M| = IM1 + M2I
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î40 CHAPITRE VI.
On a
et, par suite,
|Mi^-i-GH-G2-hSO>^|-|M,«-G-4-G;-H5:0>^I.
Mais, par hypothèse, le système \Mia\ contient partiellement |C, I : on peut donc, de cette relation, conclure (Chap. V,
et
|m,^-g;-so>^-i| =^|M2.,-g;^.-so>-i|.
Parla se trouve bien justifiée la définition dn système adjoint |C«| à un système |G| irréductible quelconque.
34. Nous arrivons maintenant au théorème fondamental de M. Enriques que nous avons déjà énoncé (n° 9) :
Soient |G| ] et ]G2| deux systèmes linéaires de courbes sur une surface, le système |Ci«| adjoint au premier^ additionné au second, donne un système ICi^-l-Gol qui est contenu dans le système \Qxa\ adjoint d IGj = |Gi -{- G2I et cjui en diffère seulement en ce cjue tout point-base d^ ordre Ao pour jGol et non base pour |G,| est d^ordre "ko pour \G.\a~^ G-2\ et d'ordre ko — i pour jG«|.>
Ge théorème est une conclusion immédiate des définitions précédentes. Il suffit d'effectuer les opérations de l'adjonction sur les systèmes définis par les égalités symboliques
|M, I = |GiH-G'i-!-SO}'!,
IM2I- |G2-4-G',-hS01-|, |M| = :Mi-i-M2| =- |Gh- G\-^G'2-+-S0V-^2 0^^^|.
On en conclut
|G^!- IGi^+G^+^O^I = iGa^H-Gi+SOil, ce qui est l'expression du théorème énoncé.
35. De ce théorème on conclut, comme aux n"^ 10 et 11, que si IG2I est le système résiduel d'un système |G| par rapport à un
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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l4l
système \Ci\ qui j est contenu partiellement, en sorte que l'on a
iG| r= Id+G^-^SAl^';,
le système adjoint \Ga\ de |C] se déduit du système |G|«| adjoint à jCil par l'opération
A désignant les points-bases de |C,| non bases pour |G|, et B les points-bases de |C| non bases pour \C^\ et, par conséquent, bases
pour IC2I.
36. Remarquons encore que, des développements précédents, il résulte cjue dès que l'on connaît le système adjoint à un système donné, on peut, par de simples opérations d'addition et de soustraction effectuées sur la surface, en déduire le système adjoint à un système arbitrairement donné.
37. Au point où nous en sommes, il ne sera pas inutile de mettre de nouveau en évidence les différences qui existent entre les deux méthodes qui nous ont servi à définir le système adjoint.
Dans la première, nous plaçant au point de vue transcendant, nous avons commencé par définir les surfaces canoniques et les surfaces adjointes. Puis, supposant qu il existe un système canonique, c'est-à-dire que/>^^>o, et partant de la propriété d'invariance de ce système, déduite de l'étude des intégrales doubles de première espèce, nous avons défini alors le système adjoint; nous nous sommes placés dans cette première méthode à un tout autre point de vue que M. Enriques.
Dans la seconde méthode, au contraire, laissant absolument d côté le point de vue transcendant, et n'employant que des opérations purement algébriques et géométriques, nous avons d'abord, avec M. Enriques, étudié les propriétés des systèmes sous-adjoints et nous en avons conclu une définition des systèmes adjoints, sans faire j usquà présent aucune hypothèse sur U existence ou la non- existence du système canoniciue qui n'est pas encore défini, et nous sommes ainsi arrivés au théorème fondamental.
Avant d'aborder la question du genre numérique des surfaces de genre géométrique nul, il y a évidemment lieu de voir com-
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ment, ayant défini le système adjoint par ce dernier procédé, on arrive ensuite à la notion du système canonique et si ce système est le même que celui auquel nous avons donné ce nom en nous appuyant sur des considérations de nature transcendante. En d'autres termes, il s'agit de voir si les deux définitions du genre géométrique auxquelles on arrive par des procédés différents sont bien les mêmes.
Puis il nous restera encore à définir les surfaces adjointes.
38. La définition du système canoniquey au point de vue algébrique, est une conséquence du théorème fondamental. De
l'égalité
lGi«--G2+S02| = |G2«+Gi + S0i|,
on déduit en effet que si le système |Gi«| adjoint à [Ci | contient ce système, on pourra écrire
|Gi«- Gi-SOil =.|G2a-G,-S02l,
d'où la conclusion suivante, qui est la réciproque d'une proposition énoncée (n° 8) :
Si, sur une surface, un système irréductible est contenu dans son système adjoint, tout autre système irréductible est aussi contenu dans son adjoint. Chaque système sur la surface a donc, par rapport à son adjoint, un système résiduel qui, à des points-bases près, est indépendant du système choisi pour le construire.
Ce système résiduel est, par définition, le système canonique de la surface, et sa dimension augmentée d'une unité est le genre géométrique de la surface.
On a donc, pour définir ce système, 1C| étant un système arbitraire et O ses points-bases, l'égalité
iK| = !G«-G-SO|.
Considérons, en particulier, un système pur non singulier |M| qui permet d'effectuer la transformation de la surface en une surface n'ayant que des singularités ordinaires; le système canonique |K| est aussi le résiduel du système |M| par rapport à son
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adjoint IM^^I
|K| r..-\Ma-M\.
Or, par définition (n^ 32), le système adjoint à un système pnr non singulier est le système total de ses sous-adjointes. Soit n le degré du système |M[, qui est l'ordre de la surface transformée/^ Sur la surface/, le système adjoint IM^I est défini par le système des surfaces sous-adjointes d'ordre /i — 3, et par conséquent le système |K| est défini par le système des surfaces sous-adjointes d'ordre n — 4.
D'autre part, d'après ce que nous avons dit (Ghap. IV, n° 20 et n° 19 de ce Ghap.), ces surfaces sous-adjointes, puisque la surface/ n'a que des singularités ordinaires, ne sont autres que les surfaces adjointes du même ordre définies par voie transcendante. De là on conclut, sans qu'il soit besoin d'insister, que le système canonique [K| défini par voie transcendante est bien le même que le système canonique défini par voie algébrique, que les dimensions de ces deux systèmes sont aussi les mêmes, et cette seconde méthode établit comme la première l'invariance du genre géométrique p..
39. Au point de vue algébrique et géométrique où nous nous sommes placés dans cette section, il nous reste encore à définir les surfaces adjointes à une surface ayant des singularités quelconques. Lorsque la surface n'a que des singularités ordinaires les surfaces adjointes sont par définition les surfaces sous-adjointes.
Soit |G| le système des sections planes d'une surface /d'ordre m et |Ga| son svstème adjoint. Ge système est découpé sur /par un système particulier de surfaces sous-adjointes d'ordre m — 3, auxquelles on donne le nom de surfaces adjointes d'ordre m — 3 à /. Elles diffèrent des sous-adjointes par leur comportement aux points multiples isolés de/.
De cette définition on conclut à celle des surfaces adjointes d'ordre ju — 3-i-r(r^o) : ce sont les surfaces sous-adjointes de même ordre qui se comportent comme les surfaces adjointes d'ordre 772—3 le long des lignes multiples et aux points multiples isolés de /. Elles jouissent de la propriété de découper sur / le système adjoint au système \{r w- i)Gl. En effet, on a, en vertu du théorème
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fondamental,
l[(7--f-i)G],|-|G«-i-rG|;
or, une courbe C«+ rC étant déterminée par une surface adjointe d'ordre 7?z — 3 et par une surface arbitraire d'ordre r, le système tout entier sera évidemment défini par le système des surfaces adjointes d'ordre m — 3 + r. C'est le raisonnement que nous avons déjà fait (n^^ 14).
Partant de cette définition des surfaces adjointes, M. Enriques montre que les surfaces adjointes d'ordre m — 4 ne sont autre chose que les surfaces canoniques de Nœther, c'est-à-dire celles que nous avons définies tout d'abord. Les considérations qu'il emploie, dans lesquelles les courbes fondamentales jouent un rôle important, sont délicates; comme la question est pour nous évidente d'après notre première méthode, nous renvoyons pour ce point le lecteur aux mémoires originaux de l'auteur.
VI. — Du genre numérique des surfaces dont le genre géométrique est nul.
40. Revenons maintenant à la question qui nous intéresse, c'est-à-dire à la démonstration de l'invariance du genre numérique/»/^, quand le genre géométrique est nu],^„-=o. Il nous reste peu de chose à dire, du moment que la propriété du système adjoint est établie.
En désignant toujours par o(C) le défaut de la série canonique déterminée par |C«| sur la courbe générale de |G|, de sorte que la dimension de cette série est
on voit d'abord que, dans le cas où /? o= o, ce nombre est aussi la dimension de |C^/|. En effet, la dimension de \Ca\ est, comme pour le cas de /?^0>o, celle du système des surfaces adjointes d'ordre /i — 3 à la surface /^, image de /, dont le système des sections planes est l'image du système |C|. Mais, dans le cas actuel, il n'existe pas de surface adjointe d'ordre n — 3 passant par 7î — 8(C) points pris arbitrairement sur une courbe plane C^ image de G. Donc la dimension de ce système de surfaces, et par
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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. l45
suite la dimension de |C^^|, est bien égale à
