AB...LA1...N
dx
ne dépendent pas du paramètre y . C'est là pour nous un point capital; nous en concluons que l'expression
AB...Ll-^Bi...Ni
dx
qui, pour x racine de l'équation Ai (ij;, y) ::= o, représente une période de l'intégrale (5), ne dépend pas dey. On a donc
AB...L^Bi...Ni
dx
y étant une constante convenable, et x et y étant liées par la relation Al (x, y) =^ o; on peut encore dire que le poljnome en x
K-Y.AB...L^Bi...Ni
' ox
est divisible par A,(^, y). Envisageons alors le second membre de (4) mis sous la forme
AB...LAi...Ni
à log-Ai
àf J ' t^jL"^'^---^-^!---^^!
âx
on voit de suite, d'après ce qui précède, que la fraction rationnelle sous le signe j- ne renferme plus Aj au dénominateur, et il
en est par suite de même de la fraction rationnelle sous le signe y- • On peut ainsi faire disparaître tous les dénominateurs A^, B^, ..., N^ et, par suite, nous pouvons admettre que, dans le second membre de (4), les polynômes connus A, B, ..., L figurent seuls au dénominateur ,
15. La question proposée se résoudra maintenant aisément. Désignons par P le produit AB. . .L; nous avons l'identité
dx
\l{x,yy
P \^ àyY P J
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220 CHAPITRE YIII.
où M, H et K sont des polynômes en x. Soit v le degré de P en ^ ; on sait que, d'une fraction rationnelle en x
on peut retrancher une expression — (V étant un polynôme en x^ ici rationnel enj), de telle sorte que, en posant
V dx P '
le degré de Ki en x soit au plus v — i. D'ailleurs, par une soustraction analogue, nous pouvons supposer que M est en x de degré v — i au plus. Par suite, dans l'identité (6), nous pouvons supposer que la fonction donnée M, polynôme en x et rationnelle en. y, est de degré v — i en x, et qu'il en est de même pour les deux fonctions inconnues H et K.
Les inconnues dans l'identité (6) sont alors les coefficients des diverses puissances de x dans H et K. Si le problème est possible, on devra pouvoir choisir pour ces coefficients des fonctions rationnelles dej>^.
Or comptons le iiombre des inconnues et le nombre des conditions. Nous avons dans H et K un nombre de coefficients égal à 2v. On doit égaler le second membre de (6) à
