Soit <ï>(^) le résultant de o et de J
et supposons que <ï>(^) contienne (^ — a) à la puissance k. D'autre part, divisons A/ par (];, et soit n le degré de ^; on aura
où X est un polynôme en ^ et y, de degré n — i en j)/ au plus.
Si / est susceptible de se mettre sous la forme (i), on conclut immédiatement des relations (2) et (3) Pidentité
(4) X=:AcE'H-(J;(BX — A(x — v).
Le premier membre est au plus du degré n — j en j>^, le second membre est au moins du degré n. Les points d'intersection de la courbe X = o avec la droite x — a = o se trouvent aux points d'intersection de A (BX — A|x — v) =: o avec la droite ix — a) = o, et comme i^ ne contient pas (^ — a) en facteur, le nombre de ces points est au moins égal à 11, On en conclut que X, de degré Il — I au plus en j^, est divisible par ^ — a : donc aussiBA — Aui — v.
Effectuant la division, et continuant le même raisonnement de proche en proche, on arrive à la conclusion que X est divisible par (^ — cif . Donc finalement X est divisible par $.
3. Réciproquement si X est divisible par $, on pourra mettre/ sous la forme (i). En effet, soit X = P<Ï>, on aura identiquement
X/= PXcp4-d;(v-j-P[j,);
donc \ divise le produit A (v + P |J^). Or, en vertu de la relation (2), A et A ne peuvent avoir en commun que des pol)^nomes en ^ seul, ce qui est impossible puisque A n'admet pas de diviseur ne renfer-
(^) Nous demandons la permission d'introduire ce mot un peu vieilli, pour ne. pas répéter toujours « la manière dont se comporte la fonction ».
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mant que x. Par suite, v + P[ji est divisible par A, et, en efïectiiant la division, on obtient pour/ une expression de la forme (i).
Donc la condition nécessaire et suffisante pour que f soit susceptible cVétre mis sous la forme Acp -4- B'i^ est que X soit divisible par <ï>.
4. A cette condition nous allons en substituer une autre relative au comportement de /dans le voisinage des points (a, 6) de rencontre des deux courbes cp et J;.
Supposons que le point (a, 6) soit un point multiple d'ordre /' pour A, d'ordre q pour cp, avec cj'^r^ et que la droite ^ =: a, qui coupe A en r points confondus en (a, 6), la coupe, en outre, en
n appartenant pas
n — r autres points simples c,, Co, •••? ^/ à o.
A^ et B' étant des polynômes d'abord arbitraires, effectuons la différence
/A'cp — B'iLr:. G',
et soit Ix -\- I le degré des termes de moindre degré dans C^ supposé développé suivant les puissances croissantes de x — a et y- — b. Désignons par / le degré des termes de moindre degré dans le polvnome ). [figurant dans (2)] supposé développé suivant les mêmes puissances. Nous allons montrer que 5^' X est divisible par <ï>, on pourra, toujours trouver en chaque point (a, b) des polynômes k' et W de manière que V inégalité
soit satisfaite^ et que réciproquement, si U on peut déterminer A' et B^ pour chaque point (<f^, Z>) de maiiière que cette relation soit satisfaite, X sera divisible par <ï>.
5. La première partie de la proposition est évidente, puisque, si X est divisible par $, on peut déterminer A et B de manière à avoir identiquement
/— Acp — Bii; =. o.
La réciproque s'établit de la manière suivante : Par une série de calculs analogues à ceux faits précédemment, on arrive à une iden-
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lité de la forme
-Cl,
en posant
G=.B'X--A'jjL
Soit <î) r=i (^ — ay^^^ nous allons montrer que X est divisible par (x — ay du moment. que la relation (6) est satisfaite. Partons de l'identité
(8) X:^A'(^- ay^^'-^C^-^-Cl
dont nous supposerons les deux membres développés suivant les puissances croissantes de (x — a) et (y ■ — b). Par hypothèse, C^A commencera par des termes de degré au moins égal à r -f- k — i , donc à /'.
Les points de rencontre de la droite x=-a avec X— -o sont aux points de rencontre de cette droite avec la courbe CA H- C'\ = o. Or cette courbe possède déjà, en vertu de L'hypothèse faite, un point d'ordre au moins égal à r au point (a, b). D'autre part}\, en vertu de la relation (2), s'annule aux points Ci, Co, -.., c,i__r- Donc la courbe X =: o est coupée par la droite ^ = a en au moins fi points, et comme X est au plus du degré n — i en ^, il s'ensuit que X est divisible par œ — a. La démonstration est achevée ainsi, si /f = i .
Si A" >> ij on posera X = (^ — <^<^)X,, Xi étant encore de degré u — i au plus en jk, d'où l'on conclut c[ue GJ> + C'X contient (^x — a) en facteur; donc tous les termes homogènes du même degré en [x — a), {y — Z>), et en particulier les termes de Gd; d'ordre inférieur à l -h k^ -^ i ^ contiennent x — a en facteur. Or ^ ne contient pas (x — a) en facteur; par suite, on peut écrire
G --^- {X'~ a)Gi4-G%
C'^ étant de degré au moins égal à l -{- k' — r; en sorte que nous pouvons substituer à la relation (9), la relation
(9) (^ — a)Xi = k\x — af *'-f- (^ — a) Gi tj; -h C ^\ H- X G', d'où l'on conclut que C'^^ -4- \QJ contient (^ — ci) en facteur
(10) G"^-f-XG'=(^ — a)G;,
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et que C, commence par des termes de degré au moins égal à AM- l. Or de la relation (6) il résulte /ir^+ l^ r\ donc la droite x^=-a coupe la courbe C'^ ==:= o au point (a, b) en an moins r points confondus. Mais C, s'annule aussi aux points (a,c); en effet, de la relation <î> = Xcp -|- \k^ il résulte que si (^, Jk) se déplace sur la courbe ^{x, y) = o dans le voisinage du point (a, c), la fonction \ contiendra [x — aY en facteur, quand on aura remplacé y — c par son développement en x — a, puisque <ï> contient {x — ■ a)'^ en facteur et que C5(a, c) ^ o. Donc G'^ , qui est défini par la relation (lo), contiendra {x — a)^*^"' en facteur et s'annulera aux points (a, c); on en conclut finalement que la courbe
qui est de degré au plus égal k 71 — ^ i en y, est coupée par la droite ^ = a en n points au moins, donc que X^ est divisible par (^ — a).
La démonstration est achevée si /f = 2.
Si A* >> 2, on continuera le même mode de raisonnement, sans ([u'il y ait rien à j changer.
Ainsi, en définitive, X sera divisible par^, et par suite / sera susceptible de se mettre sous la forme Acp + B J;, si en chaque point (a, b) de rencontre des courbes cp et ^ on peut déterminer des polynômes K' etW tels que la différence f — A^cp — B^A o/donnée suivant les puissances croissantes de [x — a) et [y — b) commence par des termes d^ ordre k' -\- i satisfaisant ci V inégalité
6. Cette relation est susceptible d'une forme plus simple dans le cas où les deux courbes cp et 4> n'ont pas de tangentes communes en leurs points de rencontre, c'est-à-dire dans le cas où k = qr. Reprenons la relation
ou
en mettant en évidence les termes homogènes de même degré, dans le développement suivant les puissances croissantes de (x — a) et (y — b). Si <ï> contient (x — a)^ en facteur, le second
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membre doit commencer par nn terme en [x — ay^. Si donc / -\~ q <^k, on devra avoir
et comme cp^ et ^^ sont premiers entre eux, on aura
a étant un polynôme.
Mais on peut écrire
et alors nous avons une forme analogue pour <ï>, mais dans laquelle le degré de la augmenté d'une unité. On peut donc faire en sorte que l -^ q^k.
Dans ces conditions, si l'on peut déterminer A/ et B^ de manière que
(il) k' -^ \^r ~r- q — I
la relation (6) sera satisfaite.
7. Voici encore une remarque intéressante. La fonction y étant de la forme Acp -}-BA, désignons par a, m, n les degrés respectifs de /, cp, (L et supposons que les termes homogènes de plus haut degré, (Om et ij,i^ dans o et A, soient sans facteurs communs. Dans ce cas, on peut toujours faire en sorte que A et B soient d'ordre [j. — m et \k — 11.
Supposons, en effet, que A et B soient de degrés respectifs UL — m -f- p et p. — 11 + p et désignons par A.^mj^n-, Bjj..„^p l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré, on devra avoir
donc, en désignant par a un polynôme.
D'où l'on conclut en écrivant/ sous la forme
/= (A — a'];)cp-i- (B-i-acp)4^,
que les degrés des coefficients de cp et J> peuvent être diminués
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d'une unité au moins. Continuant ainsi de proche en proche, on arrive ainsi au résultat annoncé.
