IV. -- Généralités sur les courbes sous-adjointes

18. Nous avons défmi, dans les pages qui précèdent, le système adjoint à un système linéaire après avoir défini d'abord les surfaces adjointes et, en particulier, les surfaces canoniques. Puis, supposant Texistence d'un système canonique sur la surface, et nous appuyant sur la propriété d^invariance de ce système qui résultait pour nous de considérations de nature transcendante, nous avons démontré le théorème fondamental de M. Enriques d'où nous avons déduit l'invariance du défaut §(G) et, par suite, l'invariance du genre numérique />/^.

Lorsque le genre géométrique est nul, si l'on veut suivre la même méthode, on peut bien encore, en se servant de la surfaceimage y^ de y, dont le système des sections planes correspond au système donné | G|, définir les courbes adjointes au moyen des surfaces adjointes d'ordre /z — 3 ^à f , Mais, revenant ensuite à la surface /", il est difficile de définir, sur cette surface même, les opérations qui permettent de construire les courbes adjointes et d'en déduire ensuite, comme nous l'avons fait, le théorème fondamental de M. Enriques.

Pour éviter cette difficulté, et aussi dans le but d'établir l'invariance du système canonique, qu'il n'admet pas comme démontrée, M. Enriques a suivi une voie tout à fait différente de celle que nous avons adoptée, dans la section précédente, pour définir les courbes adjointes. Cette méthode, purement géométrique et algébrique, qui est applicable dans tous les cas (que le genre géométrique soit ou ne soit pas nul), est basée sur l'étude préliminaire des courbes sous-adjointes. Des propriétés fondamentales de ces courbes on conclut d'abord à la définition des courbes adjointes et, contrairement à la voie que nous avons suivie, on définit ensuite les surfaces adjointes et les surfaces canoniques.

Nous allons exposer les principaux points de cette méthode, en ayant en vue surtout le cas où la surface a un genre géométrique nul. Nous montrerons ensuite que, quel que soit le procédé em- P. ET S., II. 9

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l3o CHAPITRE VI.

plojé, algébrique ou transcendant, on arrive à uq même système canonique et nous aurons établi ainsi un lien entre ces deux manières différentes d'aborder V étude des surfaces algébriques.

19. Une première remarque, dans cet ordre d'idées, est relative aux surfaces sous-adjointes. Nous avons vu (Ghap. IV, n°' 13 et 14) que les deux définitions, algébrique et transcendante, que l'on peut donner de ces surfaces étaient les mêmes, en ce sens qu'une surface cp qui est telle que sa section plane par un plan arbitraire est l'adjointe de la section plane correspondante de la surface donnée/ est telle aussi que l'intégrale double

jy{x,y, z)

reste finie à distance fmie, sauf en un nombre limité de points, et réciproquement.

Abordons maintenant l'étude des propriétés des courbes sousadjointes.

20. Soit toujours, sur la surface /(^, j, z) = o d'ordre m, un système linéaire irréductible | G ] de genre tt et de degré n. Nous avons défini au commencement de ce Ghapitre ce que l'on doit entendre par courbes sous-adjointes d'ordre n — 3 + /^ au système [ G |. Ge sont des courbes qui jouissent de la propriété de couper une courbe générale G en un groupe de points appartenant à une série ^27t-24-7/z- Nous les désignerons par la notation S^, et par S celles qui sont d'ordre n — ^3.

Nous bornant d'abord au cas oit le système \ G \ est celui des sections planes de la surface f^ nous avons vu que le système des surfaces sous-adjointes d'ordre m — Z-\-r découpait sur cette surface un système | S^j de courbes sous-adjointes, de même ordre, au système | G | des sections planes. Gela résulte de leur définition même. Nous allons montrer que réciproquement toute courbe qui jouit de la propriété de couper un plan arbitraire suivant un groupe de la série gon-i+rin appartient à une surface sousadj ointe d'ordre m—i-t- r, sauf le cas ou la surf ace f donnée serait réglée ou serait une surface de Steiner,

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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l3l

21. Supposons d'abord r<^3. Par une droite arbitraire a qui coupe la surface en ni points en dehors de la courbe envisagée S^, faisons passer un plan a : il coupera la surface suivant une courbe plane C^ et les points d'intersection de C et de S;, qui sont ceux de S; et de a, appartiennent à une série ^'27r-2+7?z/- Ces points, dans le cas considéré r<^Z, déterminent donc, dans le plan a, une courbe adjointe Ç^m-7>j^r d'ordre m — 3 -f- r à G. Lorsque le plan a tourne autour de a, cette courbe engendre une surface sousadjointe à y, qui pourra contenir p fois la droite a, et dont l'ordre sera m — 3 -[- r + p. Il nous suffit de prouver que p est nécessairement nul.

En effet, dans le cas contraire, l'intersection de la surface sousadjointe que nous venons de construire avec la surface y, se composerait, en dehors de S^ et des courbes multiples, d'une ou de plusieurs courbes passant par les points d'intersection de/et de a, qui, par liypothèse, n'appartiennent pas à S;. Or, ces courbes ne peuvent être que planes et appartenir à des plans passant par a, sinon un plan quelconque passant par cette droite couperait la courbe S^ en un point de plus. Ces courbes planes sont, en outre, d'un ordre inférieur à /n, puisque l'intersection de la surface sousydjointe par un plan a se compose de la droite a comptée p fois et d'une courbe dont l'ordre est égal km — 3 + r<im. Il existerait donc, quelle que soit la droite a, des plans passant par cette droite et coupant la surface /' suivant une courbe réductible, propriété qui n'appartient, d'après ce que nous avons dit (p. 63), qu'aux surfaces réglées et aux surfaces de Steiner du quatrième ordre. Sauf ces cas, on a donc bien p = o et le théorème est démontré.

22. Supposons maintenant r^3. On fixera sur la droite a, r— 2 points arbitraires B^, Bo, . . - , B;.2 en dehors de y, et par r ' — 3 de ces points, soit Bo, • • . , B^2, on fera passer r — 3 plans arbitraires po, • • •? i^r-2 ne contenant pas a. Les courbes adjointes à la section plane de C de / par un plan a passant par a, et qui contiennent les points de rencontre de S,- et de a, forment alors

un système linéaire de dimension ^ ~ ■- On fixera lune

de ces courbes en l'assujetissant à passer par les points B, à avoir au point B2 deux points confondus avec le plan [âo, etc., et au

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l32 CHAPITRE VI.

point B,.o, r— 2 points confondus avec le plan [3;^o. Cette courbe ne peut d'ailleurs se décomposer en la courbe C et en une courbe d'ordre r — ^3, car il n'existe pas de courbe d'ordre r — 3 passant parles points B et ayant en ces points avec les plans 3 le contact spécifié. Donc la courbe adjointe que nous venons de définir, quand le plan a tournera autour de a, sera une surface sous-adjointe d'ordre au moins égal à 7?z — 3 4- r^ et l'on démontrera, comme précédemment, que cet ordre est précisément égal à m — 3 + r, sauf dans les cas exceptionnels que nous avons spécifiés. Le théorème est encore démontré.

23. En nous reportant à un théorème démontré au Chap. IV, n"^ 15, il résulte encore de la démonstration précédente, (i\\^ une courbe quicoupe tous les plans dhtn faisceau suivant un groupe de la série g2%~2^rm jouit de cette propriété pour un plan arbitraire et est, par suite, une courbe sous-adjointe d^ ordre m — 3 + r au système des sections planes de la surface/.

En résumé, toutes les courbes sous-adjointes S^ cVordre m — 3 ~\- r au système des sections planes \C\ de la surface f forment un système linéaire défini par le système de toutes les surfaces sous-adjointes de même dimension m — 3 -h r. Ce système est donc un système complet | S^ ].

24. Considérons maintenant^ sur la surface f^ un système linéaire arbitraire ] C |, complet, irréductible, simple, de genre tt supérieur à zéro, de degré /^, et tel, en outre, qu'il n'existe pas, sur la surface, de faisceaux de courbes ayant, avec ce système, un seul point variable d'intersection. Soit

(i) (ZoLo-l- aiLi-f-. . .-ha,.L,.= o

le système de surfaces qui détermine ] G | : on peut toujours faire en sorte que les surfaces L soient des surfaces arbitraires du système. Envisageons le système à trois dimensions

{•!) aoLo-i- aiLi-i- aaLa-^ aaLs^ o

et effectuons la transformation habituelle

1^0 Ijq J-'O

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qui transforme la surface/ en la surface/' d'ordre a dont le système complet contenant les sections planes correspond au système | C|. Le genre du système transformé sera d'ailleurs égal ài:, et, d'après les hypothèses faites, la surface/' ne sera j3as réglée.

A une sous-adjointe d'ordre n — 3 -i- r au système | G | sur / correspondra sur/' nue sons-adjointe de même ordre an système des sections planes de /', et réciproquement. Donc le système complet I S',, I de toutes les sous-adjointes d'ordre n ■ — 3 + r au système |C'| des sections planes de/' a pour correspondant sur/ un système complet | S,^ | qui contient toutes les courbes S^ sousadjointes d'ordre 72 — 3 -f- 7^ au système j G |.

L'indétermination, qui semble exister dans cette définition, par suite du choix particulier des surfaces L qui ont servi à effectuer la transformation, disparaît d'ailleurs d'elle-même, si l'on tient compte de la remarque faite au n" 23, à savoir qu'une courbe qui coupe tous les plans d'un faisceau suivant un groupe de la série ^'271-2+77? jouit de cette propriété pour un plan arbitraire. Si donc, dans la transformation [)récédente, on modifie seulement les surfaces Lo et L3, le système | S^ | ne changera pas, et comme d'ailleurs on peut toujours passer d'une surface transformée aune autre par une série de surfaces ayant deux à deux un faisceau commun, on en conclut bien cpie [^ensemble de toutes les sousadjointes d^ ordre n — 3 -h r au système \ G | sur f forme un système complet \ S,^ | qui est complètement déterminé par le système de toutes les surfaces sous-adjointes d'ordre n — 3 -f- 7* relatives à une surface d'ordre n image de la surface donnée, que l'on obtient au moyen de quatre surfaces arbitraires linéairement indépendantes du système des surfaces qui détermine le système donné j G |.

2d. Si l'on impose aux surfaces sous-adjointes des conditions supplémentaires, si par exemple on considère, au lieu des surfaces sous-adjointes, les surfaces adjointes, il est évident que l'on obtiendra d'autres systèmes complets, d'après la définition même de ces systèmes, qui seront composés uniquement de sousadjointes.

Il résulte du théorème précédent que ces systèmes seront compris partiellement dans le système complet défini au numéro pré-

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cèdent, qui est formé de toutes les sous-adjointes et que nous appellerons le système total complet des sous-adjointes d^ ordre

De là résulte encore, et ceci est important, que le système résiduel d'un système partiel de sous-adjointes par rapport au système total ne pourra se composer que de courbes n'ayant avec le système donné | G | aucune intersection variable, ou bien que le système partiel aura quelques points-bases non bases pour le système total. D'autre part, des courbes n'ayant avec le système j G I aucune intersection variable ne peuvent être que des courbes fixes fondamentales par rapporta ce système. Donc le système résiduel d\in système partiel de sous-adjointes par rapport au système total de ces sous -adjointes ne peut se composer cjue cV un ensemble de courbes fondamentales et de points fixes.

Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, ^\x^ sous-adj ointes d^ ordre n — ~ 3, que nous désignerons par S sans indice.

26. Voyons maintenant quelles relations existent entre les systèmes sous-adjoints de deux systèmes dont l'un est le résiduel d'une courbe ou d'un troisième système par rapport à l'autre.

Soit I G, I le système résiduel d'une courbe Go par rapport à un

système ] G |

I Cl 1 --:. ! G I - G2.

Si le système | S | des sous-adjointes à | G j contient la courbe C2J le système résiduel | S | — ^ G2 constitue un système de sous-adj ointes à j G [, qui pourra être partiel ou total, c'està-dire que les courbes de ce système découperont sur une courbe Gj arbitrairement choisie un groupe de la série ^'271,-2 ? '^i étant le genre de j Gj |.

Pour démontrer ce résultat, remarquons que parmi les surfacesimages/^ de / dont le système des sections planes correspond au système | G ], nous pouvons en choisir une telle que l'une de ses sections planes se décompose en deux courbes G'^ et G^ correspondant à la courbe Q^ arbitrairement choisie et à la courbe Go. Or les points multiples d'une courbe plane G' transformée d'une courbe G appartiennent aux lignes multiples de la surface f. Il en est de

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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINEAIRE DE COURBES. l35

même pour la courbe G'^ -h C[,^ mais elle aura, en outre, i points doubles correspondant aux i points d'interseclion variables d'une G| et d'une G2. Le système | S | des sous-adjointes à | G | est^ par définition, déterminé sur /' par l'ensemble des surfaces sousadjointes ^' d'ordre n — 3. Soient Ui et 112 les ordres respectifs de G'^ et de G^ sur/^, en sorte que l'on a /i = /^^ -j- ^2. Gelles des surfaces ^' qui passent par G2, ce qui est possible par hypothèse, détermineront sur /^ le système |S| — ^G2. Or, chacune de ces surfaces découpe sur 1e plan de G'^ + G^, en dehors de G'^, une courbe d'ordre n — 3 — /?.2= ?ii — ^3, qui est évidemment adjointe à G'^ et coupe, par conséquent, G^^ en 27ï^— 2 points en dehors des i points d'intersection de G'^ et de G^- Or, ces points sont ceux où la courbe d'intersection S — G'^ de la surface <ï>^ envisagée et de f^ coupe la courbe G', ; donc cette courbe S — G^ (et, par suite, sur la surface y, la courbe S — G2) est une sous-adjointe à G^, ce qu'il fallait démontrer.

iCil - i G-OM.

Dans cette hypothèse, les sous-adjointes ci j G ] qui ont l point O comme point-base cV ordre \ — i, si cette opération est possible, sont des sous-adjointes à | Gj |.

La démonstration est immédiate, l^es sous-adjointes S, sur y, coupent toutes les courbes G, et, par conséquent, la courbe Gi, qui est une courbe totale de j G j, en un même nombre de points. Donc les sous-adjointes S qui ont le point O comme point multiple d'ordre A — i couperont Gj , en dehors de ce point multiple et d'une partie commune à toutes les courbes G, en

'ITZ — 1 — X(X l)

points. Or, si tu, désigne le genre de G,, on a

l36 CHAPITRE VI.

d'où

2 TT — 2 X ( X I ) — : 2 TTi — 2,

et, par suite, les courbes du système j S -- 0^"^ \ sont bien des sous-adjointes à |G^ |.

28. Si le système | G) j se déduit du système j G |, en imposant au point-base O de j G j, supposé de multiplicité !X, une multiplicité supérieure X-+- p, on verrait, par un raisonnement analogue au précédent, que les courbes du sj^stème | S — Op | sont sousadjointes à } G^ |.

! Cl I =:. I G-G2— ,SO>m:

si I S I désigne le système total des sous-adjointes à | G j, ou un système partiel, les courbes du système

si l'opération ainsi définie est possible, forment un système complet de sous-adjointes à | Gi |, qui peut être total ou partiel. S'il est partiel, le système total | S< | sera la somme de ce système partiel et d'un groupe 9i de courbes fondamentales pour d et parmi lesquelles nous supposerons compris les points-bases appartenant au système partiel et pas au système total. Nous écrirons donc

i Si i == I S— G2— so>^"i^-0i |.

30. Les remarques précédentes se rapportent à la soustraction d'une courbe du système sous-adjoint. Envisageons maintenant l'opération de l'addition.

Soit I G] ^=:= j G^ -[- G2 I le système complet, somme des deux systèmes irréductibles | C^ [ et | G2 |. Nous savons que chacun de ces systèmes peut être considéré comme le résiduel de l'autre par rapport à | G| (Ghap. V, n° 21). On peut, en particulier, considérer le système | G^ | comme le résiduel de | G | par rapport à une

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courbe C2,

Soient | Si ] le système total des sous-adjointes à j C, ], et jS j celui des sous-adjointes à | G |, 9i un groupe de courbes fondamentales pour j G, |j on a, en vertu des remarques précédentes (n^ 29),

I Si ! - I S- G2 -1-61 1,

Supposons, en outre, et cela suffit pour le résultat que nous voulons mettre en évidence, que le système [ G2 ] n'ait pas de pointsbases : alors le système | S -i- Qj | sera la somme des deux systèmes |S;| et I G^KGhap. V, n-25),

! Si-f- G2 i -:H S^-Oi I,

V. — Des courbes adjointes à un point de vue purement géométrique.

31 . Nous sommes en mesure maintenant de donner la définition du système adjoint à un système donné, telle que l'a formulée M. Enriques (^ ), sans supposer faite préalablement V étude du système canonique .

{}) Frederigo Enriques, //i^7'ocZw^i07ie alla Geometria sopra le superficie algebriche (n° 25) [MemoîHe délia Soc ietà italiajia délie S cienze (cletta dei XL), série IV, t. X.

G. Castelnuovo et F. Enriques, Sur quelques résultats récents dans la théorie des surfaces algébriques {Matheni, Annalen, t. XLVIII).

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l38 CHAPITRE VI.

En outre des propriétés du système sous-adjoint que nous venons d'établir, il faut admettre, comme point de départ de ces recherches, la possibilité de transformer une surface quelconque en une autre sans singularités dans l'hyperespace, c'est-à-dire en une autre n'ayant que des singularités ordinaires, courbe double et points triples, dans l'espace à trois dimensions. En nous reportant à ce que nous avons dit précédemment sur ce sujet, nous admettons donc la possibilité de définir, sur toute surface, un système pur non singulier ^ c'est-à-dire simple, irréductible, sans points-bases ni courbes fondamentales et qui permet d'effectuer la transformation précédente. 11 existe une infinité de ces systèmes; nous les désignerons par la notation | M |.

32. Gela posé, le système adjoint \M.a\ à un système |M| pur, non singulier, est, par définition, le système total des sousadjointes à ce système, et les surfaces sous-adjointes qui le déterminent sur la surface transformée (qui n'a que des singularités ordinaires) sont considérées comme des surfaces adj ointes .

Cette définition des surfaces adjointes concorde bien, dans ce cas particulier, avec celle que nous avons donnée antérieurement (Chap. IV, n'^20).

Appliquons à ces courbes adjointes | M^ | les remarques faites dans la section précédente.

Soient |Mi| et IMo] deux systèmes purs non singuliers; leur

somme

|M|= |Mi-f-M2|

sera aussi un système pur non singulier. On aura donc, d'après ce que nous avons dit (n" 30)^ entre les systèmes adjoints, qui se confondent avec les systèmes sous-adjoints, non seulement la relation

mais aussi la relation réciproque

puisque ces systèmes n'ont pas de courbes fondamentales.

Nous avons supposé que le système | M^j n'a pas de pointsbases. C'est ce qui a lieu le plus souvent, puisque le système-

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somme d'un système de sous-adjointes et de ses points-bases forme évidemment un système de sous-adjointes, et que nous avons supposé que le système |M^| était le système total des sous-adjointes. Mais, en restant dans la plus grande généralité, il se pourrait que cette opération de l'addition ne fut pas possible, et que le système |M^| eût nécessairement des points-bases. Nous devons donc supposer que les égalités symboliques précédentes sont écrites à des points-bases près.

33. Considérons maintenant un système irréductible arbitraire |G|. On peut toujours supposer que ce système est obtenu au moyen d'un système pur non singulier [M,! en retranchant de ce système un système irréductible jG'J, et imposant au système résiduel les points-bases O de |G| avec leur degré de multiplicité X, en sorte que l'on peut écrire symboliquement les deux égalités

|G| = |Mi — g; — S0>| et

|Mi| ^ !G-f-G'i^i:0>^|.

Or, nous avons vu (n^ 29) que le système défini par

!Mi«-g;-i:o>^-M

est un système complet partiel de sous-adjointes à |G|, mais qu'il n'est pas, en général, le système total si le système |G| a des courbes fondamentales.

On donne le nom de système adjoint à\Qj\ à ce système partiel. Il est donc défini symboliquement par

|Gi.|-|Mi,-g;-so>-m.

Pour que le système adjoint à |G| existe, il faut donc, d'après cette définition, que le système |Mj^| contienne partiellement |G'J.

Il faut, en outre, pour que cette définition ait un sens précis, montrer qu'elle est indépendante du système particulier |Mi | pris comme point de départ. Soit donc IMo] un second système pur non singulier, tel que l'on ait

|M2l = |G-t-G'2--S0^-i|- Formons le système-somme