Cherchons à cet effet le développement de

H(X,Y, Z) Fi

pour Y très grand. L'équation F = o peut s'écrire

cp(Y, Z)-+-Xcpi(Y, Z)-}-... = o,

cp, cp,, . . . étant des polynômes en Y et Z de degrés m, /?z — i, .... Si l'on pose

on aura

Les m racines S^^, ^2, • • -^ Cm de l'équation

Hosted by

SUITE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 2l3

sont distinctes, les axes ajant été choisis arbitrairement. La racine 'Ç devenant égale à Ç^- pour tj z= o se développe de la manière suivante :

et Fon reconnaît facilement que les a sont des polynômes en X de degrés marqués par les indices, de sorte que a^ est un polynôme de degré h en X. Nous avons donc pour la branche considérée

et, par suite,

Z = — -F ai -f- a2 '0 -f- . . .

Z^^,Y + ai+-|-+...-.^

Soit maintenant

H(X, Y, Z) = H;.(Y, Z) + XUp-iiY, Z) +. . . :

son développement suivant les puissances de Y sera de la forme

les p étant des polynômes en X de degrés marqués par les indices. De même, le développement de F^ sera de la forme

TO Y^«-l + Yi Y^n-2 ^ . . . -^ y„^, i :^ + . . . ,

les Y étant encore des polynômes en X de degrés marqués par les indices. On voit alors que, si l'on développe

suivant les puissances de Y^ on a

S%p = Y.-..-..(oo^|-.||....).

les S étant des polynômes en X de degrés marqués par les indices.

Le coefficient de

dans ce développement est o^.^+o-

Hosted by

2l4 CHAPITRE VIII.

En revenant à l'intégrale double

■ ""yiiiAv ^..

une première intégration autour d'un très grand cercle dans le plan de la variable Y nous donne

et, en intégrant cette expression autour de X = o, on obtient zéro .