J'-AI

n'ait pas la courbe à l'infini comme courbe logarithmique. Gette considération conduit au théorème fondamental que nous avions en vue.

Sur la surface f, à singularités ordinaires, on peut tracer p courbes algébriques irréductibles particulières

Cil , •L12? • • • •) '--"P

telles qu^ il n'' existe pas d^ intégrale de différentielle totale de troisième espèce^ ayant seulement pour courbes lo garithmiques la totalité ou une partie de ces courbes G, mais telles cjuHl existe une intégrale ayant seulement pour courbes logarithmicjues une p -i- i^^"^^ courbe ciuelconcjue V de la surface, et la totalité ou une partie des courbes G.

7. Les déductions du paragraphe précédent supposent que toutes les intégrales de différentielles totales peuvent être obtenues par de^ combinaisons analogues à celles du n° 3. On se rend compte aisément qu'il en est bien ainsi. Soit

/ Kdx ~\~^ dy

une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques les lignes

G], G2, • • • ? Cm

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de degrés <i^, (^2? •••5 d^^ avec les périodes logarithmiques c^^ C2, . . . , C|j^, On aura la relation

Cl <i?i -I- C2 <^2 + • • • H- c^^d^^ = o.

En désignant par

Ji, J2, .... Jp,

les intégrales formées avec ces courbes comme au n^ 3, la différence

/ R(a?, jK, .5) dx~ CiJi~ . . .— Cjj^J^, est une intégrale de seconde espèce relative à la courbe

elle est donc égale à une expression de la forme

«1 II -f- ... -h a2i)l2p)

plus la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x^ y^ z. Nous avons donc la forme envisagée au n° 3, et la démonstration du théorème fondamental est maintenant complète.

8. D'après sa nature même p est au moins égal à un. L'analyse que nous venons de développer pour établir l'existence de ce nombre en donne une limite supérieure mais ne donne pas le moyen de le calculer complètement. La recherche précise de ce nombre paraît, d'une manière générale, devoir être assez difficile, car elle est liée à l'étude des courbes algébriques tracées sur une surface donnée; c'est en ce point que notre étude n'est pas complète. Nous examinerons plus loin quelques exemples assez étendus.

Pour deux surfaces qui se correspondent birationnellement^ le nombre p n'a pas nécessairement la même valeur. C'est seulement quand la correspondance entre les deux surfaces ne présente pas de points fondcunentaux et de courbes exceptionnelles qu'on peut, d'une manière générale, affirmer l'invariance du nombre p ; il est clair alors qu'à une courbe G de la surface S on peut faire correspondre une courbe C^ de la surface S^, et cjue le nombre des lignes est le même de part et d'autre. Il peut en être autrement quand il y a des courbes exceptionnelles, parce qu'à une courbe logarithmique C passant par un point fondamental peut corres-

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pondre, outre la courbe G^ la courbe exceptionnelle transformée du point fondamental; il J a alors sur S^ deux courbes logarithmiques correspondant à la courbe logarithmique G de S. On le voit bien nettement de la manière suivante. Soit ^ == o, y = o le point fondamental sur S; la transformation de S en S^ se trouve définie (p. 85 de ce Volume) par des équations de la forme

la courbe S[j^\ y') =^ o correspondant sur S^ au point ^ = o, y=iO. Soit sur cette courbe un point (a, j3) pour lequel P(a, p) a la valeur m-^ nous pouvons supposer que S et P sont holomorphes autour de ^' = a, j^^= p. La fonction

\og{y — mx) se transforme en

JogS(:z^', y'} -f- log[P(a7', y') — ?n]: elle a pour courbes logarithmiques les deux courbes

S{x'. y') = o et Fix', y) — ?7i = o, passant au point (a, |3).

9. Faisons encore une remarque générale ('). On sait qu'il y a dans la théorie des surfaces algébriques de nombreux problèmes où la présence de courbes exceptionnelles vient amener des complications; nous l'avons vu notamment dans ce Volume en étudiant les systèmes linéaires de courbes tracés sur les surfaces. Un ihéorème, récemment démontré par MM. Gastelnuovo et Enriques [Annali di Mateniatica^ t. VI, 3"" série), est de grande importance : d'après ce théorème, dans toute classe de surfaces se correspondant hirationnellenient il existe des surfaces sans courbes exceptionnelles (-), en laissant de côté toutefois les classes qui comprennent des surfaces réglées.

Dans le problème qui nous occupe, le nombre p sera évidem-

(* ) E. Picard, Sur la transformation des surfaces algébriques {Comptes rendus, t. GXXXIV, 1902).

(-) I^our une telle surface S, la correspondance birationnelle entre S et une surface quelconque S de la classe se fait de telle manière qu'il n'y a pas de courbe de 21 correspondant à un point de S.

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ment le même pour toutes les surfaces de la classe n'ayant pas de courbes exceptionneDes.

Le nombre p relatif à ces surfaces sans courbes exceptionnelles est donc un nombre invariant pour la classe de surfaces algébriques considérées.

II. — Sur les surfaces pour lesquelles toutes les intégrales de différentielles totales sont des combinaisons algébrico -logarithmiques (1).

10. Nous avons vu dans le Tome I que, pour une surface algébrique dont la connexion linéaire /?^ est égale à un (ce qui est le cas général), toutes les intégrales de différentielles totales de seconde espèce sont des fonctions rationnelles de x^ y et z, La question se pose alors de savoir si, pour une telle surface, toute intégrale de différentielle totale ne serait pas une combinaison algébrico-logarithmique, c'est-à-dire une expression de la forme

(i) E Aa- logR/,(^, y, ^) -;- V{x, y,z),

les R et P étant des fonctions rationnelles de x^ y et 5, et les A des constantes. En fait, les seuls exemples connus de surfaces ayant des intégrales qui ne soient pas de cette forme correspondent à /?i >> I ; mais, malheureusement, nous ne sommes pas en mesure de répondre à la question posée. Nous allons seulement démontrer une propriété curieuse des surfaces dont toutes les intégrales de différentielles totales ont la forme précédente,

11. Soit donc une surface/*, pour laquelle toutes les intégrales de différentielles totales sont par hypothèse de la forme ci-dessus. Soient

Cl 1 , C 2 , ' • • 1 Cl p

les p courbes du théorème démontré dans la section précédente et r une courbe irréductible quelconque tracée sur la surface. Il existe, d'après ce théorème, une intégrale de différentielle totale

( ' ) E. Picard, Sur quelques points fondamentaux dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables (Acta mathematica^ t. XXVI).

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ayant pour courbes logarithmiques la courbe F et la totalité ou une partie des courbes G. Cette intégrale est de la forme (i); on peut supposer tout d'abord que les termes logarithmiques sont réduits à leur moindre nombre, c'est-à-dire qu'entre les A. on n'a pas de

relations

I^m/cA/^ — o,

les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls. Il est clair en effet que, si l'on avait une telle relation, on pourrait réduire l'expression à avoir un terme de moins. Soit, pour fixer les idées, une relation entre trois coefficients A|, Ao, A3; on pourra écrire

On a donc Al logR, H- A, logRa -h A3 logRs - A, log R. 7^ + A^ log R^ -i^ ) ,

et il j a, par suite, une réduction dans le nombre des logarithmes. Les logarithmes ayant été ainsi réduits au moindre nombre, si l'intégrale se réduit à

S Ak logR/,(:r, .7, ^ ) H- P(^, y, z ),•

on est assuré que les fonctions rationnelles R n'auront d'autres lignes de zéros et d'autres lignes d'infinis que les courbes G et la courbe F.

Si, en effet, une des fonctions R s'annulait le long d'une autre ligne )v, comme celle-ci n'est pas une courbe logarithmique de l'intégrale, il faudraitque d'autres fonctions rationnelles R (une au moins) devinssent nulles ou infinies le long de X; et en écrivant que la ligne X n'est pas une courbe logarithmique pour la somme, on obtiendrait une relation homogène et linéaire à coefficients entiers entre les A, contrairement à ce que nous avons supposé.

Une des fonctions R, au moins, est nulle ou infinie le long de F, et elle a comme autres lignes de zéros et d'infinis la totalité ou une partie des courbes G, avec des degrés quelconques d'ailleurs (entiers) de multiplicité. Ainsi, étant envisagées les courbes

Cl, G2, . . . , Cp,

et une courbe irréductible arbitraire F, il existera certainement

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une fonction rationnelle n'ayant d'autres lignes de zéros et d'infinis que la courbe F et la totalité on une partie des courbes C. Ajoutons que cette fonction sera unique, ou, plus exactement, deux fonctions rationnelles R et R^ possédant cette propriété sont telles que deux de leurs puissances entières convenables sont dans un rapport constant. Supposons, en effet, que R ait F pour ligne de zéros d'ordre [jl, et que R^ ait la même courbe pour ligne de zéros d'ordre [jl- , le quotient

ne pourra avoir d'autre ligne de zéros et d^infînis que Ci , C2, • • • , Gp. Ce quotient se réduira à une constante, car autrement la fonction

pourrait être mise sous la forme d'une intégrale de différentielle totale de troisième espèce qui n'aurait pas de ligne logarithmique en dehors de Ci, G2, ..., Cp, ce qui est impossible d'après les propriétés de ces courbes C.

12. Ces points établis, prenons sur notre surface p + i courbes irréductibles entièrement arbitraires F^, F2, ..., Fq+i. On peut, d'après ce qui précède, former une fonction rationnelle R| ajant pour ligne de zéros la courbe ^^ et pour lignes de zéros et d'infinis la totalité ou une partie des courbes C. Soient de même Ro, . . . , Rp+i des fonctions rationnelles correspondant à F2, ..., Fp^^ ; formons le produit

L — t\^ A»^ ... IXp^i ,

OÙ les [j. sont des entiers positifs ou négatifs. On peut choisir ces entiers (non tous nuls) de manière que, pour la fonction rationnelle F, les courbes C ne soient plus ni lignes d'infini ni lignes de zéros. La fonction F, ainsi obtenue, ne se réduira pas à une constante, et elle aura pour lignes de zéros et lignes d'infinis la totalité ou une partie des courbes F.

Nous sommes donc ainsi conduits à la conclusion suivante, qui est assez curieuse : étant prises sur la surface p + i courbes algébriques irréductibles arbitraires, il existe une fonction rationnelle s^ annulant le long de certaines de ces courbes et devenant

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infinie le long des autres {avec des degrés convenables de multiplicité) et n^ ayant aucune autre ligne de zéros ou d'^infinis.

Il est bien entendu qu'il s'agit ici d'une surface dont, par liypothèse, toutes les intégrales de difTërentielles totales se ramènent à des combinaisons algébrico-logarithmiques.

Pour les courbes algébriques il n'existe évidemment pas de proposition analogue, dans laquelle les courbes Y seraient remplacées par des points] pour une courbe algébrique non unicursale on ne peut évidemment pas trouver une fonction rationnelle des coordonnées dont les pôles et les racines seraient compris parmi un certain nombre de points arbitrairement donnés, les degrés de multiplicité n'étant d'ailleurs pas fixés à l'avance.

13. Les résultats précédents conduiraient donc plutôt à penser que les intégrales de différentielles totales de troisième espèce ne se ramènent pas en général pour une surface algébrique à des combinaisons algébrico-logarithmiques, mais, comme nous l'avons dit plus haut, nous ne pouvons pas indiquer de surface, de connexion linéaire égale à l'unité (c'est-à-dire sans intégrale de différentielle totale de seconde espèce), possédant une intégrale de troisième espèce qui ne soit pas du type algébrico-logarithmique.

Indiquons seulement pour le moment un exemple d'une surface, dont toutes les intégrales de différentielles totales se réduisent à des logarithmes.

Il sera fourni par la surface célèbre du quatrième degré qui porte le nom de Kummer. M. Humbert a démontré, au sujet de cette surface, une proposition très élégante (^ ) : toutes les courbes algébriques tracées sur cette surface sont de degré pair, et si 2 m désigne le degré d'une telle courbe, on peut le long de cette courbe circonscrire à la surface une surface de degré m^ ne la coupant pas en dehors de la courbe considérée. Ici le nombre p des énoncés précédents est égal à un\ de plus, si l'on prend sur la surface deux courbes algébriques quelconques

Ti et r2,

(') G. Humbert, Théorie générale des surfaces hyper elliptiques {Journal de Mathématiques, 1893, p. 72).

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il existera une intégrale de troisième espèce, ayant ces deux seules courbes logarithmiques, et réductible à un logarithme. Si, en effet,

f^{^x,y,z)^Q et f.Soc, r,z)^o

représentent les deux surfaces de degrés m^ et m^ donnant les deux courbes d'après le théorème de M. Humbert, la fonction

los4^

peut être regardée comme une intégrale de troisième espèce possédant la propriété demandée.