JJ ^T

OÙ le degré du polynôme Q est limité.

La réduction précédente ne suppose en rien que le polynôme P s'annule sur la courbe double de la surface, quoique ce soit à ce

P. ET S., II. l4

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cas que l'on puisse toujours se trouver ramené. Mais si P s'annule sur la courbe double, il n'en est pas nécessairement de même pour Q, du moins si l'on fait la réduction telle que nous Pavons présentée. Il est cependant exact que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent au type (2), où Q s'annule sur la courbe double et où son degré est limité (quoique cette limite puisse être plus élevée qu'avec la réduction primitive). On pourrait le démontrer directement en modifiant un peu l'analyse des n°^ 18 et 19 du Chapitre précédent : on assujettirait les polynômes U et V qui y figurent à s'annuler sur la courbe double, ce qui n'entraîne pas de modifications importantes dans les raisonnements; la limite, je le répète, pour le degré du polynôme Q, pourra être plus élevée que dans le premier cas.

2. On peut arriver au même résultat par une voie indirecte. Effectuons sur la surface/ une transformation birationnelle telle que la courbe double de / devienne sur la surface transformée F une ligne simple L, nécessairement composée d^une ou de deux courbes irréductibles; la transformation birationnelle peut d'ailleurs être prise de telle sorte que F n'ait que des singularités ordinaires. L'intégrale transformée ne devient plus alors infinie sur la ligne double; on peut donc faire les réductions habituelles, et, en revenant à la surface/, on a une intégrale double qui ne devient plus infinie sur la ligne double : par suite, toute intégrale double de / se ramène à la forme (2), où le degré du polynôme Q est limité et où ce polynôme s'annule sur la courbe double.

Nous venons de dire que la ligne L de F correspondant à la ligne double de /se composait d'^^^e ou de deux courbes irréductibles. Si l'on considère en effet la ligne double G de / les deux plans tangents en un point arbitraire de G dépendent rationnellement de

^, y: ^ et v/(/zy)^-/^./;-..

Il arrivera en général que le radical précédent ne sera pas une fonction rationnelle de (x^y^z) quand ce point est sur G, mais il pourra en être ainsi dans certains cas particuliers, et ces deux circonstances correspondent aux deux cas visés. Quand on se trouve dans le premier cas, que l'on peut regarder comme le cas

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général, on ramènera une intégrale de seconde espèce de la forme (i), où P ne s'annule pas sur la courbe double, à une intégrale de même forme, mais ou P s'annule sur cette courbe par la soustraction d'une intégrale de la forme

h -r- dx dy (A et B rationnels en x, y et z).

dx dy -^ ^ ^ ^ /

La raison en est qu'en faisant disparaître dans (i) autour d'un point de la courbe double la ligne d'infini envisagée comme appartenant à une des nappes, on fait disparaître en même temps cette ligne regardée comme appartenant à l'autre nappe; car, avec l'hjpotbèse faite, une fonction rationnelle de x^ y qI z restant finie sur l'une des nappes de la surface, dans le voisinage d'un point pris arbitrairement sur la courbe double, reste encore finie sur l'autre nappe de la surface.

3. Les considérations suivantes se rattachent au même ordre d'idées. Supposons que P(^, jk? ^) étant un polynôme s'annulant sur la courbe double, on ait une identité de la forme

U et V étant des polynômes en x^ y et z. Je dis que U et V s'annuleront nécessairement sur la courbe double, si nous sommes dans ce que j'ai appelé plus haut le cas général.

Prenons sur la courbe double un point arbitraire A; dans le voisinage de ce point, sur une nappe déterminée de la surface,

l'expression

est une fonction holomorphe de x et y. On peut donc écrire sur la nappe considérée et dans le voisinage de A

\ étant holomorphe en x et y autour de A. Par suite, d'après (3),

^-VTlJ'-^lTy-^^^"

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210 CHAPITRE VHI.

Donc l'inlégrale

\} dy—{y -\fi)dx

est une intégrale de différentielle totale, parfaitement définie autour de A sur la nappe considérée de la surface. La courbe double peut être une courbe logarithmique de cette intégrale, et la période logarithmique correspondante est la période logarithmique de l'intégrale abélienne

'\}{x,y,z)dy

relatiA'e à la courbe entre y et 5, fyx^y, z) = o. Elle est, par suite, égale à la ^'aleur de

2 7rz:U(.'3?, y, z)

pour les points doubles de la courbe /(.î;, y^ z) =:z o. On en conclut de suite que l'expression

^{fLyY-fUf;^

a une valeur constante sur la courbe double de la surface. Si nous sommes dans le cas général (voir numéro précédent), le radical sera susceptible d'avoir changé de signe, quand (^,y, ^) partant d'un point de la courbe double y reviendra après avoir décrit un chemin convenable. La valeur constante de l'expression précédente sera donc alors nécessairement nulle, et par suite U s'annulera sur la courbe double, comme nous voulions l'établir; il en sera nécessairement de même de V.

II. — Sur le nombre des conditions exprimant que certaines intégrales doubles sont de seconde espèce.

4. Toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à

une surface de degré m

se ramenant, comme on l'a vu (p. i88 et suiv.), par une soustrac-

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tion convenable, à une intégrale de la forme

P(a7, y, z) dx dy

P étant un polynôme de degré limité s'annulant sur la courbe double, il restait alors à exprimer que l'intégrale précédente est de seconde espèce; c'est ce cjue nous avons fait, et nous avons montré que le nombre de ces conditions est, en général,

2TC -f- /n — 1,

71 désignant le genre d'une section plane quelconque de la surface. Eq fait, m — 1 de ces conditions sont remplies d'elles-mêmes, de sorte qu'il reste iiz conditions; c'est ce que nous allons montrer maintenant en même temps que nous présenterons sur ces conditions diverses remarques (^).

o. Ces conditions sont relatives aux points à l'infini de la surface. Posons

et soit alors F(X, Y, Z) = o l'équation de la surface transformée. L'intégrale devient

(^^) jj xF^Û^ — Fl ^^^^'

H(X, Y, Z) étant un polynôme de degré/? s'annulant sur la courbe

double. Si/? est au plus égal à /tz — 4 l'intégrale est de première

espèce. Soit donc

par la soustraction d'une intégrale convenable de la forme

rr^ à rA(X,Y,Z)-i d rB(X,Y,Z)ij où A et B sont des polynômes, on obtient une intégrale

, K(XiZ)^x^

(^) E. Picard, Sur le nombre des conditions exprimant qu'une intëgixtle double est de seconde espèce {Annales de l'École normale, 1902).

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K(X, Y, Z) étant un polynôme s'anniilant sur la courbe double. Pour que cette intégrale soit de seconde espèce, nous avons montré {loc. cit.) c[u'il faut et il suffit que la fonction algébrique de Y,

K(o,Y,Z) F7Xo,Y,Z)

soit la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. Si le polynôme K n'était pas soumis à certaines conditions, par suite de la manière même dont il a été obtenu, il y aurait manifestement

iiz -^ m ■ — I

conditions exprimant que l'expression (3) est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. Mais le polynôme K(X, Y, Z) se trouve soumis à certaines conditions. Pour approfondir davantage la question, remarquons que, l'intégrale double (2) étant de seconde espèce, tout résidu relatif à la courbe X == o doit être nul. Parmi ces résidus se trouvent les m résidus correspondant à un petit cercle autour de X = o et à un très grand cercle dans le plan de la variable Y, ou plus exactement dans un feuillet de la surface de Riemann F(X, Y, Z) = o. Nous allons montrer que ces résidus sont nuls.