II. — Quelques applications
8. Une première application importante du théorème de Nœther est la suivante : (d et ii étant deux courhes qui n'ont pas de tangentes communes en leurs ^points de rencontre ^ et q et r ayant la même signification cjue précédemment^ supposons que la courbe f ait^ pour points multiples d^ ordre cj -^ r — i, chaque point de rencontre de (^ et i^\ dans ce cas on aura certainement
f ■=. Acp + Btl;.
En effet, on peut, en chaque point de rencontre, choisir A^ etB^
de manière que
y__A'cp = B'<];
commence par des termes de degré cj -\~ r — i : il suffit de prendre .V=B'=o.
9. Proposons-nous en second lieu de reconnaître si une expression de la forme
oit P désigne un polynôme^ est susceptible de se mettre sous la forme d^ un polynôme en x et y^ y étant une fonction algébrique de X définie par V écjuation
f{x, y) =o supposée de degré m.
Nous supposerons d'ailleurs que la courbe /n'a que des points doubles et est orientée arbitrairement par rapport aux axes.
Il s'agit, en d'autres termes, de savoir ûV[x^y) peut se mettre sous la forme
Supposons d'abord que la droite a.x -\- ^^y -|- y = o ne soit pas tangente à la courbe / et ne passe pas par un point double. Soit (a, b) un point commun à / et à a^r + [îj'' + y = o ; ce point est
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d'ordre 5^ = 1 pouryet d'ordre r pour la courbe (a^ H- [3j/ + y)''=^o. x\ppliquons la formule (6) du n° 5. Dans le cas actuel, on voit en formant le résultant de f et de (a^ + ^y -f- y)^ que le nombre désigné par / est au moins égal kr —~\y que k est égal à r : on en dédui t A'^ '-H ir^7\ Pour que la représentation soit possible, on devra donc pouvoir déterminer A' et B^ de manière que l'expression
P-A'/~B'(a^.-Pj-i-Y)^
dans le voisinage de tout point de rencontre (a, h) commence par un terme de degré r.
Posons, en mettant en évidence les ensembles de termes homogènes de même degré en .2^ — a ç,l y — h \
p = p, - h Pi. -i .
A :^ Aq -f- A| -r- .
Gn devra avoir les relations
Pi-
Telles seront, par conséquent, les formes de V^^ P2, • • ., Pr-i pour que la représentation soit possible.
Supposons maintenant que o.x + ^y -h y = o soit tangente à la
Fi£. I.
courbe y en un point (a, 6) et que le conlact soit simple. Bornonsnous d'ailleurs au cas où /* = i . Pour les points en dehors du point de contact, P(^,j/) doit simplement j passer.
Relativement au point de contact (a, ^) on a A" =:2, /'-— i , /r=o, donc k' -Y- I = 2. On devra pouvoir déterminer A^ et B^ de manière que l'expression
P„ A7-B'(a^-^-[ij-y)
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THÉORÈME DE NOETHER. 9
développée suivant les puissances de x — a^ y — b , commence par des termes du second degré. P^ est, par suite, de la forme
A'o/i + B; [a(^ - a) -4- p (jk --- h%
c'est-à-dire que la courbe P(^, y) = o doit être tangente en (a, h) 'à f{x, y) = o.
Finalement considérons le cas où la droite ax -^ py -+- y =: o passe par un point double, en supposant toujours /• == i . On a /r = 2 , / == o , r =Tz: I , d onc /f ^ -f- i =:= 2 .
Fis. 2.
Par suite
doit commencer par des termes du second degré, ce qui exige que l'on ait
donc que la courbe P(^, y) ~- o soit tangente en (a, h) à la droite.
