II. — Remarques générales

5. Commençons par éUidier les intégrales de seconde espèce ayant la forme particulière

C r^{^^y^^')dx dy , ^, , ,

(4) / / \ ' ^ — 777-^— (y-y-o et P étant un polynôme),

en supposant que la surface de degré m

occupe une position arbitraire par rapport aux axes de coordonnées. Envisageons l'intégrale simple

rp(x,y, z)dx relative à la courbe entre x et z

OÙ y est un paramètre. On sait que, par la soustraction d'une expression de la forme

J dx \{x — ayj--^ ] '

on peut ramener l'intégrale (5) à une intégrale analogue, où a est remplacé par a — i . Toutefois les coefficients du polynôme Q(^, ^) en ^ et ^ étant des fractions rationnelles àe y^ il figurera dans la nouvelle intégrale, au dénominateur, un polynôme en y. Il importe d^examiner de quelle manière y figure dans ce dénominateur. Soient Z\ , Z2j > * . ^ z^ les m racines de l'équation

le polynôme Q(^;^) est seulement assujetti à vérifier les équations

{a — \) f^{a,'y, Zi) <^{a, Zi) -^V (^a, y, Zi) = o (i= i,i, ..., m). Il suffira de prendre pour Q(x^z) un polynôme en z de degré

m — I, et il est clair que ses coefficients contiendront, en dénominateur, le résultant des deux équations

Notre dénominateur admettra donc pour racines simples les valeurs àe y correspondant aux points de la courbe

où la tangente est parallèle à l'axe des z^ et pour racines doubles les valeurs à^ y correspondant aux points doubles de cette courbe, si la courbe n'a que des points doubles. Soit d'une manière générale A(jk) ce résultant; l'intégrale (4), par la soustraction d'une intégrale de la forme

, dx dy

(où U est rationnelle en ^',y, z)^ se trouve ramenée à une intégrale de la forme

r r V{œ, r,z) dx dy

En continuant de la même manière, on arrivera évidemment à une intégrale de la forme

P(,r, y, z) dx dy

(^ ~ a)[ù.(y)y^~^/y P étant toujours un polynôme.

6. Puisque l'intégrale précédente est de seconde espèce, on peut, dans le voisinage d'un point arbitraire de la courbe (^)

(^) On peut supposer que cette courbe est indécomposable, car, les axes de coordonnées étant arbitrairement choisis, les plans

X = const.

coupent tous la surface suivant une seule courbe, en laissant de côté la surface de Steiner et les surfaces réglées, d'après un résultat précédemment énoncé.

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SUR LES INTÉGRALES DOURLES DE SECONDE ESPÈCE. l65

relranclier une intésrrale double de la forme

de telle sorte que la différence reste finie dans le voisinage du point. Les fractions rationnelles U et V sont nécessairement de la forme

^x — ay^ ' {x — a)V^ '

A et B étant encore des fractions rationnelles, mais qui ne deviennent pas infinies, et nous supposons que B ne s'annule pas identiquement sur la courbe y.

Si X est supérieur à ]x — i, A s'annule nécessairement pour X = a, et par suite on peut, de proche en proche, réduire \ à p. ■ — I. On peut d'ailleurs dans tous les cas supposer

en multipliant, s'il est nécessaire, les deux termes de U par une puissance de x — a.

Nous avons donc l'expression

à rB(x,y,z)l

Si y. est supérieur à un^ la différence

s'annulera nécessairement pour la courbe (y), c'est-à-dire que l'on aura

— (jj. — i)A(a,7, (;) + ^B(a,7,(:) = o [hycc f{a,y,Q = o]. On en conclut que l'expression (S), qui peut s'écrire

dx\(x — a)V~^ p. — 1 4/ (^' — <^)^^''^J

^ ^ rB(^,jK,^) ^ i d__ B(x,y,z) ~]

ày [^ (x — a)\^ [J. ~ i dx (x ■ — • a)F'~i J

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l66 CHAPITRE VII.

est de même forme que (S), sauf que p. y est remplacé par [jl — i . Donc, en allant de proche en proche, on peut supposer [ji = i, et, par suite, la différence

doit s'annuler pour x = a. On en conclut que

[A(j)ja-i/^ ôy

Ç étant la fonction de y définie par /(a, y, Q == o. La fonction rationnelle B(a, jK, ^) pourra nécessairement se mettre sous ]aforme

S et U étant des polynômes, et les racines de\J(y) appartenant à A (y). Ceci posé, formons la différence

JJ {x-a){^yr~^fl J J ày {x-a)\}{y)'''' •^•

Elle sera de la forme

()^(x, y,z) dx dy

Q et V étant des polynômes et les racines de W(jk) appartenant

àA(j).

m. — Première réduction, dans le cas des surfaces sans singularités.

7. Les transformations précédentes vont bientôt nous être utiles. Nous allons maintenant revenir à l'intégrale

supposée de seconde espèce, en supposant que la surface n'ait pas de singularités. Considérons d'abord le cas où le plan œ = a

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n'est pas tangent à la surface. Il va être facile dans ce cas d'effectuer une réduction en supposant a >> i . Je dis qu'on peut déterminer àe\i^ polynômes A.{x ^ y ^ z) et B(^, j, z)^ de telle sorte que l'intégrale

JJ l{oo--ay^fL dx{x-a)^-^ ^^(^^)aj ^

soit de même forme que l'intégrale initiale, a étant remplacé par a — I . Il suffira que

passe par Ja courbe x = a, /(^, y<^ z) = o.

Prenons pour A et B des polynômes en y et Ç; l'expression

devra être divisible par /(a, JK, Q; on bien encore, y et ^ étant deux lettres indépendantes, il faut mettre le polynôme P(a, y^ Q sous la forme

P(^^,r^ 0 = ^^J'y-^V-fi-^'^f [où/ désigne /(«, 7, ^1;

7\, [JL et V étant des polynômes en y et Ç.

Or, puisque le plan x ^=. a n'est pas tangent à la surface, la courbe f[a^y^ Ç) = o n'a pas de points multiples : les trois polynômes /, fyifi ne s^annulent pas siuiultanément. De plus on peut toujours supposer que les solutions communes aux deux équations

sont des solutions simples; il suffit que l'axe des Ç ne soit pas parallèle à une tangente d'inflexion de la courbe /(a, jk, Ç) = o. Ceci posé, on peut choisir le polynôme )^(jK, Q de manière que la différence

s'annule pour les points communs à

l68 CHAPITRE VII.

On aura donc

rx et V étant des polynômes en y et Ç, et de là se tirent A et B.

Nous pouvons donc conclure que, sous les hypothèses faites, l'intégrale pj^oposée se ramène à

V {x^y, z) dx dy {x — a)fL

8. L'intégrale étant de seconde espèce, nous pouvons faire une réduction encore plus complète. En raisonnant comme au n° 6, on voit que l'on doit avoir

^^i^l^ = ABfa,j^,Ç) [/(«,/, 0 = 0].

La fraction rationnelle B(a, jk? Q sera nécessairement un polynôme S(j/,Q en y et Ç [la courbe/'(a, j^^ t^) = o n'ayant pas de point double]. Si Ton considère alors la différence

elle sera de la forme

r rP(x,y,z) dxdy

JJ n '

OÙ P est un polynôme. Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

La surface f{x^ y ^ s) = o n'ayant pas de singularités, et le plan X ■=^ a n'étant pas tangent et la surfaee^ une intégrale de seconde espèce de la forme

r [ P(x, y, z) dx dy .^ , ,

jJ \;-ay-fL^ (P «^^" "" polynôme)

se ramène par la soustraction d'intégrales du type

/ / -1 h -— «^ dy ( U et V rationnels en ;r, y et z)

JJ \âx dy) ^ V .J )

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une intégrale de la forme

V{x,y,z)dxcly

P étant toujours un polynôme.

9. Le même théorème subsiste si le plan x = a est tangent à la surface. Nous pouvons le démontrer très facilement en nous reportant au résultat du n° 6. Par la soustraction d'une intégrale de forme convenable, nous avons ramené l'intégrale

P(^, jK, z) dx dy {x-ay^JT' la forme

' <^{x , y y z) dx dy

W(7)/i chaque racine h de W(y) correspondant à un point où la courbe

a sa tangente parallèle à l'axe des z. Or, les axes occupant une position arbitraire par rapport à la surface, on peut supposer qu'aucun des plans j)^ = b n'est tangent à la surface. Nous sommes donc ramené au cas précédent (^ et y étant permutés), et nous avons le théorème énoncé à la fin du numéro précédent, même si le plan x =^ a est tangent à la surface,

10. Nous avons supposé que les axes occupent une position arbitraire par rapport à la surface; les plans considérés ^ = a coupaient alors la surface suivant une courbe irréductible. Il est facile d'examiner le cas où il en serait autrement. Supposons que le plan x ^=- a coupe la surface suivant une courbe décomposabJe en deux autres, et soit A un point commun à ces deux courbes. Reprenons l'intégrale

^V {x^y^z^ dx dy

ff-

{x-a^fL Nous pouvons d'ailleurs, comme plus haut, faire les réductions

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lyo CHAPITRE VII.

qui nous ramèneront à l'intégrale

*F (x, y, z)dx dy

On peut, dans le voisinage de A5 retrancher une intégrale double de la forme

de telle sorte que la différence reste finie dans le voisinage du point. En raisonnant comme au n" 6, on voit que cette dernière intéerrale est de la forme

ff-,

-—B(x,y,z)dx dy,

■a ôy

la fraction rationnelle XM^x^y^ z) ne devenant pas identiquement infinie sur la section plane x = a. Il n'y a dans tout ceci aucune différence avec le n^ 6, si ce n'est que dans ce numéro nous nous placions au voisinage d'un point quelconque de la section plane, tandis que nous nous plaçons ici au voisinage du point particulier A. ; d'ailleurs, la courbe désignée (/oc. cit.) par (y) est l'ensemble des deux courbes passant par le point A. On aura donc

W(j)/:(a,j/,..) ôy

pour l'une et l'autre courbe que définit l'équation /(a, jk, z) = o.

Or, on peut toujours mettre la fonction rationnelle ^{x^y^z)

sous la forme

Q(x y.z\ B(a7,j, ^) = \y ^ — - (Q étant un polynôme),

le polynôme R(^,jk) ne contenant pas [x — et) en facteur (sinon B serait infinie au moins sur une des courbes de la section x = a). Si donc de l'intégrale proposée

V{x,y, z)dx dy (^-«)W(7)/I on retranche

J J àylx-a K(a,y) J "" '

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on aura une intégrale de la forme

'(i{x,y,z)dxdy

'^(y)fz

yV (y) étant un polynôme en y. Comme le plan des zx peut être supposé avoir une direction arbitraire, on peut admettre qu'aucun

plan de la forme

ne coupe la surface suivant une courbe décomposable (en faisant abstraction de la surface de Steiner et des surfaces réglées), et finalement nous arrivons à la même conclusion qu'au numéro précédent.

Les considérations précédentes peuvent servir, d'une manière plus générale, à faire la réduction de l'intégrale de seconde espèce

F(x,y, z)dx dy {x — ay^'^ix.y)/':,'

le polynôme R(^,j/*) ne contenant pas x — a en facteur; on ramènera cette intégrale, par la soustraction d'une intégrale de la forme déjà plusieurs fois indiquée, à l'intégrale

V {x,y^ z)dx dy

yUW(^7y¥z'

11. En restant toujours dans le cas d'une surface sans singularités, nous allons considérer une intégrale arbitraire de seconde espèce. Les axes étant pris arbitrairement^, nous pouvons supposer que l'intégrale reste en général finie dans le voisinage d'un point pour lequel /^== o; de plus G étant une ligne irréductible de la surface pour les points de laquelle l'intégrale peut devenir infinie,

soit

R(^,jk) = o

la courbe irréductible qui est la projection de la ligne G sur le plan des xy. La surface cylindrique

pourra couper la surface y* suivant une autre ligne irréductible que la ligne G.

lyi CHAPITRE VII.

Soit r cette seconde ligne; les courbes C et T ont au moins un point commun à distance finie que nous désignerons par A. L'intégrale double considérée peut évidemment se mettre sous ia forme d'une somme d'intégrales du type

(\ ce ^{^0'^^)dxdy

En effet, toute fraction rationnelle de a^j y, z peut s'écrire

A et B étant deux polynômes, le premier en x^ y, z^ le secoud en X et y. En regardant

comme une fraction rationnelle de x^ on la décomposera en fractions plus simples, dont les dénominateurs, en tant que polynômes en Xy soient premiers entre eux et puissances d'un polynôme en X et y; mais dans cette décomposition pourront s'introduire au dénominateur des polynômes en y^ figurés par W(j^). Considérons donc l'intégrale (s) ; dans le voisinage du point A, on doit pouvoir trouver deux fractions rationnelles S(^,y, z) etT(^,^, z) telles que la différence

reste finie dans le voisinage de A. En décomposant S et T en fractions simple de la forme

tions simples, nous avons, pour Ja somme f- -— -? des éléments

ll{x,y,z)

Wi(7)[p(^,7)]Vi

En se bornant, dans S etT, au terme renfermant nécessairement en dénominateur une puissance de R, nous avons une intégrale de

la forme

V {x, y^ z)clx dy

^N{y)[i^x,y)WL

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SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. IjS

cjai, clans le voisinage de A (ce point pouvant être exclu), ne devient pas infinie sur la courbe

c'est-à-dire sur les deux courbes C et F; il faut donc que

reste finie pour R(^, r) = o, dans le voisinage de A, et, par suite, soit un polynôme en ^, y et z (on peut applicjuer ici le ihéorème classicjue de Nœther, puisque C et F forment l'intersection complète de R = o avec la surface /).

On Yoit clone que finalement l'intégrale sera ramenée à

F ( X, r, z^dx dy

et finalement à

'Pf.r, T', z)dx dy

Nous avons donc la proposition fondamentale suivante : Si U équation

représente une surface sans singularités, toutes les intégrales de seconde espèce relatives à cette surface sont de la forme

U et V étant des fonctions rationnelles en x^ y et z^ et P(^, y, z) représentant un polynôme,