JJ 7L

et posons

Aux valeurs X=o, Y =: oo considérées tout à l'heure corres-

pondent (puisque X^= tf' Y' =

L'intégrale primitive se transforme en

en désignant par F(X^, Y^, 7J) z=z o la nouvelle équation de la surface.

Cette seconde intégrale, prise le long de deux petites circonférences autour de X^=: o, Y^= o, est nulle, puisque l'intégrale

(Y' étant constant et très petit), prise le long d'une petite circonférence autour de X^== o, est manifestement nulle. Or, puisque

aux deux cercles très petits C^ et C'^ autour de X'= o, Y^=: o correspondent dans le plan Y un cercle très grand, et dans le

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plan X un cercle très petit si les rayons de C^ et G sont eux-mêmes dans un rapport très petit; nous retrouvons donc le résultat obtenu dans un des paragraphes précédents.

9. On peut encore retrouver à un autre point de vue les 2tt conditions exprimant que l'intégrale double (i) est de seconde espèce. Si nous envisageons la courbe entre œ et z

les périodes de l'intégrale abélienne

F{x,y, z) dx

seront nécessairement des fonctions dey.

Parmi ces périodes se trouvent les périodes logarithmiques correspondant aux divers points à l'infini de la courbe précédente. Examinons d'abord la nature de ces périodes logarithmiques. Soit prise l'équation de la courbe sous la forme

les /étant des polynômes en x et s de degrés marqués par l'indice.

Si nous posons

l'équation deviendra

(7) F,,(X, Z)-i-7XF,,i(X,Z)+..,-^7-X-Fo-o.

D'après nos hypothèses sur la disposition arbitraire de la surface par rapport aux axes, l'équation

aura ses jn racines distinctes que j'appellerai Zj , Z2, ..., T^m- La courbe (7) passe, quel que soit y, par m points fixes

(O; Zl), (O, Z2), ..., (O, Z,;0.

Dans le voisinage du point (o, Z^), le développement de Z suivant les puissances de X sera de la forme

Z,-4-aiX-^...4-a,^X'«-}-...,

les a étant des polynômes par rapport à y^ comme le montre

immédiatement le calcul des dérivées successives de Z pour X = o. Si l'on cherche alors le résidu de l'intégrale (6) pour le point (o, Z^), on trouve immédiatement que ce résidu est un polynôme en y. Il en résulte que les périodes lo garithmiques correspondant aux points à r infini sont ^ pour V intégrale (6), des polynômes en y.

10. Outre ces m résidus (se réduisant évidemment km — i), l'intégrale (6) a en général iiz périodes cycliques qui sont des fonctions de jk, et l'ensemble de ces périodes satisfait à une équation différentielle linéaire E^ d'ordre

2 TU -h m — I ,

dont les coefficients sont rationnels en y. En raisonnant comme à la page 97 du Tome I, on voit de suite que le point y = 00 n'est pas un point critique de l'équation E^; toutes les intégrales de cette équation ont ce point comme pôle ou comme point ordinaire. Soit

un système de périodes cycliques. Toutes ces fonctions (s> àe y doivent avoir leur résidu nul à l'infini, si l'intégrale (i) est de seconde espèce; dans le cas contraire, en effet, en prenant l'intégrale

)dy

autour du point jk ^ co, on aurait un résidu de l'intégrale double, qui par suite ne serait pas de seconde espèce.

En écrivant donc que les 2tc périodes (o ont un résidu nul à l'infini, on doit nécessairement retrouver les 271 conditions dont il a été parlé plus haut. On peut d'ailleurs vérifier directement qu'il en est bien ainsi. Si l'on part en effet de la surface

et qu'on fasse

l'intégrale

se transforme en

V{x,y,z)dxdy