G)^8(GO

du moment c|ue le système] G, | est contenu partiellement dans | G [^ il se démontre sans aucun changement.

Pour démontrer ensuite que le défaut ^(rC) lorsque r augmente atteint un maximum^ il suffira de remarquer que, dans le cas où/>^.= o, il n'existe pas de courbe du système adjoint pouvant contenir iZr— S(rG) points d'une courbe rG. La dimension du système K/'G)^! est donc égale à

et l'on en déduit l'égalité

i> 7î-4+r —ç^ = Tt;. — I — Ô ( 7' L ),

puis, en passant par les mêmes intermédiaires, la relation

(A) S[(r--i)G]-8(rG) = co,,4+r+i

et finalement

OÙ 8(rG) a sa valeur maxima invariante. Donc le genre numérique p,i a bien une valeur in^'ariante dans le cas où/)o-= o.

Faisons encore une dernière remarque. Nous n'avons établi l'identité qui doit exister entre les surfaces adjointes définies, soit par le procédé transcendant, soit par le procédé algébrique, que dans le cas où la surface n'a que des singularités ordinaires. Mais peu importe, puisque la valeur maxima de S (G) est un invariant, qui convient par conséquent à toutes les surfaces-images, et en particulier à la surface-image qui n'a que des singularités ordinaires. On trouvera donc toujours la même valeur pour p^.

l46 CHAPITRE VI.

VII, — Du système bicanonique.

42. Une notion très intéressante^ et sur laquelle M. Enriques est le premier à avoir appelé l'attention, est celle du système bicanonique^ qui joue un rôle fondamental clans la théorie des surfaces rationnelles, et peut fournir, dans bien d'autres cas, de nouveaux caractères invariants de la surface, distincts des nombres /^o- et pn étudiés précédemmeat. Nous nous bornerons à donner la définition d'un pareil système et à mettre en évidence ses principales propriétés.

Soient \C\\ et IG2I deux systèmes linéaires de courbes sur une surface, et reportons-nous au théorème fondamental de M. Enriques (n° 34) C[ui est exprimé par la relation symbolique

1 G,« -f- G, -f- S O2 1 - 1 G2a M- Gi H- S Oi I d'où l'on conclut

(l) hGi,,-!-2G2+'>.S02l = |2G2«-r-'2Gi-+-2SOi|.

Si le système |G,«| adjoint à | G, | contient ce système, c'est-à-dire si la surface possède un système canonique (/>^> o), il résulte de la deuxième égalité que le système

(A) |2Gia-2Gi--2S0i| = |2G2a— 2G2— 2X02!

est le double du système canonique ; et il ne peut évidemment donner lieu à aucune considération nouvelle.

Mais supposons, au contraire, que la surface soit de genre j9^=: o, c'est-à-dire que le système \C\a\ ne contienne pas |G, |, il pourra arriver cependant, comme nous le verrons tout à l'heure par des exemples, que le système |2Giaj contienne le système |2Gi|, et qu'on puisse, par conséquent, de l'égalité (i) conclure à l'égalité (A); d'où cet énoncé :

Si une surface algébrique, le double d'un système linéaire irréductible |G], est contenue dans le double de son système adjoint \Ca\y H ^^^ sera de même pour tout autre système linéaire sur la surface, et le système résiduel de \iC\par rapport à \iGa\ (^st, à des points bases près , le même cjuel cjue soit le système | C|.

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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l47

Le système

est donc un système parfaitement déterminé. C'est à ce système que M. Enriques a donné le nom de système bicanonique. Le nombre P dés courbes bicanoniques linéairement indépendantes est évidemment un invariant et s'appelle le higenre de la surface. On pose P = o si le système [aG] n'est pas contena dans jaC^I, et P = i, si le système résiduel [aC^ — ^2C[ se compose d'une seule courbe ou si le système i^C^i coïncide avec le système 2 G.

43. Relativement à la série de groupes de points qu'une courbe bicanonique découpe sur la courbe générale d'un système irréductible, on a l'énoncé suivant :

Une courbe bicanonique arbitraire découpe sur la courbe générale d'un système irréductible |G| un groupe de points qui, ajouté à deux groupes de la série caractéristique de |G| et aux pointsbases de |G| comptés avec le double de leur degré de multiplicité, constituent un groupe de la série gV,Tr/o ^ étant le genre d'une courbe G.

44. Proposons-nous maintenant de construire le système bicanonique sur une surface, s'il existe. Bornons-nous au cas d'une surface qui n'aurait que des singularités ordinaires, courbe double avec points triples, ou plus généralement une courbe multiple ordinaire d'ordre i^ sans points isolés, en sorte que les systèmes des surfaces adjointes et sous-adjointes coïncident. Soit |G| le système des sections planes d'une pareille surface. Gberchons quel est le système de surfaces adjointes qui déterminera le système bicanonique. Or, chaque courbe bicanonique coupe une courbe G en 4'^ — 4 — 2/z points, comme il résulte de la remarque précédente (n'^43). Ge dernier nombre peut s'écrire sous la forme

47»: — 4 — in = iT^ — 2-+-27r — 1 — iJi ~ 11Z — 1-^ n{n — 5) — i{i — i),

d'où l'on conclut que le système bicanonique est découpé par des surfaces adjointes d'ordre n — 3 -j- /z — ^^=z^ji — 8, mais non par le système total de ces surfaces. Il faut envisager seulement celles qui, le long de la ligne multiple d'ordre /, ont un comportement tel que les sections, par un plan général, de la surface

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l48 CHAPITRE VI.

considérée et de l'une de ces surfaces adjointes aient, aux points de rencontre avec la ligne multiple, i(^i — i) points de rencontre condensés en plus des i{i — i) points qui s'y trouvent déjà, en vertu de la définition des surfaces adjointes. C'est donc un total de ii[i — i) points, qui se réduit, pour i—z 2, à 4- Donc, dans le cas cViine surface n^ ayant cjuUine courbe double açec points triples, le système bicanonique est déterminé par celles des surfaces adjointes d^ ordre 2/2 — 8 qui admettent la courbe double comme ligne double. Le nombre de ces surfaces biadj ointes j linéairement indépendantes et ne contenant pas la surf ace f^ est égal au bigenre (').

45. Donnons quelques exemples de surfaces ayant le genre géométrique nul et un bigenre P >> o.

Considérons d'abord, avec M. EnriqueS;, une surface du sixième ordre ayant pour lignes doubles les six arêtes d'un tétraèdre, et par suite les quatre sommets comme points triples. Une telle surface a une équation de la forme

/^{oO^X^Xi^^ ^1^3^4j ^1^2^45 ^1 ^2^3) + ^i^2^3^4^2 (^Ij ^2j ^3) ^k) = ^j

OÙ /a et cc)2 sont des formes quadratiques : la première des produits ^2'^3^4j ... la seconde des variables ^, , ^2? ^3? ^4? ^^^ faces du tétraèdre ayant pour équations Xi = X2 = ^3 = ^4 = o. Cette surface n'a pas de points multiples isolés, et sa section par un plan arbitraire, même passant par un des sommets, est une courbe de genre constant égal à 4- Les surfaces adjointes à une pareille surface doivent passer simplement par les six arêtes du tétraèdre. Il n'existe pas de surface adjointe du second degré, c'est-à-dire de surface canonique, donc/?o= o.

D'autre part, le nombre des conditions pour qu'une surface de degré n contienne les six arêtes du tétraèdre est égal à 6n — 2; le

(^) L'importance du bigenre P ressortira suffisamment d'un théorème extrêmement remarquable dû à M. Castelnuovo, que nous ne pouvons malheureusement qu'énoncer ici : La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface soit unicursale est que l'on ait p,^= o,V = 0 (Castelnuovo, Memoria premiata dalla Società Italiana délie Scienze, 1896). Il est bien curieux que l'égalité à zéro de deux nombres invariants relatifs à la surface suffise pour qu'elle soit unicursale.

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genre numérique de la surface est donc égal à

Il existe, au contraire, une surface adjointe d'ordre 2/i — 8 = 4 passant deux fois par chaque arête du tétraèdre, c'est le système des quatre faces de ce tétraèdre, donc

46. Voici un second exemple dû à M. Castelnuovo : une surface du septième ordre ayant une droite triple, une conique double ne coupant pas la droite, et trois tacnodes dont les plans tacnodaux passent par la droite, a les caractères p^=zp,^=: o, et P= 2. De plus les courbes bicanoniques variables sont des quartiques elliptiques sur des plans passant par la droite triple.

Voyons d'abord comment on peut construire une pareille surface. Sur une surface cubique générale /3 ==: o, fixons une droite /' et une conique k n'ayant pas de points communs avec la droite. Par 7', comme on le voit facilement, passent cinq plans qui sont tangents à f^ en des points extérieurs à /'. Soient a = o, [3 = o, Y = o trois de ces plans, A, B, G leurs points de contact, et S = o un plan arbitraire passant par j\ La surface

est bien une surface du septième ordre satisfaisant à l'énoncé.

Une deuxième s'obtient en considérant une surface du quatrième ordre y^, = o, passant doublement par la conique A", touchant les plans a, p, y, en A, B, G, et à laquelle on adjoint les trois plansapY = o, soit

La surface générale du faisceau

est une surface indécomposable du septième ordre satisfaisant à l'énoncé.

Les surfaces adjointes à une pareille surface sont d'ordre o, elles doivent passer simplement par la conique A, doublement par

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l5o CHAPITRE VI.

la droite ?-; chacune de ces surfaces doit donc déjà se décomposer en le jDlan de la conique k et en deux plans passant par 7\ Mais la surface possédant trois tacnodes A, B, C, les surfaces adjointes doivent j^asser par ces points, c'est-à-dire que les deux plans passant par r devraient les contenir, ce qui n'a f)as lieu généralement. Donc il n'existe pas de surface du troisième ordre adjointe à F7, et l'on a par suite

Calculons p,^. Une surface du troisième degré dépend de vingt coefficients. Le nombre des conditions pour qu'une pareille surface ait comme courbe double une droite donnée est égal à 10, pour qu'elle passe par la conique k est égal à 7, et pour qu'elle passe parles points A, B, C égal à 3; soit 20 conditions simples, donc

Une surface biadjointe sera de l'ordre 6, devra passer deux fois par la conique k et par la droite r, de manière que le nombre des points de rencontre des sections planes correspondantes de cette surface et de la surface F7, condensés au point de rencontre de la droite et du plan, soit de 21(1 — i) = 12 (^' = 3) : ce qui exige que la surface biadjointe passe trois fois par la droite r et ait, en outre, en chaque point de cette droite, les mêmes trois plans tangents que la surface F7. Elle doit, en outre, toucher les plans a, [3, v aux points A, B, G.

Ces conditions exigent que la surface biadjointe se décompose en le plan de k et en une surface du cinquième ordre cp5 passant trois fois par r avec les mêmes plans tangents que F7 en chaque point de cette droite, une fois par /:, et tangente aux plans a, [3, y en A, B, C. Or un plan arbitraire passant par r touche F7 en quatre points variables avec le plan puisque la surface F7 n'a pas, comme on le voit facilement, de points quadruples sur r. Donc ce plan doit toucher aux mêmes quatre points la surface cpg qui passe trois fois par r. Cela exige que cette surface passe non seulement trois fois mais quatre fois par r, et par suite, en tenant compte des autres conditions, elle devra se décomposer en le plan de k et en quatre plans passant par r, à savoir les trois plans a, [3, y, et un quatrième plan variable qui détermine sur F7 la partie va-

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riable de la courbe bicanonique générale. On a donc bien

et la courbe bicanonique est une quartique avec deux points doubles.

47. De la notion de système bicanonique on passe naturellement, ainsi que l'a montré M. Enriques, à la notion des systèmes i fois canoniques^ et qui sont définis de la manière suivante : partant toujours de la relation fondamentale

I C-irt -f- G2 1 — ! Goa + G] I , en supposant pour plus de simplicité que les systèmes |G| | et |C2[ n'ont ]3as de points-bases, on tire

11 peut arriver que le sj^stème [K/[ n'existe pas, quel que soit i. On le vérifie de suite pour le plan, pour une surface réglée quelconque et, en général, pour toute surface contenant un système |G[ de genre tî, dont deux courbes ont plus de 2tc — 2 intersections variables.

Quelques remarques relatives aux surfaces réglées (i).

48. Nous avons laissé de côté, dans la section précédente, les surfaces réglées et plus généralement les surfaces sur lesquelles existent un système linéaire de courbes j G j et un faisceau de courbes j D |, linéaire ou non, tels que la courbe générale du premier ne soit coupée qu'en un point par la courbe générale du se-

(^) Voir à ce sujet différents passages de Vlntroduzione de M. Enriques, particulièrement les n"" 21 et 24.

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l52 CHAPITRE VI.

cond D, qui est alors forcément unicursale. De pareilles surfaces ont d'ailleurs évidemment pour images des surfaces réglées sur lesquelles les courbes correspondant au système | C| sont des directrices.

Nous avons déjà vu (t. I, p. 194) que pour ces surfaces, sur lesquelles il existe un faisceau de courbes unicursales/ le genre géométrique po- était nul, et nous avons trouvé, pour les surfaces réglées (t. 1, p. 240' ^^^^ valeur de /> ,2 égale à — tt, tt étant le genre d'une section plane quelconque de la surface.

Pénétrons un peu plus avant dans l'étude de ces surfaces, et demandons-nous si les différents théorèmes qui nous ont servi, dans ce Chapitre, pour établir l'invariance de /^/^ sont applicables aux surfaces réglées. En d'autres termes, l'égalité fondamentale

est-elle applicable aux surfaces réglées?

Pour l'établir nous sommes partis de ce fait, à savoir que sur une surface y de degré m, dont jC| est le système des sections planes, le système adjoint au système |(r+ i)G | était déterminé par les surfaces adjointes d'ordre m — 3 + /'(Gliap. VI, n^^ 14 et 39). Si cette propriété s'applique aux surfaces réglées, on verra facilement, sans qu'il soit besoin d'insister, comment on peut conclure à l'invariance de S(rG) et aux autres formules fondamentales qui y sont relatives.

Nous nous proposons donc de démontrer que :

Sur une surface réglée d^ ordre jn, les courbes adjointes au système \{r -^ i)C\^ |G| étant le système des sections planes, sont les intersections de cette surface y en dehors des courbes multiples , avec les surfaces adjointes d^ ordre m — 3 + r,

49. Voici d'abord un premier lemme relatif aux surfaces qui possèdent un faisceau de courbes unicursales D. Ge faisceau peut ne pas être linéaire, mais il est évident qu'on peut former avec ses courbes un faisceau linéaire de courbes dont chacune sera composée d'un certain nombre s suffisamment grand de courbes D ; soit

(i) aoMo-f-aiMi=. o,

le système de surfaces, qui détermine ce faisceau.

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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l53

Soit alors sur la surface un système linéaire irréductible | C | de courbes, dont la courbe générale coupe une courbe D en p >> i points variables, et soit

(2) aoLo+ ai Li-t- a2L2 + • . •= O5

le système de surfaces qui le détermine, et dont nous ne considérerons qu'un réseau. Au moyen des deux systèmes précédents, on peut, comme nous l'avons vu (t. I, p. 202), obtenir une image F de la surface qui soit telle que les courbes du faisceau (i) correspondent aux sections planes faites sur la surface F par un faisceau de plans passant par une droite a et que les courbes du système | C| soient représentées par les sections planes d'un réseau de plans passant jDar un point O pris en dehors de a.

La droite a pourra d'ailleurs être une droite multiple de la surface F; soit z; son degré de muhiplicité. Un plan quelconque passant par a coupera la surface suivant s courbes D, et un plan passant par O coupera une courbe D en p points, de sorte que chacune de ces courbes est, sur la surface F, d'ordre p, cl l'ordre m de la surface est par suite égal à

De plus, la surface F n'est pas réglée. Le système des courbes adjointes à | C | sera donc compris dans le système des courbes sous-adjointes déterminées par des surfaces sous-adjointes W^-s à F, lesquelles ont la droite a comme courbe multiple d'ordre i — i. Une surface Wms coupera donc un plan arbitraire passant par a suivant une courbe d'ordre m — 2 — i qui devra être adjointe à la courbe plane correspondante de Ja surface F, composée de s courbes D. Or une pareille adjointe appartient, comme nous l'avons vu, au système somme âe s — i courbes D et d'une adjointe d'ordre m — 2 — i — (s — i) p = p — 2 à la ^ième courbe D située dans le plan considéré. De plus, deux courbes D, qui n'ont aucun point variable d'intersection, ont en commun leurs points multiples, qui appartiennent aux lignes multiples de F, et dont le nombre, puisque la courbe D est unicur-

sale, est équivalent à — — points doubles.

Le nombre des points d'intersection variables d'une pareille

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l54 CHAPITRE VI.

adjointe avec une courbe D sera donc égal à

(''^ — 2 — OP — (P — 0(P — 2) — (5— l)p2=p — 2.

D'où l'énoncé du lemme que nous avions en vue :

Su7' une surface possédant un faisceau de courbes rationnelles D, les courbes adjointes à un système linéaire irréductible I G I dont la courbe générale est coupée en p points variables par une cowbeT>, coupent cette courbe T> en ^ — 2 points au plus.

Nous disons au plus puisque nous avons considéré le système des surfaces sous-adjointes.

50. Gomme première conséquence de ce lemme nous vojons que si 0 = i (c'est le cas des surfaces réglées), le système \ G | n"! admettra pas de courbes adj ointes . Si, en effet, le système |G| admettait un système adjoint | G« | le système | 2 G | aurait pour système adjoint | G -h C^^ |, dont la courbe générale couperait la courbe D en un point au moins, ce qui est impossible puisqu'une courbe 2 G coupe une courbe D en deux points et qu'une courbe adjointe à | 2G | ne peut couper cette courbe D qu'en p — 2=0 points au plus.

Par suite encore une surface réglée cV ordre m ne possède pas de surface adjointe d^ ordre m — 3.

51. Ge dernier résultat peut d'ailleurs se déduire immédiatement d'une remarque générale relative au nombre des points de rencontre d'une surface adjointe ^m-^+r ^ ^y ^^ ^^^^ existe, avec une génératrice de F. Un plan passant par une génératrice a coupe en outre la surface F suivant une courbe G d'ordre m — i, qui coupe la génératrice, en dehors des courbes multiples, en un seul point variable avec le plan, de sorte que le nombre des points de rencontre de la génératrice avec les courbes multiples est équivai ent km — 2 .

D'autre part, la section par ce plan d'une surface adjointe ^m-z+r est une courbe d'ordre m — 3 + r qui passe parles points multiples fixes de G sur la droite a, et s'y comporte comme cette courbe; donc elle coupe a en r — i points, et, par conséquent :

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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l55

Les surfaces ^m-.^-\-r adjointes à une surface réglée F d^ ordre ni coupent les génératrices^ en dehors des courbes multiples, en r — i points variables.

52. Ces préliminaires étant posés, nous sommes en mesure de démontrer la proposition énoncée au n° 48. Soit G^"^^ une courbe adjointe au système l(7^ + i)G|, c'est-à-dire au système découpé par les surfaces d'ordre r + i . On verrait d'abord facilement qu'elle coupe la section plane générale G en un groupe de points qui appartiennent à une adjointe plane d'ordre jn — 3 + r. Reprenons alors la proposition démontrée précédemment (n° 20 de ce Ghapitre); en vertu de laquelle toute courbe qui jouit de la propriété de couper un plan arbitraire suivant un groupe de la série g2'K~2+rm appartient à une surface sous-adjointe d'ordre m — 3 + r, sauf le cas, laissé de côté, où la surface serait réglée. En procédant de la même manière, on voit d'abord que la courbe G^^ est la section partielle de F, en dehors des courbes multiples, avec une surface adjointe ^,7z 3+r+p(p = 0)7 et qui peut contenir encore une ou plusieurs courbes planes, appartenant à des plans passant par l'axe d du faisceau de plans qui a servi à construire la surface <ï>.

Ges courbes, qui rencontrent la droite <:/aux points où elle coupe la surface F, ne peuvent être, dans le cas actuel, que des génératrices de la surface, et, dans tous les cas, ce sont des courbes qui n'ont aucune intersection variable avec le plan général du faisceau. Les points de rencontre variables de la surface ^77i 3+r+p avec une génératrice arbitraire, en nombre /^ -|- p — i (n" 51), sont donc les points de rencontre variables de cette génératrice et de la courbe G^^ . Or la courbe générale du système |(r -f- i)G | coupe une génératrice en r-j- i points, par suite, en vertu du lemme du n° 49, la courbe C^^^ ne peut couper la génératrice qu'en (r -f- i) — 2 = r — I points au plus, ce qui exige p = o, d'où le théorème énoncé (n° 48) et qui complète le théorème du n"" 20 :

Sur une surface réglée ou non d^ ordre m^ les courbes adjointes au système découpé par les surf aces d^ ordre r-{-\{r >> o) so7it les sections de cette surface, en dehors des courbes multiples, par des surfaces adjointes d^ ordre m — ?) -\- r.

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î56 CHAPITRE VI.

53. De ce théorème résulte, comme nous l'avons dit, que les différentes propositions que nous avons énoncées relativement à l'invariance de pn s'appliquent aux surfaces sur lesquelles existe un système linéaire de courbes dont la courbe générale n'est coupée qu'en un point par la courbe générale d'un faisceau de courbes unicursales. Nous en ferons une application au calcul du genre numérique d'une surface réglée.

Une surface réglée d'ordre ?7i a des équations qui peuvent toujours s'écrire sous la forme

X = az -f-/>,

y ^hz-Ar-q,

a, 6, p, q étant des fonctions rationnelles de a et [5, et cp(a, P) = o étant une courbe algébrique plane dont le genre ti est le genre d'une section plane de la surface.

A cette surface correspond donc birationnellement le cylindre cp(a, P) = o, ou plus généralement un cône d'ordre m, et dont la section plane est de genre tu, et dont le genre numérique p,i sera celui de la surface réglée.

Nous sommes ramenés ainsi à calculerle genre numérique/>/2 d'un cône d'ordre m avec cl droites doubles. Or une surface adjointe d'ordre [i. a le sommet comme point multiple d'ordre m — 2, soit

conditions. Elle doit contenir, en outre, chacune des cl droites

doubles, soit

<:/ [ [JL H- I — {m — 2 )]

conditions. Donc la dimension augmentée de un du système des adjointes d'ordre a est niunéricjueme nt

et par suite le genre numérique /^/^([Ji =z m — 4) Gst égal à

(m — i){jn — 2 ) ( 77? — 3 )

?n{m — i){m — 2) ^ , , (ni — i){m — 1) __

résultat que nous avions obtenu par une autre voie (t. I, p. 241).

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54. Cherchons quelles sont, pour une surface réglée, les valeurs des défauts h(rC) et (o^.

De la formule

^m-k+r^i = N,;,4+;.-i- T. -f- FIJI + 8(rG) — 8[( r M- i)G] -f- '-^SL^^iA,

on conclut, puisqu'une surface réglée n'a ni surface adjointe d'ordre 772 — 4? ni surface adjointe d'ordre m — 3 (Nm 4 = N/;^3 = — i),

en faisant r = o,

Appliquant ensuite la relation

on trouve

ù{G) = co;;,3r= tu;

et enfin de la relation qui se réduit ici à

on conclut et par suite

tO,n-2 ~ ^m-l =-...— O,

8(G) = S(2G)=...=- 8(rG)r=:7r.

La valeur maximum de o(rC) est donc tz, et tous les défauts co/^ sont nuls à partir de A = /?z — 2, le premier tùm-3 ayant une valeur virtuelle égale à tt.

55. Terminons par une remarque relativement au système de courbes déterminé sur une surface réglée par les surfaces adjointes d'ordre m — 2. En vertu du théorème démontré (n^ 51), ces surfaces adjointes ne peuvent couper la surface que suivant des génératrices, puisque le nombre r — i des points d'intersection variables est ici égal à zéro {r = i). D'autre part, nous venons de voir que les surfaces adjointes d'ordre m — 2 coupent un plan arbitraire suivant le système total des adjointes planes de même ordre à la section plane correspondante de la surface réglée (^772-2=0). Donc le système des surfaces adjointes d^ ordre m — 2 détermine sur cette surface un système de dimension

l58 CHAPITRE VI. — SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURRES.

Tt — 1 -\- m dont chaque courbe est composée de 2tî — 2 -t- /?2 génératrices.

Les systèmes de courbes déterminés par les surfaces adjointes d'ordre m — • 1 -\- h s'obtiendront successivement en ajoutant au système précédent le système des sections planes |C|, le système I 2 C I , . . . , le système | A C | .

Nous avons dit que sur une surface réglée il n'existait pas de système adjoint au système des sections planes d'ordre m — 3, mais il est possible de construire un système de courbes sousadjointes à ces sections planes, composées chacune d'un nombre convenable de génératrices. Le point à remarquer est qu'un pareil système ne peut être obtenu comme la section totale, en dehors des courbes multiples, de Ja surface réglée par un système de surfaces adjointes.

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ï. — Première définition des intégrales de seconde espèce.

1. On sait combien, dans la théorie des fonctions algébriques, la distinction des intégrales abéliennes en tj^ois espèces joue un rôle important. Dans un grand nombre de questions, les intégrales de première et de seconde espèce sont particulièrement intéressantes à considérer. Il est naturel de chercher à faire pour les intégrales doubles attachées à une surface algébrique, c'està-dire pour les intégrales doubles

R{a^,y,z)dxdy [f{^,r, -) = o]

(où R est rationnelle en ^, y et ^), une classification plus ou moins analogue. Nous avons vu, dans le cours de cet Ouvrage, l'importance des intégrales doubles de première espèce attachées à une surface.

Nous nous proposons, dans ce chapitre, de poser les bases d'une théorie des intégrales doubles de seconde espèce dans la théorie des surfaces algébriques, et de montrer comment la notion d'intégrale de seconde espèce conduit à un nombre invariant, qui paraît distinct de ceux qui ont été considérés jusqu'ici.

Considérons ime surface algébrique

(1) E. Picard, Sur les intégrales doubles de seconde espèce {Comptes rendus, 6 décembre 1897 ^^ ^4 janvier 1898; Journal de Mathématiques, 1899; Comptes rendus, 10 octobre 1899).

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l6o CHAPITRE VII.

et soit une intégrale double relative à cette surface

/ / R{a;,y,z)dxdy,

R étant rationnelle en ^, j" et z. Nous allons tout d'abord définir ce que nous entendons par intégrale double de seconde espèce. Prenons sur la surface un point arbitraire A, que l'on peut toujours, par une transformation préalable, supposer à distance finie. Si le point A est un point simple, nous dirons que l'intégrale (i) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce, si l'on peut trouver deux fonctions rationnelles U et V de :r, j^, ^, telles que, après avoir formé l'intégrale double

la difi'érence des intégrales (i) et (2) reste finie au voisinage de A (on considère, bien entendu, z comme fonction de ^ et jk quand on prend les dérivées partielles de U et V par rapport à x et jk)- Si le point A est un point multiple de/, on sait que l'on peut partager le voisinage de A en un certain nombre de régions, telles que chacune d'elles corresponde birationnellement à une région R située sur une surface F, et ne comprenant que des points simples de F; l'intégrale (i) présentera en A le caractère d'une intégrale de seconde espèce, si ses transformées, par chacune des substitutions birationnelles à employer, présentent, en tous les points de la région correspondante R de la surface correspondante F, le caractère d'une intégrale de seconde espèce. Si, en tout point A de la surface/" (à distance finie ou à l'infini), l'intégrale (i) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce, cette intégrale sera dite une intégrale double de seconde espèce, R est clair que les fonctions rationnelles U et V à employer pourront varier avec le point A.

2. R importe tout d'abord de remarquer que la forme des expressions (2) est de nature invariante relativement aux transformations birationnelles. On s'en assure de la manière suivante. Envisageons d'abord l'intégrale

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SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. l6l

ou .f^^ ^ représente le déterminant lonctionnei des deux lonc-

tions P et Q de ^ ety ; si l'on remplace les variables ^ et jk par de nouvelles variables x' ety'j l'intégrale devient évidemment

et garde par suite la même forme. Or, l'intégrale (3) rentre manifestement dans le type (a), puisqu'on peut l'écrire

Ceci posé, on peut donner à (2) la forme suivante :

en faisant un changement de variables, on aura

et, d'après ce c[ue nous venons de dire, chaque terme de cette somme et, par snite, la somme se mettent sous la forme

L'intégrale (^) a donc conservé la même forme quand on a remplacé les variables x el y par les variables x' et y'; c'est l'invariance que nous voulions établir.

3. Remarquons, avant de continuer, cju'une définition analogue à celle que nous venons de donner pour les intégrales doubles de seconde espèce peut être adoptée pour les intégrales simples de seconde espèce dans la théorie des courbes algébriques. Si l'on a la courbe

les intégrales abéliennes de seconde esj)ece

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l62 CHAPITRE VII.

relatives à cette courbe sont telles que, pour tout point A de la courbe, on peut trouver une fonction rationnelle U(^,jk), telle que la différence

J ]X{x,y)dx—J ^dx

reste finie dans le voisinage de A.

4. On sait que, pour une courbe algébrique, il n'existe qu'un nombre limité d'intégrales abéliennes distinctes de seconde espèce, c'est-à-dire qu'il existe un nombre limité d'intégrales abéliennes J de seconde espèce, dont aucune combinaison linéaire n'est de la forme

(U étant rationnelle en x et y), et telles que toute autre intégrale de seconde espèce est une combinaison linéaire des intégrales J, à un terme additif près de la forme (a).

Nous devons nous demander s'il en est de même dans la théorie des surfaces algébriques. Nous allons montrer, pour répondre à cette question, qu'^Y existe un nom.hr e limité o (T intégrales J de seconde espèce, dont aucune combinaison linéaire n^ est de la forme

(P et Q étant rationnelles en x^y et ^), et telles que toute autre intégrale de seconde espèce est une combinaison linécdre des intégrales J, à un terme additif près de la forme (p). La démonstration de ce résultat sera la conséquence d'une longue suite de transformations de calculs qui vont faire l'objet des sections suivantes. Nous aurons ensuite à montrer qu'une intégrale double de seconde espèce relative à une surface / se change, quand on transforme birationnellement f en une surface F, en une intégrale de seconde espèce de la surface F. Ce fait ne résulte pas seulement du calcul du n° 2 et demandera quelques explications compi émen taires .

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