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Les numérateurs sont de part et d'autre des polynômes de degré av- — i; on a donc à identifier deux polynômes de degré 2V — I, ce qui donne av relations entre les 2v fonctions rationnelles inconnues de y. Ces relations constituent un système d'équations différentielles linéaires, car les dérivées premières des V fonctions de y se trouvant dans K figurent dans ces relations. On est donc ramené^ en dernière analyse, à reconnaître si une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels en y admet comme solution une fonction rationnelle de y. C'est là un problème que l'on sait résoudre.

On voit que la solution de la question proposée prend une tout autre forme, en suivant cette voie directe, qu'avec la méthode

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d'abord indiquée où l'on envisageait les résidus d'une intégrale double; l'énoncé des conditions se présente sous une forme beaucoup moins élégante.

16. Il est intéressant de se rendre compte du degré d'indétermination de la solution (H, K) de l'identité (6), quand elle est susceptible de solution, en supposant toujours, comme ci-dessus, que H et K sont de degré v — i en a;. Avec deux solutions différentes, on peut former une solution, non identiquement nulle, de

l'identité

d /H\ , ±/^^\ d:r\F J '^ ày\P J " ^'

Alors l'intégrale (7) I Y>^^^~"v^^

est une intégrale de différentielle totale. En posant, comme plus

haut,