III. - Quelques cas particuliers

14. Les considérations générales développées plus haut, pour une surface n'ayant que des singularités ordinaires, s'appliquent avec des modifications peu importantes aux surfaces données par les équations de la forme

où/* est un polynôme en x et y.

Toute intégrale de différentielle totale relative à cette surface est, en dehors d'une intégrale de fonction rationnelle, de la forme

R clx + S <^jr

R, S et M étant des polynômes en x et y. Des réductions simples (t. I, p. i68) permettent de la ramener à

R dT ^- S dy

yyy)AB,.AWf{x,y)

y^(y) étant un polynôme en y, et A, B, . , , , L des polynômes en x et y irréductibles et premiers avec /{x, y).

De plus, la surface

A(^,jk) = o

coupe nécessairement la surface proposée

suivant deux courbes distinctes, c'est-à-dire qu'on peut trouver deux poljnomes P et Q premiers entre eux et tels que

soit divisible par A(^, j ). Les deux courbes sont alors

Pour un polynôme donné /'(^, j^)j l'étude complète des polynômes irréductibles A(^, y) serait de grande importance. La remarque suivante va nous être utile :

Supposons qu'un polynôme irréductible cp(^, y) divise une expression

u et <^ étant deux polynômes en x et y^ premiers avec cp, et désignons par m le degré de/. Alors, pour

o {x, y') — o, on aura

R étant rationnelle en x et y. Ceci posé, cherchons à déterminer des polynômes U etVen^, à coefficients rationnels en y, tels que

(a) U — VR(a7, jK)

s'annule quand ^(^,y) ^^ o. Pour de tels polynômes, on a certainement le polynôme en x

divisible par le polynôme en x^ (d(xj y); la lettre jk entre rationnellement dans les opérations. On pourrait prendre

mais arrangeons-nous de façon que le quotient de U- — V^/ (^, r) par cp(^, y) soit en x de degré le plus petit possible.

Si a est le degré de cp, on peut s'arranger de façon que l'expres-

sion (a) s'annule pour cp(.r,y) = o, en faisant V = i , et en prenant pour U un polynôme en x de degré [jl — i . Alors

sera un polynôme de degré 2 [Jv — 2 au plus, si

et le quotient de U- — V^/* par cp sera de degré \k — 2 au plus. Donc du polynôme es de degré ui, nous passons à un polynôme cpi (^, y) de degré |j. — 2 au plus par rapport à .2; et à coefficients rationnels en y. De cp^ (^?JK) on passera à un polynôme cp2 {^^y) et ainsi de suite.

Il y a maintenant à distinguer suivant que m est pair ou impair.

Soit m impair. Si

on pourra encore faire la réduction, et l'on arrivera à un polynôme de degré

Si l'on a

2 [JL — •! — m -H 3 ,

on obtient un polynôme de degré

Mais on peut passer d'un polynôme o de degré — - — • à un poly-

nôme de degré — au moyen du même raisonnement. On peut

choisir un polynôme U de degré de manière que

soit divisible par cp (division par rapport à ^, bien entendu); le quotient est de degré

J7i -i- I m — I m — ou •

Donc, pour /7Z impair, la réduction peut se faire jusqu'à ce que le polynôme soit en œ de degré — ^

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Soit m pair. Pour 2 p. — 2 = ni^ nous ferons la réduction au

degré

Pour 2 [^. — 2 = m 4- 2, nous ferons la réduction au degré

Nous sommes donc ramenés au degré ~ ou au degré — — i, et il n'est pas possible ici de faire en général d'autre réduction.

Toutefois il est possible de passer du premier cas au second si, dans/(^,jK), le coefficient de x est un carré parfait que l'on peut supposer être l'unité. Supposons en effet que, pour x satisfaisant à l'équation

x^ '-r- o(.]^x^ 4-. . .-T- a,/? = o (les a étant rationnels en jK);

le radical ^//\:r, jk) se mette sous la forme d'une fraction rationnelle en X et y. On pourra choisir les A rationnels en y de manière que

{x'^-{-klX^- ^^...-^k,n\ — /(^,j)

s'annule pour les — racines de l'équation précédente. Le quotient de cette expression par

X^ -T- OLiX ^ 4-. ..-H Ol,n

sera donc [dans/(^,jK) le coefficient de x^ est l'unité] un polynôme de degré

i au plus,

ce qui réalise la réduction cherchée.