Ecrivons, en effet, que les périodes de l'intégrale

a-i II -H a2l2-f-. . .-+- a^^pl^p -h Cl Ji +. . .-+- cxJx,

correspondant aux ip cycles initiaux, sont égales aux constantes K| , K2, . . ., Ksy?. Nous aurons ainsi 2/? équations qui vont déterminer

«1, 67-2, • • • ; ^f^'lp '1

il faut montrer que les a ainsi déterminés sont des fonctions rationnelles de y. Désignons par E|, Eo, • . ., Eo^ les premiers membres de ces équations, nous aurons

Ei==Ki, E2=:K2, ..., E2p=:=K:

il suffît de faire voir que ce système d'équations reste invariable quand on fait décrire à y un contour fermé quelconque, par exemple le contour auquel correspond la substitution S. Or, ces équations deviennent

m\ El H- /?z5 E^-h.. .|;^^i^^E2^;+ Cifj^(i^ --i-cov^i^ 4. . .4 ^xir^i^ =, Ki,

7??.P^Ei^- /?l|/^E2-H...-i-7?z|^jE2y;-+- Cip.(2/.)^ c2V^2y.)|__ . ^ CXT.'^'^P^ = K2;; ,

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système équivalent au système

El = Kj, E2 = K2, . . . , ^2p = Kap,

d'après les équations que nous supposous vérifiées par les constantes K etc.

Nous avons donc obtenu une intégrale de troisième espèce, relative à la courbe entre x et z

dont les périodes cycliques et polaires

K], K2, ..., K2/^, Cl, C2, ..., ex, sont indépendantes dej^; désignons cette intégrale par

5. Il va être facile maintenant de former une intégrale de différeatielle totale de troisième espèce, relative à la surface

ne pouvant avoir d'autre courbe logarithmique que les courbes

Cl, G2, ... 5 GX;

avec les périodes polaires correspondantes

Cl, C2, . . . , ex,

et peut-être, en outre, la courbe à l'infini de la surface. On va voir, en effet, qu'on peut déterminer une fonction rationuelle S(^,j)/i 5) telle que l'intégrale

K{x,y,z)dx -^ S(^, jr, z)df

satisfasse à ces diverses conditions.

La fonction S (x, y^ z)^ considérée comme fonction de x et j", doit vérifier la condition

dx dy

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On y satisfera de la manière suivante : Soit Xq une valeur fixe arbitraire et désignons par ^, , ^2, -y ^m les m racines de l'équation

f{xo,y, z) = o {m étant le degré/).

Posons

/ R{cc, y, z) dx -i- . . .--^ R(x,y,z)dx

S, ainsi déterminée, a une valeur unique en chaque point (^,^'5 ^) de la snrtdice^ puisque les périodes des intégrales ne dépendent vas de y. Par suite, cette expression sera une fonction rationnelle de {x^y^ z)^ car les points singuliers de cette fonctionne peuvent être des points singuliers essentiels. De plus, on voit immédiatement que

àx m dy ^' v j. ? /j ^y.

comme il doit être.

Nous avons donc une intégrale de différentielle totale

R t^^ + S dy^

où R et S sont rationnelles en x^y et z.

L'intégrale précédente ne pourra visiblement avoir d'autres courbes logarithmiques que les courbes

Cl, G2, . . . , Gx,

la courbe à l'infini sur la surface, et peut-être aussi des sections planes de la surface correspondant à des plans

y = const.

Il serait aisé d'établir qu'il n'y a pas de lignes logarithmiques de cette dernière catégorie; il suffirait, pour cela, de répéter le raisonnement fait pages io4 et io5 du Tome I, pour une circonstance analogue, mais il est inutile d'insister sur ce point, car si la section

donnant dans la surface une courbe indécomposable (ce qu'on

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peut toujours supposer, puisque les axes sont arbitraires), était une courbe logarithmique avec la période correspondante B, il suffirait de retrancher de notre intégrale

pour avoir une intégrale possédant la propriété voulue.

En résumé, si les constantes K et c satisfont aux ipk relations à coefficients entiers du n" 3, nous pouvons former une intégrale de différentielle totale

R dcc -^ S dy

ayant les ip + X périodes

Kl, K2, ..., ..., K2/;, Cl, co, ..., ex,

les \ dernières étant des périodes logarithmiques correspondant aux courbes données à V avance

Gj, G2, . . . , C\.

Certaines quantités c peuvent être nulles, auquel cas il n'y aurait pas de courbe logarithmique correspondante. Si tous les c étaient nuls, nous aurions une intégrale qui ne pourrait avoir d'autre courbe logarithmique que la courbe à l'infini de la surface /; mais une intégrale ne pouvant avoir une seule courbe logarithmique, notre intégrale n'en aurait alors aucune j, et nous aurions alors une intégrale de seconde espèce, conclusion qui est bien d'accord avec notre théorie des intégrales de seconde espèce.

6. Au point de vue des possibilités qui peuvent se présenter pour une surface donnée, quelques observations intéressantes sont à faire. Désignons, d'une manière générale, par relations (a) les 2/?/f relations du n^ 3. Envisageons sur la surface une courbe algébrique irréductible quelconque C^ ; il peut arriver, ou non, que les équations (a) correspondant à la seule courbe Ci soient vérifiées pour une valeur de c^ difierente de zéro. Dans le premier cas, on aura une intégrale de troisième espèce ayant pour courbes logarithmiques la courbe G| et la courbe à l'infini; dans P. ET S., II. 16

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CHAPiniE IX.

le second cas, il n'y aura pas de telle intégrale. Si l'on est dans ce second cas, envisageons, outre C^, une seconde courbe algébrique irréductible quelconque C2, et concevons les équations (a) x^elatives aux deux courbes Ci et Co. Deux cas peuvent encore se présenter : il peut arriver ou non qu'on puisse satisfaire à ces équations, sans que c^ soit nul. Dans le premier cas il y aura une intégrale de troisième espèce avec les deux courbes logarithmiques C^ et G2 et peut-être la courbe à l'infini; il est visible que c^ aussi ne sera pas nul. Dans le second cas, il n'y aura pas de telle intégrale. On peut ainsi continuer, mais non pas indéfiniment, car lorsque \ est assez grand, on pourra manifestement satisfaire aux équations (a), sans que tous les c soient nuls.

D'une manière plus précise, supposons que pour À courbes

Cl, G2, .... Cx,

il ne soit pas possible de satisfaire aux équations (a) sans que c^ , C2, ... ,, c\ soient nuls. Considérons une X 4- i''^"'^ courbe arbitraire C>,^^ de la surface et formons les équations (a) relatives à G|, Go, . . . , Gx+i ; si \ est assez grand, il arrivera que ces dernières équations pourront être vérifiées sans que c^+i soit nul. En effet, pour \ assez grand, les équations (a), dont le nombre ipk ne dépend pas de À, peuvent être vérifiées pour des valeurs des K et des c, les c n'étant pas tous nuls; d'autre part, pour les équations (a) relatives à G,, G2, • . • , Gx+f on ne peut avoir cx^\ =0, car alors les équations (a) relatives à Gi, G2, . • ., Gx pourraient être vérifiées, Ci , Co, . . . , cx n'étant pas tous nuis. JNous aurons donc alors une intégrale de troisième espèce ayant certainement pour courbe logarithmique Gx+i et de plus quelqu'une ou la totalité des courbes G^ , G2, . . ., Gx et de la courbe à l'infini. Geci nous conduit au théorème suivant :

On peut, sur une surface f, tracer \ courbes algébriques irréductibles particulières

Ci, G2, . . . , Gx

telles qu il n^ existe pas d' intégrales de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques une ou plusieurs de ces courbes G et de la courbe à l'infini^ mais

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telles que^ si Von envisage une A -f- i'^'"^^ courbe arbitraire C^^i , // existera une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmicjues la courbe Cx+i et la totalité ou une partie des courbes G|, . . ., Cà et de la courbe à U infini.

Nous pouvons modifier renoncé, de manière à ne plus avoir à parler de la courbe à l'infini. Supposons que, pour Cx+i arbitraire, l'intégrale I dont il vient d'être question admette la courbe à l'infini comme courbe logarithmique. En prenant une autre courbe C)+i , nous aurons une intégrale T, ayant pour conrbe logarithmique Cx4 i et la totalité ou une partie des Ci, Go, « • . , Gx, et de la courbe à l'infini; on peut évidemment choisir la constante A

de manière que l'intégrale