IX. — Seconde définition des intégrales de seconde espèce
29. On peut donner, des intégrales de seconde espèce, une définition qui fait intervenir la considération des résidus de l'intégrale double. Nous nous bornons d'ailleurs à une surface ne présentant que des singularités ordinaires. Soit
(i) I I R(x,y, z)dxcly
une intégrale double attachée à la surface
On peut toujours supposer, en effectuant préalablement une transformation birationnelle convenable, que l'intégrale devienne infinie seulement le long de certaines courbes simples de la surface ne passant pas par les points triples et pour les points à l'infini. Pour chacune de ces lignes et pour la ligne à l'infini, l'intégrale aura un certain nombre de résidus qui sont des périodes d'intégrales abéliennes. Leur définition résulte de ce que nous avons vu (t. I, p. 49) en étudiant les résidus des intégrales doubles de fractions rationnelles. Soit G une ligne le long de lac|uelle R devienne infinie, représentée par
prenons, y étant regardé comme un paramètre, le résidu de la fonction de x^
Ce sera une quantité de la forme
y^ étant rationnelle en ^ et y. Les périodes (polaires ou cycliques) de l'intégrale abélienne
o-^rd yj^x,y)dy
relatives à la courbe o sont les résidus de l'intégrale (i) relatifs à la courbe G.
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30. Supposons que l'intégrale (i) soit de seconde espèce; je dis qu'alors tous les résidus relatifs à G sont nuls. Réciproquement, si tous les résidus relatifs à G sont nuls, l'intégrale (i) présente, en un point arbitraire de G, le caractère d'une intégrale de seconde espèce.
La démonstration de ces deux propositions va se faire à la fois. Nous ne diminuons pas la généralité en supposant que la courbe G est une section plane ou une portion d'une section plaae de la surface. Nous avons alors, en supposant que le plan de la section soit ^ = o, l'intégrale double
la fraction rationnelle S ne devenant pas identiquement infinie pour ^ = o. En employant les réductions dont nous avons fait si souvent usage dans ce Ghapitre, on peut supposer que a = i, et l'on a alors l'intégrale
Soit G la courbe (ou une des courbes) suivant laquelle le plan X ^==^ o coupe la surface. Les résidus relatifs à la courbe G seront tous nuls, si toutes les périodes de l'intégrale abélienne
/s(o,7, t)dy,
relatives à la courbe G sont nulles, 'C étant la fonction de y correspondant à la courbe G. Mais on a alors pour Fintégrale précédente une fraction rationnelle
et, par suite, en retranchant de (2) l'intégrale
la différence des intégrales (2) et (3) reste finie en un point arbitraire de la courbe G, et^ en tout point de la courbe G, elle reste finie sur cette courbe dans le voisinage de ce point (le point pouvant être exclu).
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SUR LES INTÉGRALES DOURLES DE SECONDE ESPECE. 20 j
Réciprocjuement, si l'intégrale est une intégrale de seconde espèce, on pourra retrancher de (2) une intégrale de. la forme
da; cIy
oy X
telle que la différence reste finie dans le voisinage de C; on a donc
pour la courbe G^ et tous les résidas relatifs à G sont nuls.
De là nous concluons C[ue, si pour tontes les courbes G et pour la courbe à l'infini de la surface, tous les résidus sont nuls, l'intégrale est telle que, dans le voisinage de tout point d'une de ces lignes, on peut retrancher une intégrale de la forme voulue, de telle sorte que la différence des deux intégrales reste finie sur la ligne dans le voisinage du point. D'après les résultats de la Section Vil, cela suffît à établir que l'intégrale est de seconde espèce. La réciprocjue est d'ailleurs évidente d'après ce cjue nous avons vu plus haut.
Ainsi donc nous sommes conduit à une seconde définition des intégrales de seconde espèce par la considération des résidus de V intégrale double.
31. Terminons ce Chapitre par une application des considérations qui précèdent aux intégrales de fonctions rationnelles, en recherchant à quelles conditions l'intégrale
JJ 0^{x,y) •^'
où P et Q sont des polynômes (dont le second est supposé irréductible), est une intégrale de seconde espèce. D'après ce qui précède, il est nécessaire cjue l'intégrale abélienne
^^) Ik
relative à la courbe Q(^, jk) == o, se réduise à une fraction rationnelle de X Ql y ] c'est la condition pour que les résidus correspondant à la courbe Q = o soient tous nuls. La condition est suffi-
santé; on va voir, en effet, que^ si elle est remplie, on peut retrancher de (4) tme intégrale convenable, et la différence mettra en évidence la nature de l'intégrale.
D'après l'hypothèse faite, on peut mettre l'intégrale abélienne (5) sous la forme
%a,-n) '-■ R(|) jM(^, Ti) et R(i) étant des polynômes. Formons l'intégrale
^^ J J (ày d^l(Ko,,y)K{x)j dx dy l(^{x, y)K{x) ]\ *^ '
elle est, comme nous savons, de la forme
(^^^^yj^'jda;dy.
Un calcul facile montre que la différence des intégrales (4) et (6)
est de la forme
'Six, y)
fp
S et V étant des polynômes : l'intégrale (4) est donc bien de seconde espèce, puisqu'il en est ainsi de l'intégrale que nous venons de trouver en dernier lieu.
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I. — Quelques remarques complémentaires sur la réduction des intégrales doubles de seconde espèce.
1. Prenant toujours, comme au Chapitre précédent, une surface
à singularités ordinaires, nous avons vu que, par des soustractions du type voulu, on pouvait ramener toute intégrale double de seconde espèce à la forme
P(cc, y^z)dx dy
où Vi^x^y^z) est un poljnome.
Il a été démontré ensuite (p. 182 et suiv.) que, par la soustraction d'une intégrale de la forme
siiujymv'^''
où U et V sont des polynômes en x^ y et s, on pouvait ramener l'intégrale (i) à l'intégrale
r rÇl{x^ r, z) dx dy
