Considérons une surface algébrique

n'ayant que des singularités ordinaires et n'occupant pas de position spéciale par rapport aux axes de coordonnées. Nous allons étudier les intégrales de difFérentielles totales de troisième espèce relatives à cette surface.

Si l'on envisage un certain nombre \x de courbes algébriques irréductibles sur la surface, il est possible qu'il n'existe pas d'intégrale de troisième espèce ayant seulement comme courbes logarithmiques ces a lignes ou quelques-unes d'entre elles, mais nous allons montrer que cette circonstance ne se présentera pas si a dépasse une certaine limite dépendant uniquement de la surface.

Une courbe G de la surface peut en général être définie par les deux équations

A désignant un polynôme irréductible, et R une fraction rationnelle de X et y; le cylindre

( ' ) E. Picard, Sur les intégrales de différentielles totales de troisième espèce dans la théorie des surfaces algébriques {Annales de l'École Normale,

Hosted by

coupe la surface y suivant la courbe C et une ou plusieurs autres courbes. Celles-ci ne doivent pas être des courbes logarithmiques.

2. Considérons sur la surface /de degré m une courbe C de degré <i déiinie par les deux équations précédentes. Envisageons la famille de courbes définie par la relation entre x et s

où JK représente un paramètre arbitraire; on peut former une intégrale abélienne relative à cette courbe jouissant des propriétés suivantes : Elle n'a d^autre points singuliers à distance finie que les points (ô, cT) de la courbe correspondant aux équations

et la période polaire correspondant à chacun de ces points singuliers logarithmiques est égale à + i. De plus, relativement aux m points de la courbe à l'infini (pour lesquels les m développements sont distincts (^^), l'intégrale a seulement comme point singulier logarithmique l'un d'entre eux, et la période correspondante est égale à — d\ enfin, elle est de la forme

dx.

S étant une fonction rationnelle de x^ y et z.

On se rend compte aisément qu'il est possible de satisfaire aux diverses conditions qui précèdent. On peut, par exemple, procéder de la manière suivante. Soient

Ml, M2, ..., lAd

les (appoints de la courbe C pour une valeur donnée dej^^, et désignons par M le point à l'infini de la courbe (i) qui doit être pour l'intégrale un point logarithmique.

Formons une intégrale de troisième espèce de la courbe

f{oc,y, z) = o,

(•) On se reportera au Chapitre précédent (n° 9); les m développements de -s suivant les puissances de x ont pour coefficients des polynômes en y.

Hosted by

ayant les points logarithmiques

Ml et M

avec les périodes polaires respectives

-f- I et — [ ;

on peut s'arranger de manière que les coefficients de cette intégrale soient fonctions rationnelles de y et de (s/^ xi). En faisant la somme de ces intégrales pour

on obtiendra une intégrale du type cherché T.

Ceci posé, si la courbe (i), entremet iî (pour y arbitraire), est de genre/?, l'intégrale I a, outre les périodes polaires provenant des singularités logarithmiques, 2p périodes cycliques que nous désignerons par

de telle sorte que Tensemble des périodes de I est

(2) Wi, Cl)2, . . . , CO2;;, I.

Elles sont, sauf la dernière, des fonctions de y. Nous avons supposé que y avait une valeur fixe, d'ailleurs arbitraire. Si Ton fait varier y et qu'on revienne au point de départ, l'ensemble des périodes (2), pour un contour déterminé, se transformera en

et l'on aura la substitution S

iû'^f

tjj = /7l\ (x)j -h /?l| CO2-4-.

. . + 77llp(ii2p-^ [-^S

(1)2 ^= m\ cl)i -f- /?i| 0)2 + ..

.-f- mlj,u)2p -+- ;j.2,

iù'j,^y=z m]^Mi 4- my^uù^-^ '