Si nous nous rappelons maintenant l'identité I H(X, Y, Z

- A rA(X, Y, Z)] ^ rB(X, Y, Z)] ^ K(X, Y,Z)

et si nous faisons dans les deux membres l'intégration double précédemment indiquée, les deux premiers termes du second membre donneront zéj^o^ et par suite l'intégrale double

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sera nulle pour le continuum indiqué. Or sa valeur est précisément

cette intégrale simple étant prise sur un très grand cercle F dans un feuillet de la surface de Riemann F(o, Y, Z) = o. Donc l'expression

K(o, Y, Z) Fi(o,Y, Z)

a tous ses résidus nuls pour Y ^ co. Par suite, quand on écrira que cette expression est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z, ou, ce qui revient au même, quand on écrira que l'intégrale abélienne

Fi(o,Y, Z)

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SUITE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 2l5

est une fonction rationnelle de Y et Z, on n'aura pas besoin d'écrire que les périodes polaires correspondant aux points à l'infini sont nulles. Il suffira d'écrire que les 27r périodes cycliques sont nulles, ce qui d'ailleurs n'exigera, comme il est bien connu, que des opérations algébricjues.

8. Le résultat que nous venons d'obtenir aurait pu être démontré encore plus simplement, ou du moins on aurait pu y arriver, en restant dans le même ordre d'idées, sans passer par les développements en séries dont nous avons fait usage. Reprenons l'intégrale primitive