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les 171 et les [Jv étant des entiers. Les m des 2/? premières colonnes ne dépendent nullement de la courbe G, c'est-à-dire du polynôme A et de la fraction rationnelle R. Ils sont les mêmes que ceux que nous aurions obtenus si, au lieu de considérer l'inté-
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234 CHAPITUE IX.
grale I, nous avions pris l'intégrale de seconde espèce
i)clx
relative à la courbe (i), comme nous l'avons fait, Tome I, page 94; les
?7i{, jn{, >.., m',j, {i^^i, '1, . . . , o p)
sont les mêmes que ceux de la substitution S de la page 99 (/oc. cit.). Au contraire, les \)J' dépendent essentiellement de la courbe C.
Les points singuliers des (o considérés comme fonctions dejK ne dépendent nullement de la courbe C; c'est là un point très important pour la suite. Ces points singuliers ne peuvent être, en effet, d'une part, que ceux correspondant aux valeurs de y pour lesquelles le genre de la courbe
(4) f[''^^yi ^) = ^>
s'abaisse, d'autre part, que ceux correspondant aux valeurs de y pour lesquelles un des points logaritbmiques se confond avec un point critique de la courbe. Les premiers sont les points critiques de l'intégrale (3), les seconds ne sont pas en réalité des points critiques. Car, soient a,, a2, ci^, ..., les points critiques de la courbe (4), et b un point singulier logarithmique; b et les ci dé-
pendent de y^ et l'on suppose que, pour une certaine valeur a de y, le point b coïncide avec le point 6^^ . Soit to une période correspondant à un contour T et enveloppant par exemple trois points a; à une petite courbe autour du point logarithmique b correspondra la période polaire --h 1. Quand j' tourne autour de a et
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revient à sa position initiale, il faut montrer que w revient à la même valeur; ceci est immédiat, puisque la période co-f-i, correspondant à un contour qui entoure les quatre points aj, «2? <^3 et b^ ne change pas quand y tourne autour de a.
Les substitutions S, faisant connaître l'ensemble des valeurs des (JL) pour toutes les circulations de y autour des divers points critiques, sont donc en un certain nombre k indépendant de la courbe C.
3. Ces résultats obtenus, considérons maintenant 2/> intégrales distinctes de seconde espèce I^, L, . . ., l2p de la courbe
en désignant par /> le genre de cette courbe, pour y arbitraire. Soient aussi "k courbes G|, Co, . . . , Gx et formons \ intégrales
du tjpe I, relatives respectivement aux coarbes C^, G2, C3, . .., C\. Cherchons à déterminer, s'il est possible, les fonctions rationnelles de y
et les constantes C\^ Cn, . . . , q de telle sorte que l'intégrale abélienne, relative à la courbe (i)
( 0 ) «1 11 + . , . -r- a^p I2P -i- Cl J 1 -H . . . + ex Jx,
ait toutes ses périodes indépendantes àe y.
11 en est bien ainsi pour les périodes polaires. Pour les périodes cjcliques, il n'en sera pas ainsi, en général. Désignons par
Kl, K2, ..., K2;;,
les périodes, supposées indépendantes de y^ correspondant aux ip cycles initiaux, pour lesquels nous avons les substitutions fondamentales, désignées d'une manière générale par S. Supposons que cette substitution S soit relative à la modification des périodes de Ji pour une certaine circulation de y ; avec la même circulation de y^ on aura la même substitution pour J2, . . . , Jx, sauf que les [Jise trouveront remplacés par d'autres entiers v, .,.,7r.
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Dans ces conditions, on devra avoir, puisque Ton suppose que les K ne dépendent pas de y^
Ki = m\ Kl -4- mi K2 -1- . . . -f- m\jj Kgy; H- Ci yJ- + Cg v^' + . . . -^ cirJ
On aura 2p relations analogues pour chacune des k substitutions fondamentales du type S.
Ceci posé, admettons qu'on puisse trouver ip -\-\ constantes
Kl, K2, ..-, K2;;, Cl, C2, ..., c)o
non toutes nulles, et satisfaisant aux "ipk relations qui viennent d'être écrites : Nous allons jnontrer qu'o/z pourra alors former une intégrale de différentielle totale ayant précisément les périodes précédentes. C'est, comme on voit, la généralisation de l'analyse développée (t. I, p. 98), pour étudier les intégrales de différentielles totales de seconde espèce.
