenons l'un de ces développements, et considérons l'intégrale double
" r o(x, y^ z) dx dy
If
On pcfit écrire, en appliquant un théorème classique de Weier-
strass sur la décomposition en facteurs d'une fonction de deux
variables,
dr dv __ P ( u. v) du di>
Q(?^, ç) étant un polynôme en u^ dont les coefficients sont holomorphes en (^ dans le voisinage de p» = o ; de plus, P(?/,p) et Q(z/, p) n'ont pas de facteur commun holomorphe en u et t^, s'annulant pour a = o, (^ = o. D'autre part, soit
cp(^, y, z) = ^^{u, v) :
pour que l'intégrale reste finie, il faudra que ^{u, r) contienne en facteur Q(;^, p). Avec plus de précision, si
les q étant des polynômes en u irréductibles, <ï> contiendra q^^
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^2; • • -7 ^m en facteur aux puissances respectives
Les deux fonctions
contiendront ^^, ^2, • ••? ^/?^ <^^^ moins aux puissances respectives [jii, Uo? • • •) p•7?^? et si l'on pose
on déduit de l'identité
que B(z^, v) contient q^^q^^ . . ., q^ au moins aux puissances [Ji,, |ji2, . . ., [A;;2 et, par suite, au moins aux puissances ai, 7,2, . . ., a,,^. Or l'intégrale double
jj — '~f. — "
pouvant s'écrire
J J QuT^ô '
restera alors finie pour le voisinage de A correspondant au développement considéré; il en est par suite de même des autres, et enfin nous pouvons conclure que
P(.r, r, 5) = o est une surface adjointe.
23. La dimension l!^m~!i^r d'un système linéaire de surfaces adjointes d'ordre v =: m — /\ -\- r est donnée, comme pour les sous-adjointes, parla formule
dans laquelle on a
li - ^ ..,
7z étant le genre d'une section plane de la surface, et k" une constante indépendante de v; en général, le nombre k^' est différent du
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nombre k' qui se présentait dans la formule analogue relatif aux sous-adjointes.
Appliquant la formule (E) du n"" 11, on a
d'où, en tenant compte de la valeur de A", la relation qui nous sera bientôt utile
dans laquelle o) s'annule à partir d'une valeur suffisamment grande de r.
24. Considérons en particulier le cas des surfaces adjointes d'ordre m — 4, la dimension 'Nm^/i est alors égale au genre géométrique de la surface, />o, diminué d'une unité; on a donc
(m — i)(in — i) {i7i — 3 ) , ' ,, 'V'
/i rr 7?Z — 3
Introduisons maintenant un nouveau nombre p,i, que nous appellerons le genre numérique de la surface, et qui est défini par l'égalité
on a la relation
(i[M\, Pg étant déterminé, définit /> ,2, résultat que l'on énonce de la manière suivante :
La différence entre le genre géométrique et le genre numéricjue d\ine surface f d^ ordre m est égale à la somme des défauts des systèmes de courbes découpées sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes à f d^ ordre supérieur ou égal à m — 3 ,
Pour établir V invariance du genre numéricjue pn, il suffira
donc d' établir r invariance de la somme 2u^^' C'est une ques-
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lion que nous traiterons dans un Chapitre suivant, après avoir fait l'étude des systèmes de courbes sur une surface. U égalité fondamentale
a été introduite dans la théorie des surfaces par M. Enriques (^ ).
2o. La surface est dite régulière quand on d.pg-=. p,^^ et, dans ce cas, tous les défauts co„^3, i^m^.^-^ • • • sont nuls.
Nous allons établir, avec M. Castelnuovo (^), que si (jL)„i 3=o et (jL);^i 2= o, tous les autres co seront nuls et par suite que la surface sera régulière. Dans cette hjpotlièse, les surfaces adjointes d'ordre m — 3 et d'ordre m — 2 déterminent sur un plan des systèmes |r"^~3 I et ] r'^"^ j q^i gont complets et réguliers, cette dernière propriété appartenant, comme nous l'avons vu, à toutes les adjointes à partir de l'ordre m — 3. Faisons d'abord seulement l'hypothèse i^^m-i = o : on en conclut, en appliquant le lemme du n° 7, que le système composé d'une courbe Y^^~'^ et d'une droite variable est complet. Or, une surface adjointe <î)'^^~' coupe le plan suivant un système linéaire jouissant de la propriété précédente, puisque une ^'^^^ comprend en particulier une <ï)^^~- et un plan* donc le système | <ï)^~^ | découpe sur un plan arbitraire un système complet et régulier, et par suite
on démontrerait de même que tous les autres défauts sont nuls. Ainsi de la seule hypothèse tO;^2= o, on conclut
Si donc on fait à la fois U hypothèse (û„i^=: o et l^ hypothèse to«,9 = o, on aura
et la surface sera régulière.
(^) Enriques, Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche {Mem. délia Societa italiana d. Scienze, t. X; 1896). (-) Mémoire cité au n° 6.
go CHAPITRE IV.
26. En réalité, M. Castelnuovo a établi (/oc. cit.) que la condition C0;;;3=:o suffit pour qu'une surface soit régulière, c'està-dire que cette condition entraine a)/;i o=:o. Nous ne démontrerons pas cette élégante proposition et nous ferons seulement, en terminant, la remarque que si to,;2 3=: o et si la section de f par un plan arbitraire est une courbe normale , la surface sera régulière.
Nous avons vu (Chap. II, n" 24) qu'une courbe plane normale est une courbe telle que la série g\^ déterminée par les droites du plan soit complète. Soit donc une telle courbe que l'on peut supposer n'avoir que des points doubles, et soit d leur nombre. Nous avons vu que la courbe n'est certainement pas normale, si l'on a la relation
Nous ne pouvons donc que faire les deux h vpo thèses
OU
jn — 3 . /?2 — 2
Supposons d'abord qu'il n'y ait pas d'adjointe d'ordre m — 4 ou qu'il n'y en ait qu'une seule, ce qui entraînera nécessairement
La dimension r^-s des adjointes d'ordre 77i — 3 est tz — i; soit 7^ la dimension de la série minimum L, somme de g^^^^ et de g2n-2-)
C'est ce qui résulte de la considération de la série minimum L, quand on Fassujettità contenir deux points fixes A. et B arbitrairement pris sur la courbe. Sa dimension est alors r — 2. D'autre part, elle doit contenir la série linéaire de groupes de points obtenue avec les adjointes d'ordre /?? — 3 passant par A et les droites passant par B, ce qui donne une série linéaire de dimension rjn^ ; on peut avoir une seconde série en intervertissant le rôle des points
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A et B. Les deux séries ainsi trouvées n'ont d'ailleurs pas de série linéaire cotniniine, puisqu'il n^ y a pas d'adjointe d'ordre m — 4 ou qu'il n'y en a qu'une, ne dépendant pas par conséquent de paramètres arbitraires.
On a donc bien
Or
donc
Mais la dimension du système complet des adjointes d'ordre
m — 2 est -^ — — a o
supérieur à 2 7?2 • — 4^ ^t par suite
(ru — 2 ) ( /?! -I- I ) j / T\ P A ^
2 est-^ — — a ou 2J71 — 4- l-'onc r ne peut être
Le système minimum est donc le système complet. On en déduit que les surfaces adjointes d'ordre /?? — 2 coupent le plan suivant le système complet : donc co;;;.o=:: o.
Supposons maintenant qu'il y ait des adjointes d'ordre m — 4? et en ayant toujours
la dimension de ce système d'adjointes sera
£ étant supérieur ou égal à zéro suivant que le système n'est pas régulier ou est régulier. Nous allons montrer que s == o.
La série ^'2^2,„ déterminée par les adjointes d'ordre m — 4 est contenue dans la série canonique g^^^l^^ : il existe par suite un système résiduel g'^[^,\ or, d'après la loi de réciprocité de Brill- Nœther, on a
OU
d'où l'on déduit, en tenant compte des valeurs de r et de t:,
9^ CHAPITRE lY. — SYSTÈMES LINÉAIRES DE SURFACES, ETC.
Si donc £ n'était pas nul, la série gl^ ne serait pas complète, puisqu'il existerait un système gm{i^'> 2), la comprenant. La conclusion est la même cjue précédemment, le système des adjointes d'ordre m — ^ 4 ^st régulier.
On peut appliquer alors le lemme fondamental en partant des adjointes d'ordre m — 4? et la démonstration est immédiate. Il faut seulement remarquer que, dans le cas de
la condition s = o nous apprend qu'il n'y a qu'une seule adjointe d'ordre m — 4? ce qui nous ramène au cas précédent.
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I. — Remarques générales concernant les systèmes linéaires de courbes sur les surfaces.
1. INous avons déjà parlé dans le premier Volume (Ch. VIll, § III) des systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface algébrique /(x, j/, ^) = o. Nous nous sommes bornés alors à quelques remarques générales importantes que nous allons rappeler succinctement.
Un système linéaire [ G | de courbes sur la surface /"se compose de l'ensemble des courbes d'intersection de la surface / avec le système linéaire des surfaces
|L| aoLo-V-aiLi-F. .. + a,/L;. =: o.
Le système |G| aura même dimension r que le système |L|, s'il n'existe aucune relation linéaire entre les L sur la surface/'.
La courbe générale d'un système linéaire peut être réductible ou irréductible. Dans le cas où elle est réductible, elle se composera en général d'une partie fixe et d'une partie variable. Cette partie variable peut, elle-même, être réductible ou non : nous avons démontré que, si elle est réductible, elle se compose nécessairement des courbes d'un faisceau. Si la courbe variable générale est irréductible, elle peut d'ailleurs se décomposer pour certaines relations entre les paramètres a.
La courbe générale d'un système peut avoir aussi des points fixes, points-bases. On peut toujours supposer que ces points sont des points simples de la surface /, en effectuant une transformation convenable. Pour la courbe générale du système, ces points peuvent être simples ou multiples.
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(JÎ CHAPITRE V.
2. Lorsqu'on parle d'un système linéaire de courbes | Gj sur la surface /on ne considère en général que V ensemble des courbes variables. Par système irréductible nous entendrons par conséquent un système dontla courbe variable générale est irréductible, sans nous occuper de la partie fixe, si elle existe. Dans certains cas il y a lieu pourtant, comme nous le verrons, de distinguer les systèmes irréductibles a^^ec ou sans partie fixe.
Rappelons encore que la courbe variable d'un système ne peut pas avoir, en dehors des points-bases, des points multiples qui n'appartiennent pas aux lignes multiples de la surface/*, et que les points variables d'intersection doivent décrire la surface tout entière. Le degré n du système est le nombre des points d'intersection variables de deux courbes générales du système : on a /• — ■ I 5/^7 et, pour r = 1 , 72 nu: o. Cette définition du degré suppose naturellement que la dimension du système est supérieure ou égale à un^ /*> i .
Le système est simple si la condition de passer par un point de la surface n'entraîne pas, comme conséquence, pour les courbes du système, l'obligation de passer par d'autres points déterminés par le premier.
3. Disons quelques mots relativement aux courbes fondamentales d'un système. Cette notion nous sera utile dans le Chapitre suivant lorsque nous aborderons l'étude des courbes adjointes à un point de vue géométrique. On entend par courbe fondamentale d'un système |C| une courbe qui n'impose qu.hine condition aux courbes de ce système qui peuvent la contenir. Une courbe C assujettie à passer par un point arbitraire d'une courbe fondamentale doit la contenir tout entière, sauf le cas où ce point serait un point fixe du système | C |. Une courbe fondamentale n'est donc pas coupée en des points variables par la courbe générale du système, et réciproquement une courbe qui n'a, avec la courbe générale d'un système |C|, aucune intersection variable ne peut être qu'une courbe fondamentale pour ce système. Le système de toutes les courbes C qui contiennent une courbe fondamentale, c'està-dire ce que l'on appelle le système résiduel de la courbe fondamentale par rapport au système |C|, est de dimension r — i, si r est la dimension de |Cj, comme il résulte de la définition
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même. Ce système résiduel aura avec la courbe fondamentale des points d'intersection variables.
On dit c[a'une courbe fondamentale est propre ou impropre suivant que le système résiduel de cette courbe par rapport à |G| a UQ genre inférieur ou égal au genre tî de la courbe générale C.
4. Rappelons encore qu'on donne le nom de courbes exceptionnelles aux courbes de la surface qui, par une transformation birationnelle, peuvent correspondre à des points simples de la surface transformée. Nous avons déjà eu occasion de considérer ces courbes dans le Chapitre précédent.
5. On peut, comme nous l'avons vu (T. 1, Ghap. VII), obtenir des transformées de la surface considérée au moyen des surfaces c[ui détermiaent le système | C |, soit dans l'espace S;^, r étant la dimension de |G |, soit dans un espace de dimensions moindres. Ge sera, par exemple, dans l'espace S; , la surface définie par
Xy — ~- y X'-i — -j ? • • • 1 T,
ou, dans l'espace S3, une surface définie par
Les sections planes, ou hyperplanes, d'une transformée ainsi obtenue correspondent aux courbes G du système |G|. Nous aurons souvent à faire usage de pareilles transformations.
Si le système |G| a des courbes fondamentales, à l'une de ces courbes correspondra, sur la surface F transformée que nous venons de définir, un point, en général multiple. Les sections hyperplanes passant par ce point correspondront au système résiduel de la courbe fondamentale par rapport à | G|. Leur genre sera donc inférieur ou égal à tï suivant que la courbe fondamentale sera propre ou impropre.
6. Parmi les systèmes linéaires que l'on peut tracer sur une surface y, il y a lieu de distinguer en particulier ceux qui, étant simples et irréductibles, ne possèdent ni points-bases, ni courbes
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fondamentales, et qui permettent de transformer la surface donnée en une surface sans singularités dans l'iivperespace, donc en une surface n'ayant que des singularités ordinaires dans l'espace à trois dimensions. La question de l'existence de pareils systèmes se rattache étroitement à celle de la réduction des singularités d'une surface algébrique (T. I, Ghap. IV), que nous avons traitée précédemment. Que l'on envisage en effet les seize fonctions
FiX,Fiy,ViZ,Pit, (.--:. 1,2, 3,4)
qui nous ont servi (T. I, p. n g) pour transformer une surface/ en une surface sans singularités dans l'espace à quinze dimensions, le système
aoPi^ -H a^Pa^ -I- . . . H-^jg P4 =0
déterminera sur la surface primitive / un système qui n'aura pas de courbes fondamentales propres, puisque si l'une de ces courbes existait elle donnerait lieu à un point multiple.
Il n'est donc pas douteux, sans entrer dans les détails d'une démonstration minutieuse, qu'on peut toujours, en prenant des surfaces L, qui déterminent un système | G | d'ordre suffisamment grand, faire en sorte que ce système soit simple, irréductible, sans point-base, sans courbes fondamentales, et qu'il permette de transformer la surface donnée en une surface sans singularités dans riiyperespace, donc en une surface n'aj^ant que des singularités ordinaires (courbe double et points triples) dans l'espace à trois dimensions. Nous donnerons à un pareil système le nom de système pur et non singulier.
7. Faisons encore quelques remarques essentielles relativement aux transformations birationnelles. Lorsqu'on effectuera sur la surface/une transformation birationnelle, le système | G | se transformera en un système |G^|; si le premier système est complet, le second le sera, et il est évident que les principaux caractères du système, à savoir sa dimension 7% son degré n, et le genre tû de la courbe générale G, supposée irréductible, seront des invariants. Une remarque pourtant est nécessaire relativement aux courbes exceptionnelles, courbes qui correspondent, sur la surface transformée/^, à des points simples de/. Si à un point-base O de |G |
correspond une courbe exceptionnelle sur f^ ^ on ne devra pas considérer cette courbe comme faisant partie de la courbe transformée G^ de C, en sorte que C^ peut être regardée comme le lieu des points correspondants aux points de G, excepté le point O. Mais si le point de j^qiii donne lieu à une courbe exceptionnelle n'est pas un point-base de |G|, il faudra considérer cette courbe exceptionnelle comme faisant partie de la courbe G^ transformée de la courbe G qui passe par ce point.
Ges définitions^ au premier abord arbitraires, sont choisies, comme nous le verrons plus tard, de façon à pouvoir conserver à certains énoncés toute leur généralité.
8. Enfin, si l'on envisage sur la surface/ deux systèmes |Ci | et I C2 |, le nombre des points d'intersection variables d'une courbe C^ et d'une courbe G2 est aussi un invariant, et la série de groupes de points déterminée par toutes les courbes de | G2 1, par exemple, sur une courbe générale G^ aura aussi ce caractère. Telle est, en particulier, la série caractéristique g^~'^ d'un système |G|, qui est découpée sur une courbe G par toutes les autres courbes du système.
9. Donnons, avant d'approfondir l'étude des systèmes linéaires, la démonstration d'un théorème que nous n'avions fait qu'énoncer (T. I, p. 198) et qui va se présenter comme la conséquence presque immédiate de la proposition relative aux involutions établie au Ghap. m, n« 13.
Il s'agit de montrer que, sur une surface cilgéhrique, un système algébrique de dimension k de courbes irréductibles qui est tel cjue par k points arbitraires ne passe cjuhine seule courbe du système, forme nécessairement un système linéaire, pourvu que k soit supérieur à un.
Soit f{oc^y.^ ^)= o l'équation de la surface S; en la coupant par un plan 5=^0? l'équation de la courbe d'intersection sera /"(^, j/, ^0)= o. Le système algébrique envisagé déterminera sur cette courbe une involution, rentrant dans la catégorie de celles que nous avons étudiées. Elle pourra donc être obtenue par une équation linéaire telle que
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clans laquelle les o peuvent a priori dépendre algébriquement de Zq. Mais alors, pour des 1 arbitraires^ en faisant varier jZo et revenant à la valeur initiale, on pourrait obtenir une autre involution, et k points arbitraires def(œ.y^ Zo)= o appartiendraient à deux groupes. Les cp, ou du moins leurs rapports, contiennent donc Sq rationnellement, et le sj^stème algébrique étudié se réduit bien à un système linéaire.
10. Le ihéorème précédent n'est pas toujours vrai pour k =r. i ^ comme le montre l'exemple des surfaces réglées sur lesquelles il existe un système algébrique de génératrices, tel que par un point quelconque de la surface ne passe qu'une courbe génératrice, et qui, en général, n'est pas linéaire.
M. Humbert a montré, comme nous l'avons dit, que le théorème subsiste pour /f == i , lorsque la surface n'a pas d'intégrale de première espèce; et, d'après M. Gastelnuovo, il subsiste pour les surfaces régulières (^^. = ^/^), mais la démonstration de ces résultats nous entraînerait trop loin.
11. Le théorème établi au n^ 9 est dû à M. Enriques; sa démonstration est d'une tout autre nature. Nous nous bornerons à la donner pour le cas de k = 2.
Soit m le nombre des points variables de rencontre de deux courbes quelconques du système. Toutes les courbes du système, passant par un point A^, passeront par m — i autres points r/eterminés A2, . . ., A.m, car les m — i autres points de rencontre de deux courbes passant par A^ , ne peuvent être mobiles, sinon plus de deux courbes du système passeraient par deux points arbitraires.
Donc à chaque point de la surface/correspond un groupe bien
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déterminé Gm de m points, et deux tels gi'oupes déterminent une courbe G du système.
Aux groupes G,n^ on peut faire correspondre uniformément une surface F, par exemple de la manière suivante : Soit
un groupe arbitraire; prenons trois polynômes quelconques
]\(x,y,z), Ri(.^,y, z), Ro(^,j, ^), et posons
X=3 R(;r,7, ^) -t-R(^i, ji,^i)+...-f- R(.^/;z-i,jr ;;?-!, ^m-i)= S{x,y,z),
Y = Ri(^,jK, ^) -+- = Sif^jjKj-s),
On fait correspondre ainsi à la surface /une surface F(X, Y, Z). A chaque point de/ correspond un point de F, et à chaque point
Fis. 8.
de F un groupe G;;^ de m points de/. Au système de courbes sur/ correspond un système de courbes sur F, et ce second système est
Fi§. 9-
déterminé d'une manière unicjue par deux points arbitraires ; le degré de ce système est égal à un. Par suite, si Ton considère sur F deux faisceaux du système pivotant autour de O et O^, il n'y aura c[u un point de rencontre : la surface F sera unicursale. Soient
iOO CHAPITRE V.
a et p les coefficients angulaires des tangentes Oï, O'T^ Les courbes du faisceau correspondent à a =: const., [3 = const., c'està-dire à deux systèmes de droites pivotant autour de ù et ù' . Toute courbe G du réseau snr F sera déterminée par une relation homographique entre a et p, et comme la droite Qù' se correspond à elle-même, cette relation sera du premier degré et non fractionnaire. La courbe G a donc pour correspondante une droite
Aa-f-Bj^-f-G=:.o, d'où; sur la surface F^ une équation de la forme
AX(X, Y,Z)-hB[jl(X, Y, Z)H-Gv(X, Y, Z) = o.
Il suffit de remplacer X, Y, Z par leurs valeurs en ^,JK, z^ et le tliéorème est démontré.
