IV. — Même réduction pour les surfaces quelconques

12. Le théorème que nous venons d'établir est général. Une partie de la démonstration précédente subsiste entièrement; c'est celle qui est contenue dans le numéro précédent et qui s'arrête

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à la forme (yi). En permutant x et y, nous voyons donc que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent aux intégrales

P(;27,/, z)dx dy

et nous devons donc étudier les intégrales de la forme

*P(a7, j-', z)dx dy

{x-ay^f^

La surface, nous pouvons le supposer, n'a que des singularités ordinaires (une ligne double avec points triples). On peut, de plus, admettre que l'intégrale initiale ne devient pas, en général, infinie le long de la ligne double (il suffirait, s'il en était autrement, de faire une transformation birationnelle convenable); il en résulte que P s^ annule le long de la courbe double. Enfin les axes de coordonnées ont une position arbitraire par rapport à la surface.

Supposons d' abord que le plan x =^ a ne passe pas par un point-pince ou par un point triple de la courbe double. Ily a alors peu de modifications à faire à la réduction du n° 7. Reprenons les notations et les calculs de ce paragraphe ; nous devons chercher à mettre P(a, y, Ç) sous la forme

Le polynôme P(«,j/, u) s'annule d'ailleurs pour les points doubles de la courbe

Ici les trois polynômes/, f'^ f^ s'annulent simultanément, mais on peut supposer que f el f n'ont de tangente commune en aucun de leurs points de rencontre. Il s'agit alors de savoir si l'on peut déterminer un poljnome pi en y et Ç, de telle sorte que la différence

soit de la forme \f'-i~ yf. Les points communs à / =. o et /; = o

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SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. jyS

sont de deux sortes; les uns sont des points simples de /"et n'appartiennent pas, par suite, à/jj= o. On peut choisir le polynôme [i. de telle sorte que la différence P — ]xf^ s'annule en ces points. Les autres sont points doubles de/; la différence précédente s'annule en ces points ; mais il faut de plus cpie, pour chacun de ces points,

la courbe

ait même tangente que la courbe /' = o, et il est clair que l'on peut choisir [j, de façon qu'il en soit ainsi, puisque /J.= o et fl=^ o ne sont pas tangentes en ces points.

Nous pouvons donc encore conclure que le cas de a. quelconque se ramène à a = i .

13. On ne peut pas faire la même réduction si le plan x ^= a passe par un point-pince. Pour qu'elle soit possible, c'est-à-dire pour qu'on puisse mettre P(a, y, Ç) sous a forme voulue, il faut et il suffît que la tangente à la courbe

au point-pince, soit la tangente au point de rebrousseraent dans la section plane x ■=. a ( ' ).

Or, pour l'intégrale considérée

P(^, jK, z) clx dy

la condition relative à la tangente pour la courbe P(a,y, ^) =: o n'est pas remplie en général. Nous allons montrer que l'on peut,

(^) On établit facilement, à l'aide du théorème de Nœther, que, si

/(^, J) rzr o

représente une courbe ayant des points doubles et des points de rebroiissement ordinaires, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme P(a7, y) soit susceptible de se mettre sous la forme

^/+ P'/v~T~ '^/i (^j I-*-? ^ étant des polynômes),

est que la courbe P = o passe par les points doubles de /, et aussi par les points de rebroussement avec la tangente à / en ces derniers points comme tangente.

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par une soustraction convenable, être ramené à une intégrale de même forme, mais où la condition voulue sera remplie. Commençons par quelques remarques très importantes pour la suite.