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2j8 chapitre VIII.

D'après ce que nous avons dit plus haut (il y a seulement permutation de X et Y), l'intégrale double est de seconde espèce si toute période de L'intégrale abélienne

relative à la courbe entre X et Z

a son résidu nul pour Y = o. Mais ceci revient à dire cjue toute période de l'intégrale abélienne

P{x-, y, z) dx

relative à la courbe entre ^ et ^

a son résidu nul pourj>^ = oo, car les deux courbes (8) et (lo) se correspondent point par point. Nous retrouvons donc bien les conditions déjà trouvées.

Si l'intégrale double

r V {œ^ y^ z) dx dy

était dç preinière espèce, l'intégrale (g) serait une intégrale de première espèce pour la courbe (lo) et les /n — i périodes polaires seraient nulles.

III. — Des intégrales doubles de fonctions rationnelles de seconde espèce.

H. A la fm du Chapitre VII (n° 25) nous avons dit un mot du cas où l'on considère seulement des intégrales doubles de fractions rationnelles de x et y. D'après la théorie générale, si

(i) JJ^{-^,y)dxdy,

F étant une fonction rationnelle de ce et y, est une intégrale double

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de seconde espèce, on aura nécessairement

^ ■ ^ ^ dx dy

Pet Q étant des fonctions rationnelles de x et jk- On peut en effet considérer que cette intégrale double est relative à la surface

z = ax -^ hy ~\- c^

et, par suite, si elle est de seconde espèce, elle peut se ramener par la soustraction habituelle à

p{x,y)dxcly,

p étant un poljnome en x et y^ et l'on a bien par suite pour F la forme indiquée.

Il est intéressant cependant de traiter la question à un autre point de vue sans se reporter à aucun théorème général sur les surfaces algébriques, et nous allons nous poser la question suivante (^) :

Quels sont les caractères d^ une intégrale double de fonction rationnelle dont tous les résidus sont nuls ?

Une question analogue se pose dans les éléments quand, étant considérée une fonction rationnelle d'une variable F(x), on demande à quelles conditions les résidus de Fintégrale simple

¥ {x) dx sont nuls. La réponse est alors que

U étant une fonction rationnelle de x.

Nous allons avoir, pour notre problème, une réponse présentant une analogie intéressante avec la question élémentaire que je viens de rappeler.

(^) E. Picard, Sur les intégrales doubles de fonctions rationnelles dont tous les résidus sont nuls {Bulletin des Sciences mathématiques, 1902).

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La condition nécessaire et suffisante pour que tous les résidus de V intégrale double (i) soient nuls est que l^on ait

P ^^ Q étant des fonctions rationnelles de x et y.

On aura ainsi en même temps une manière élégante d'exprimer les conditions pour qu'une fonction rationnelle de ^ et jk puisse se mettre sous la forme (2).

12. Il est d'abord très aisé de montrer que la condition est suffisante. On va voir en effet que les résidus de

, dx dy

ax dy J

sont nuls, P et Q représentant des fonctions rationnelles de x etjK- La chose est immédiate pour

^^dœdy,

puisqu'on doit prendre d'abord, pour une valeur constante donnée à y^ l'intégrale

-7— dx

le long d'un contour fermé, ce qui donne zéro. En ce qui concerne la seconde intégrale, soit

AaBP...U

A, B, , . ., L étant des polynômes irréductibles en x et j^, contenant la lettre ^; a, .. ., )\ sont des entiers positifs; et désignons par Xx la fonction algébrique de y correspondant à A(^j , jk) = o. Le résidu de la fonction Q de x, pour x^=x^^ sera visiblement une fonction rationnelle

de x^ et y, et le résidu de j^, pour ^ =: ^^ , sera

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Un résida de l'intégrale double

, dx dy

par rapport au continuum A(^^,j/) = c> sera donc une période de l'intégrale abélienne

c'est-à-dire zéro.

13. Passons à la réciproque. Il s'agit de démontrer que : Si tous les résidus de U intégrale double

/ j ¥{x,y)dxdy

sont nuls, on aura

, àY dW

V et W étant rationnelles en x et y.

En posant comme plus haut

Ac^BP...L>^

on peut tout d'abord, d'après les éléments de la théorie des fractions rationnelles d'une variable, mettre F sous la forme

A B L dx'

les Tz étant des polynômes en ^ à coefficients rationnels en y et '^ une fonction rationnelle de x et y. Les résidus de F relatifs au continuum A(^, y) ^ o sont les périodes de l'intégrale abélienne

relative à la courbe algébrique A.[x,y) = o. D'après les hypothèses faites, l'intégrale précédente est une fonction rationnelle de X et jK, et l'on peut par suite écrire

rT.i{x. y) dy ^,, .

H étant un polynôme en x^ à coefficients rationnels enjK-

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De là résulte que l'on a

Tii(a;,y) dH dx àYi ày àx àx dy A^ dx dy dy dh.

Cette identité a d'alllears lieu en vertu de la relatiou A(x, jk) ^^^ o. On peut dire par conséquent que le poljnome en x

, fdll à A on dA

est divisible, quel que soit/, par A{x,y), et nous pouvons écrire l'identité en œ et y

G étant un polynôme en x, à coefficients rationnels en y. Ceci posé, envisageons l'expression

\] ~^ —(-\ ^ — ^(-\ ~ dx dy\kj dy dx\A/'

1 1 r dF dO 1 , . c

QUI est de la lorme -r r -v^y comme tout déterminant lonc-

^ dx dy

tionnel. D'ailleurs

dx dy dy dx

Si donc nous retranchons U de F, le terme ^ se trouvera

remplacé par

OLi G est un polynôme en ^, qui est par suite de la forme ,- \ — p-

Nous avons donc ainsi fait disparaître, par une soustraction d'un terme de la forme voulue, l'expression -—- On fera le même calcul

pour ~) • • -j Y et finalement nous tj'oiwons bien

, dV dW

^ ' -^ ^ dx dy

V et W étant rationnelles en x et y, comme nous voulions l'établir.

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14. La recherche des conditions, pour qu'une fonction rationnelle F(x^y) soit de la forme précédente, se trouve donc ramenée à la recherche des conditions pour qu'une intégrale abélienne soit algébrique; c'est un problème classique, sur lequel nous n'avons pas à insister. Le problème proposé se trouve alors très élégamment résolu.

On pourrait traiter la question relative à la fonction F, sans se reporter à la théorie des résidus des intégrales doubles. Le problème paraît en efiPet tout élémentaire; sa solution directe est cependant moins immédiate, qu'on pourrait d'abord le penser. C'est cette solution directe que nous allons maintenant exposer.

Tout d'abord, comme nous l'avons dit plus haut, F peut être supposé de la forme

XB . . . L '

M étant un polynôme en ^, rationnel en y^ et A, B, . , ., L des polynômes en x et j/, irréductibles et renfermant x. Soit donc

P et Q doivent devenir infinies pour A = o, pour B = o, ..., L = o et peuvent aussi devenir infinies pour d'autres courbes A| ^== o, B, = o, . . ., N, = o.

Je dis d'abord qu'on peut supposer que P et Q renferment seulement à la première puissance A, B, . . . , L et, s'ils existent, A,,B,, ..-,N,.

Supposons en effet que Q renferme A^ (a>>i) au dénominateur; on peut, d'après les éléments, trouver une fraction rationnelle

y étant un polynôme en x^ rationnel en y, de telle sorte que

contienne seulement dans son dénominateur A à la première puissance. Or on peut écrire le second membre de (3) sous la

P. ET S., IL i5

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224 CHAPITRE YlII.

forme

On a alors une expression de la forme

èx dy

où Qj et par suite P^ deviennent seulement infinies comme —• Le même raisonnement s'applique à tous les autres dénominateurs. Nous pouvons donc supposer que notre identité a Ja forme

U{x,y) ^^^ ABTTTL

5S LAB...LAiEj...^J J ' 'dy [âbT7,LAijBi...NiJ'

H et K sont des poljnomes en x, rationnels en y. Les polynômes au dénominateur sont irréductibles, distincts et renferment x. Nous ne savons rien des polynômes Ai, B^, . . . , Ni , mais on peut heureusement, comme nous l'allons voir, les faire disparaître, et c'est là le point essentiel dans la recherche cjiie nous effectuons.

Soit (a:o, JKo) ^^^ point arbitraire de la courbe

Le premier membre de (4) est une fonction holomorphe des deux variables indépendantes ^ et y dans le voisinage àe [xq^ y^)] nous pouvons, dans le voisinage de cette valeur, l'écrire sous la

forme ~y en désignant par cp une fonction holomorphe autour

de (.ro,yo)- Nous aurons donc

dx VAB...LA1...N1 V ày VAB...LAi...N.iy Envisageons alors l'intégrale de différentielle totale K . / H

AB...LAi...^i^^'^ VAB...LA1...N1

c'est une intégrale de différentielle totale possédant, dans le voisinage de (^07 JKo)? toutes les propriétés d'une intégrale de différentielle totale de fonctions rationnelles. En particulier, les périodes

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de V intégrale de fonction rationnelle de x