SI
la fraction rationnelle S étant finie et déterminée au point A. Ceci montre que l'intégrale (2) et, par suite^ U intégrale initiale i présentent en A ce que nous avons appelé le caractère d^ une intégrale double de seconde espèce.
Ainsi se trouve établi le caractère invariant de V intégrale double de seconde espèce ; le nombre désigné par p au n° 20 est donc un nombre invariant pour tonte transformation birationnelle.
VIÏI. — Quelques exemples.
25. Considérons d'abord les intégrales de fonctions rationnelles
(1) y / '^{x,y)dxdy,
S étant une fonction rationnelle de deux variables indépendantes X et j^. Il résulte immédiatement du théorème général du n° H, que de telles intégrales, quand elles sont de seconde espèce,
peuvent par la soustraction d'une expression
être ramenées à la forme
(3) JJv{x,y)dxdy,
P étant un polynôme. En effet, on peut regarder (i) comme une intégrale relative à la surface
^ — a ^ H- by -h c .
D'autre part, il est manifeste que l'intégrale (3) peut s'écrire
Q étant un polynôme en x etjK, car on peut toujours poser P = --^.
Donc, toutes les intégrales doubles de seconde espèce de fonctions rationnelles de x et y sont de la form.e ( 2). Le nombre désigné plus haut par p est ici égal à zéro.
Il ne sera pas inutile de reprendre directement la démonstration du résultat précédent, sans s'appuyer sur aucun théorème général.
Soit
S(^,jk)^
;Rj(^,jK)J^^...[R,«(^,r)j^'"
les R étant des polynômes irréductibles en x et jk, que nous pouvons supposer contenir à la fois x et y, et premiers entre eux. Puisque l'intégrale (1) est de seconde espèce par hypothèse, on doit pouvoir retrancher de (i) une intégrale de la forme (2), telle que la différence reste finie dans le voisinage d'un point appartenant à la courbe
Si nous décomposons U et V en éléments simples par rapport à jK, relativement à chacun des polynômes R, nous avons
A/ et B/ étant des polynômes en y à coefficients rationnels en x.
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jgô CHAPITRE VII.
La différence
ne doit pas être identiquement infinie dans le voisinage d'un point arbitraire satisfaisant à la relation
Par cette soustraction, nous faisons donc disparaître Ri du dénominateur, en introduisant cependant à la place un polynôme en X seul. En opérant maintenant relativement à R25 et ainsi de suite, nous voyons que, par la soustraction d'une intégrale ( 2), nous ramenons l'intégrale de seconde espèce (1) à l'intégrale
-;.-^-7— — - dx dy,
P étant un polynôme en x ety, et V(^) un polynôme en x. Cette dernière intégrale est la somme d'intégrales
/ / B{x)y'^^ dx dy
[oùR(^) est une fraction rationnelle de x^ et m un entier positif] que l'on peut écrire
-^ffj^^^^^''^'^"''^'^'^'''^^'^
elle est donc de la forme (2), et nous retrouvons bien le résultat annoncé.
26. Prenons encore, comme exemple, une surface qui correspond birationncLlement à l'ensemble de deux courbes o et A, c'est-à-dire une surface pour laquelle on a
cp(a, P) == o
les R étant rationnelles en a, [3, a' et p^, et cela de telle manière qu'à un point cubitraire {x^ y^z) de la surface corresponde un
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seul couple (a, P) el (a^, [3'); nous désignerons par/(^, JK, ^) = o l'équation de la surface.
Soit
da.
une intégrale abélienne de seconde espèce, non rationnelle, de la
courbe
cp(a, p) = o,
c[ue nous supposons de genre supérieur à zéro, et soit pareillement
(5) rS(a', [3')f/a'
une intégrale de seconde espèce, non rationnelle, relative à la courbe de genre supérieur à zéro.
J'envisage l'intégrale double
qui est manifestement delà forme
(6) fjr{œ,y,z)dxdy,
ï étant rationnelle en x^ y el z. Nous allons voir que cette intégrale est une intégrale de seconde espèce de la surface /. Les lignes, le long desquelles l'intégrale (6) devient infinie, correspondent aux pôles de l'intégrale (5). Si A est un pôle de (4) sur la courbe cp (on peut le supposer à distance finie), on a, dans le voisinage de ce point,
p et U étant rationnelles en a et p, et p restant finie en A. L'intégrale peut donc s'écrire
ff ( W "^ p) ^^'''' ^'^ '^'^ '^''''
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rgS c'est-à-dire
le premier terme seul devient infini pour un point de la surface / pris arbitrairement snr la ligne F qui correspond au point A de la courbe cp. Or, ce premier terme, d'après les généralités du n"* 2, est nécessairement de la forme
aVi
— ^- -h ^-^ \ dx dy,
dx ôy ' -^ '
Ui et V^ étant rationnelles en ^, y et z. Donc, en un point arbitraire de la ligne F, l'intégrale (6) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce. Pour les pôles de A on raisonnerait de la même manière, et aussi pour les points correspondants à la fois aux pôles de o et aux pôles de 'i, et nous arrivons bien à la conclusion que r intégrale (6) est une intégrale double de seconde espèce.
Une question intéressante se pose immédiatement. Peut-on affirmer que l'intégrale (6) n'est pas réductible à une intégrale
J J [clx
dy
dx dyl
Il en est bien ainsi, du moins en général ; c'est là un point assez délicat à étal)lir, qui appellera notre attention snr certaines circonstances intéressantes relatives à la périodicité des intégrales doubles.
27. Nous commencerons par l'examen d'un cas particulier remarquable, qui se rapporte à la théorie des intégrales hjperelliptiques. On connaît, dans la théorie de ces intégrales d'après Weierstrass, l'importance de l'identité
à dx
dy
OÙ P(^) désigne un polynôme arbitraire ajant des racines distinctes a^, ^2, . . . , a,i, et où U(.2:^ y) est un polynôme en x ely défini par cette identité même.
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SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. r()9
Si nous envisageons la surface
z^ = P(^)P(7), on aura
Nous allons considérer l'intégrale double
(,) ff^^,.,y,
prise le long d'un cycle à deux dimensions formé par une courbe fermée G du plan de la variable ^ c|ul comprenne à son intérieur deux des points a, et par une courbe fermée G^ analogue dans le plan de la variable y. Si les deux courbes G et G^, tracées sur le même plan, offrent la disposition de la Jig\ ol, c'est-à-dire si les
contours G et G^ne se coupent pas (ou peuvent être ramenés à des contours ne se coupant pas sans traverser les points a), on aura de suite, d'après l'identité (i), la relation
Jr Je
a^ dy = 0,
puisque, tous les éléments restant finis dans les deux intégrales
on n'a qu'à faire la première intégration dans chacune de ces intégrales et l'on obtient ainsi zéro.
Le résultat précédent ne subsiste pas si les deux contours ont la disposition de la yi^\ p. Les contours G et G^ ont deux points communs p et q^ et le maniement des intégrales (2) demande quelques précautions à cause des deux éléments qui y deviennent
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iafinis. Prenons sur C deux points ^^ et ^2 de part et d'au tre de p^ et deux points ^3 et ^4 de part et d'autre de q.
Fig. p.
Nous allons calculer la valeur de l'intégrale
If
l'intégration par rapport à y étant faite le long de C^, et l'intégration par rapport à x étant faite dans le sens de la flèche le long
de l'arc x^x^ et le long de l'arc ^4^2- Le radical y/P(^) a une valeur bien déterminée le long de G, et le radical \JV[y) une valeur bien déterminée le long de G^; nous pouvons supposer qu'ils sont égaux en p^ ils auront alors des valeurs de signe contraire en q, Geci posé, l'intégrale est manifestement égale à
(r-^O/P'Cr)
df
Pour calculer l'intégrale qui forme la première ligne, traçons un arc jnrn. Une intégrale prise le long de G^ est égale à la somme d'une intégrale prise le long du coniouY mqnrm et d'une intégrale relative au contour inrnpm. Or, pour l'intégrale de la première ligne, la première de ces deux intégrales est très petite si x^ est très voisin de x^ \ la seconde se réduit à
s/?ix^)
dy->
prise le long du contour inrnpm : elle a donc pour valeur iizi. L'intégrale de la seconde ligne se calculera de même; sa valeur est
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encore iizi^ en se rappelant qu'en y, les radicaux ^P(^) et sj^{y) sont de signes contraires.
Si l'on calcule maintenant l'intégrale
j J dy l{^~~y)z\ ^ ^
dans les mêmes conditions, on trouve évidemment zéro.
Donc l'intégrale (I) prise le long de G^ et des arcs x^x^ et ^4^2 de G diffère très peu de ^izi.
On a, par suite ('), pour \difig. [3,
/ / ■ — dx dy = ^111.
C ^ Çi'
