Sur une inégalité fondamentale relative à un système
contenu partiellement dans un autre.
12. Le système adjoint |G«| détermine sur une coui*be générale du système [G| une série de groupes de points appartenant à la série canonique ^5^2? niais qui peut ne pas être complète. Désignons par 8 (G) son défaut qui va jouer dans la suite un rôle capital, La dimension de cette série sera alors
Tr-i-a(G),
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et c'est aussi la dimension de la série déterminée sur la courbe plane G^, image de G sur la surface-image/^ de /dont le système des sections planes correspond à |G|, par le système |G^| ou, ce qui revient au même, par les surfaces adjointes d'ordre n — 3 à cette surface /^
La dimension du système |G^| ou du système |G^^| est évidemment égale à la dimension de ce système de surfaces adjointes. Gherchons quelle est son expression en fonction de la dimension Tî — I — S (G) de la série précédente.
Il suffit de remarquer que, si l'on assujettit une surface adjointe d'ordre /i — 3 à passer par tu — •S(G) points pris arbitrairement sur la courbe plane G^ de/^, en supposant cela possible, cette surface se décomposera en le plan de G' et en une surface adjointe d'ordre n — 4 que nous supposons exister. Or, p^ étant le genre géométrique delà surface, la dimension du système canonique eslp^ — i , et l'on a, par conséquent, pour dimension du système des surfaces adjointes d'ordre n — 3, ou du système adjoint |G«| de jGj, l'expression
/?^.— l-HTT — Û(G).
13. Soient |G| et |G^| deux systèmes linéaires irréductibles sur la surface f^ et soient S(G)e^3(G^) les défauts des séries déterminées sur une courbe G et sur une courbe Gi par leurs systèmes adjoints respectifs. Si |Gi| est contenu partiellement
dans IGL on a
Get important théorème se démontre de la manière suivante : Soient IG2I le système résiduel de |Gi| par rapport à |G|, 7^2 son genre, i le nombre des points de rencontre d'une 0\ et d'une Go en dehors des points-bases. A, B et a ayant les mêmes significations qu'au n"" 11. On a
|Ga|-
li.(fj. -l)
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124 CHAl^TRE VI.
Remarquons tout d'abord que si l'on considère le système
IG'I ^ |G — SAH'I, dont le système adjoint \C'J^ est défini par
le défaut S(C^) correspondant au système |G^| est égal au défaut o(G) correspondant au système |C| : on le vérifie de suite. Substituant le système |G'| au système |C|, on a alors les relations
jG'l
|Gi-
ig;.!
Ida
^-G^H-SBi
tt'
TtjH-
la
dimension du
système adj
oint
\C'J. étant
Pé
tt' —
et
celle
du
système
Pff
TTl —
r — 8(Gi).
Or le système |C^^| étant la somme des deux systèmes \G\a\ et |C2-r2^B|, le système \Cia\ est le résiduel de |G^| par rapport à |Go-l-SB|, c'est-à-dire, d'après le théorème démontré (Ghap. V, n"22), le résiduel de |G'^| par rapport à une courbe arbitrairement choisie parmi celles du système IGo+SBj et, par conséquent, par rapport à une courbe G27 puisque, v désignant le degré de multiplicité des points B, le système |G2-rSB| est, par définition, le plus ample système ayant les points B comme points-bases d'ordre v — i et que, par conséquent, une courbe G2 est une courbe totale de ce système.
La dimension du système |Gi«| sera alors égale à la dimension du système |G^| diminuée du nombre des conditions qu'il faut imposer à une courbe G^ pour qu'elle contienne une courbe G2. Ge dernier nombre est égal à la dimension augmentée d'une unité de la série de groupes de points découpés sur une courbe G2 par le système |G^|. Or, une courbe C'^ coupe une courbe Gj -[- G2 en air' — 2 points en dehors des points multiples, et elle coupe une courbe G^ en 2'Ki — ■ 2 ~^~ i points, ce nombre étant égal au nombre des points d'intersection de la courbe composée Gi«-^G2 + SB
SYSTEME ADJOINT A IN SYSTEME LINEAIRE DE COURBES. lii)
qui définît le système |G^| et la courbe C^ ne passant pas par les points B. La série déterminée par le système |G^| sur C2 est donc de degré
2 7C' 2 — ( 2 TTi 7, -f- l) = 2 712 — 2 -h f.
C'est une série non spéciale, qui peut avoir an défaut £ et dont la dimension est, par suite,
On a donc l'égalité
/? o- -4- TTi — I — S ( G 1 ) ~ p^~^ TT — [ - - 8 ( G ) — {tz.i-~i-\- i -V- z),
d'où
et le théorème est démontré.
III. — Maximum du défaut de la série découpée sur la courbe générale d'un système par son système adjoint.
14. Envisageons sur la surface /le système irréductible |C| et ses différents multiples
|2G|, |3G], ..., !rG|
A chacun de ces systèmes, soit |/'G|, correspond un système adjoint |(rC)«| quiest défini sur la surface/ par l'égalité symbolique
|(rG)^|::.:|rG4-KH-S0|.
Mais, en vertu du théorème fondamental de M. Enriques,
puisque
|(rG)|=-|G-.(r-i)G|,
on peut, pour définir le système adjoint à |(rC)|, écrire
i(rG),i.:.;G,-^(r-i)G|.
A ce système correspond, sur la surface-image/^ dont le système des sections planes \QJ\ correspond à jGj, le système
et comme une courbe C^+ (/' — 0^^ ^^^ déterminée par une sur-
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face adjointe d'ordre n — 3 et par une surface arbitraire d'ordre r — I , on en conclut que le système tout entier est défini sur la surface f par le système des surfaces adjointes d^ordre 71 — 4 4- r.
15. Désignons par S(7'C) le défaut de la série des groupes canoniques déterminés sur la courbe générale de \rd\ par son système adjoint. Le système |rC| étant contenu partiellement dans 1(7^ 4- i)C|, on a, en vertu du théorème du n° 13,
8[r-i-i)G]^8(rG),
c'est-à-dire que le nombre positif S (7- G), s'il n'est pas nul, ne décroît pas quand r augmente. Nous nous proposons de démontrer que le défaut 8 (7^ G), lorsque r augmente, atteint un maximum, donc que, pour r suffisamment grand, on a l'égalité
8[(r-i)G]-8(rG).
Nous venons de voir que le système adjoint |(7^G)^| était défini sur la surface transformée f par le système des surfaces adjointes d'ordre 7i — /^ -^ r kf. Soit N/^ /,(; la dimension de ce système de surfaces; la dimension du système |(7^G)«| sera, si 7*>>4; égale à ce nombre diminué de la dimension du système de ces surfaces qui contiennent /^ et qui sont de la forme 9/^, 9 étant un polynôme arbitraire en œ^ y^ z d'ordre r — 4- Donc, la dimension du système l(7^G)al est
D'autre part, si, usant d'un procédé bien des fois employé^ on assujettit une courbe du système adjoint à contenir tt,^ ■ — S(7"G) points d'une courbe 7^ G, elle se décomposera en cette courbe et en une courbe du système canonique, si ce système existe, ce que nous supposons. On aura donc, N/^^^ = P^ — i étant la dimension du système canonique,
^«-4-f-r— 7; ^ N/i 4 H- TU,.— 0(7' G).
Ghangeant r en 7' + i et retranchant, on a
N/i-4+r+I — "^n-k-hr = TU;.+i — TU,, -|- 0 ( /' G ) — 8 [( r -f- l ) G] H h 1
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et, en tenant compte de la relation
7^,^^l = TC;. H- Tï -r- m — I ,
on obtient finalement Fégalité
N.-4+.-1-1 - N„-,+. - TT + m -i- a(r G) -- l\{r + i)G] -- '^^'^~^^'
Or, nous avons déjà obtenu une expression de cette différence au Chap. IV, n°23, à propos de l'évaluation de la dimension du système des surfaces adjointes. En désignant par lùa^^j^r le défaut du système des adjointes planes d'ordre n — 4 + ^ déterminé sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes d^ordre n — l\ -\- r^ nous avons trouvé la relation
AT AT r{r — 3)
En égalant cette expression à la précédente, on a finalement la relation
(A) S[(r-Hi)G]-8(rG) = co,,4^.-i-i.
La conclusion est alors immédiate. Nous savons en effet que pour une valeur suffisamment grande de r, le défaut co s'annule; donc pour une valeur suffisamment grande de r^ on aura l'égalité
o[(r-i-i)G] — ô(rG) = o.
16. Ainsi, lorsque r augmente, le défaut S(rG) relatif au système lrG| ne diminue jamais et atteint un maximum pour une certaine valeur de r, à partir de laquelle il reste constant. Supposons que le système |C1 soit le système des sections planes de la surface / considérée. Quel que soit le système linéaire de courbes jCij que l'on envisage sur la surface, on peut toujours choisir l'entier r suffisamment grand pour que le système |G^ | soit contenu partiellement dans le système |/'G| et, par suite, tel que
l'on ait
8|Gi|^8(rG).
Mais S(/'G) garde une valeur maximum constante à partir d'une valeur de r suffisamment élevée; donc :
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l':>,8 CHAPITRE VI.
Quel que soit le système |Ci| irréductible envis surf ace j\ le défaut de la série découpée sur la courbe générale de ce système par son système adjoint a une valeur maximum indépendante du système considéré.
De plus, cette valeur maximum est un invariant, car il est bien évident, par la manière même dont nous l'avons définie, qu'elle ne peut pas changer quand on passe d'une surface à une autre par une transformation birationnelle.
17. De V invariance du maximum du défaut 8(C) résulte V invariance du genre numéricjue p,i de la surface. Reportonsnous au Chap. ÏV, n^ 24 : nous avons trouvé pour le genre géométrique d'une surface d'ordre m, une expression de la forme
et, par définition, le genre numérique p,i est déterminé par l'égalité
l étant la valeur de A à partir de laquelle les oj s'annulent.
Pour montrer l'invariance de pn^ l'invariance de pg étant établie, il suffit de prouver l'invariance de la somme
h=ni — 'è
des défauts des systèmes de courbes découpées sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes à f d'ordre supérieur ou égal à m — 3. On y arrive de suite en partant de la relation (A) du n" 15,
et faisant varier r depuis la valeur zéro jusq u'à celle qui correspond à (jL)^= G. On trouve en ajoutant les relations ainsi obtenues
liz:zl-l
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. SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. l'IQ
S(rG) étant la valeur maximum considérée qui est invariante. La somme des défauts co est donc an invariant et il en est de même de pn ' c^est ce cjue nous voulions établir.
