Revenons maintenant à nos intégrales

(3) f f^(o^, ?)S(a', f^')d(xda'

et supposons, pour plus de simplicité, que les courbes cp et (]; soient des courbes arbitraires de leur degré. On peut supposer que les coefficients de R et les coefficients de S dépendent respectivement d'une manière algébrique des coefficients de cp et à; nous supposerons de plus c|ue l'intégrale

R(a, <^)da,

prise le long d'un cycle G de cp, Ji'est pas une fonction algébrique des coefficients du polynôme cp, et pareillement l'intégrale

S (7/, ^') dcf,\

prise le long d'un cycle G^ de ^ n'est pas une fonction algébrique

(^) Ce résultat est bien d'accord avec la relation capitale obtenue par Weierstrass d'une tout autre manière, et que Tillustre auteur formule de la manière suivante :

Jr'^[K+\ r'^'^+i F ( 37, y) dx dy x

Voir Beitrag zur Théorie der Abelscheii Intégrale (Tome I des Œuvres de Weierstrass, p. 117). Le polynôme R(^) est désigné dans notre texte par P(ic)

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des coefficients du polynôme ^. Nous disons qu'il est impossible que l'on ait une relation de la forme (' )

U et V étant des fonctions rationnelles de a, p, aJ et [3^ Si une telle identité est possible, il est clair que les coefficients de U et de V peuvent être supposésfdépendre algébriquement des coefficients de o et de Jj. Si U et V ne devenaient pas infinies en certains points du continuum (GC), l'intégrale double (3) prise le long de G et de G^ serait nulle. Gomme il n'en est pas ainsi, il faut qu'il y ait un certain nombre limité de couples de points (AA^) (A étant sur G, et A^ sur G^) pour lesquels U et V deviennent infinies. Si les cycles G et G^ sont, comme on peut toujours le supposer, formés de morceaux de ligues algébriques, les coordonnées de A et A^ seront des fonctions algébriques des coefficients de cp et (j;. Un tel point (AA^) va jouer ici le même rôle que le point p de G et de G^ au numéro précédent; on prendra sur G deux points X\ et X2 de part et d'autre de chaque point A, et, en faisant un calcul tout analogue à celui qui a été fait plus haut, on voit que l'intégrale (3) prise le long de G et G^ peut être calculée d'une manière purement algébrique, et, par suite, la période correspondante s^ exprimerait algébriquement à V aide des coefficients de cp et (];. Mais il n'en est pas ainsi, puisque la période d'une intégrale abélienne de seconde espèce est, en général, une fonction transcendante des coefficients de l'équation de la courbe. Nous sommes donc assuré d'avoir des intégrales doubles de seconde espèce

JS-

qui ne se réduisent pas à une intégrale

h -^ ) dx dy.

àx dy j -^ '

comme nous voulions l'établir.

( ' ) En prenant — on considère, bien entendu, p comme fonction de a, et de même dans le calcul de -x-—,-> on considère 3' comme fonction de a'.

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