P== AB...L

elle est nécessairement de la forme

alogA H- p logB 4-. . .-H X logL,

a, p, . . . , \ étant des constantes. Inversement, en mettant l'expression précédente sous forme d'intégrale (7), on aura des valeurs admissibles de H et K.

Il résulte de là que, si l'identité (6) a une solution, cette solution renferme les constantes arbitraires a, p, . . ., X en nombre égal à celui des facteurs irréductibles de P.

IV. — D'une difficulté qui se présente quand on veut exprimer que des intégrales doubles de seconde espèce sont distinctes.

17. Nous avons dit que des intégrales doubles de seconde espèce relatives à une surface algébrique sont distinctes, quand il n'existe pas de combinaison linéaire à coefficients constants de ces intégrales qui soit de la forme

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228 CHAPITRE YIIT.

U et V étant rationnelles en x^y et z. Il serait donc facile de reconnaître si des intégrales doubles de seconde espèce sont distinctes, si l'on savait résoudre le problème suivant :

Reconnaître si une intégrale double

{1) J J R{x,y,z)dxdy

est de la forme (i), ce qui revient à reconnaître si Von a

R étant une fonction rationnelle donnée dex^ y et z\ les deux fonctions U et V doivent être^ rationnelles en x^ y et z,

18. Nous avons vu que le problème précédent pouvait être facilement résolu, si V on e^l dans le champ rationnel, c'est-à-dire si R est simplement fonction rationnelle de x ety, les fonctions U et V étant aussi des fonctions rationnelles de x et y, G^est le problème traité dans la section précédente; ce qui nous a permis de résoudre assez facilement ce problème, c'est que, dans l'identité

^ ' -^ • dx ày

on a le droit, comme nous l'avons montré, de supposer que U et V n'ont d'autres lignes d'infini que celles de R, à l'exception toutefois de lignes correspondant à y =:: const. Nous avons pu alors limiter la manière dont x figure dans U et V, et des opérations en nombre fini nous ont montré si le problème était ou non possible.

Les circonstances sont tout autres dans le cas d'une surface algébrique. Il peut n'être pas permis de supposer que, dans l'identité (3), U et V n'ont d'autres lignes d'infini que celles de R, en dehors de lignes correspondant à jk = const. C'est ce que nous allons montrer sur un exemple (^).

Nous avons d'ailleurs déjà, dans un autre but, parlé de cet

(^) E. PrcARD, Comptes reîidus, octobre 1899.

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exemple (page 198 de ce volume). Reportons-nons à l'identité de la page 199

où U(^, y) est un polynôme en ce et y, et où

P(^) désignant un polynôme arbitraire ayant des racines distiuctes a\, a^^ . . ., aa- Nous allons montrer qu'on ne peut avoir une identité de la forme

dx

ôy

en représentant par tû et 7^:^ des polynômes entiers en ^, à coefficients rationnels en y. Considérons en effet, comme nous l'avons fait pages 199 et 200, l'intégrale double

prise le long d'un cycle à deux dimensions formé par une courbe fermée G du plan de la variable x qui comprenne à son intérieur deux des points a, et par une courbe fermée C^ analogue dans le plan de la variable y, et supposons que nous soyons dans le cas de la figure de la page 200; dans ce cas l'intégrale double a une valeur différente de zéro. Or si nous avions l'identité (5), l'intégrale serait nécessairement nulle (en évitant toutefois de faire passer le contour G^ par une valeur dey rendant infini tx ou tu,).

En effet, chacune des intégrales

dx

"- Hh^

dx dy

se calcule immédiatement; car, tous les éléments restant finis dans les deux intégrales sur le domaine d'intégration, on n'a qu'à faire une première intégration, par rapport à x pour l'une et par rapport à y pour l'autre, et l'on obtient ainsi zéro. Il est clair que nous ne pourrions pas raisonner de la même manière en nous reportant à l'identité (4)^ c'est, au surplus, ce qui est exposé avec détails pages 199 et suivantes.

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Dans l'Identitë (5) nous avons supposé que les fonctions sous les signes -^ et -r- étaient de la forme

dx dy

izi x^ y)

On aurait dû, d'une manière plus générale, les supposer de la

forme

'^(oo. y) ,, , 7T, {x, y) , , ...

--^^^^'{x,y) et -ii-i^ -4-^;(^, j),

Tz' et t:\ étant des poljnomes en x, à coefficients rationnels en jk, mais il est maaifeste que l'identité

TJ(^;, r)

dx

■Tz'ix, y)

entraîne nécessairement

dx

Ty

On voit, par ce qui précède, la difficulté qui va se présenter, quand il s'agira d'évaluer exactement le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce. Nous verrons bientôt comment cette difficulté se rattache à une question très importante concernant les intégrales de diff'érentielles totales de troisième espèce; c'est de l'étude de ces dernières intégrales que nous allons maintenant nous occuper.

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I. — Théorème fondamental sur les intégrales de différentielles totales de troisième espèce (^).