Ces préliminaires posés, soit l'identité

U, V, cp et ô étant des poljnomes en ^ à coefficients rationnels

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en JK? l'expression

(8) Alog -^^^^^ ^;4 (A^^const.)

n'aara, à distance finie, d'autres courbes logarithmiques que des

courbes de la forme

y — const.,

et les courbes

Si donc une intégrale de troisième espèce a pour courbes logarithmiques les deux lignes

quand on en retranchera l'expression ([3) avec une valeur convenable de A, on fera disparaître les courbes logarithmiques (y) pour les remplacer par les courbes logarithmiques

Une conséquence importante se déduit immédiatement de ce résultat. Si, pou?' le polynôme donné f{x^ y)^ que nous supposerons, pour fixer les idées, de degré impair m en x, il n^ est pas possible de troui^er un polynôme en x irréductible

avec coefficients rationnels en y et de degré — ^ — au plus, tel que, pour

\Jf[x^y) soit susceptible de se mettre sous la forme dUine fonction rationnelle en x et y, on pourra^ par la soustraction d^ un certain nombre de logarithmes, faire disparaître d'aune intégrale de différentielle totale toutes les courbes logarithmiques à distance finie, à l'exception de courbes

y = const. sUl peut y en avoir.

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De plus, par des raisonnements analogues à ceux que nous avons employés dans la section précédente pour la démonstration du théorème fondamental, on est conduit à la conclusion suivante :

S^il existe des polynômes i^t répondant à la condition précédente, on pourra tromper un nombre p tel qu^ il n^y aura pas dHntégrale de différentielle totale de troisième espèce ayant seulemenl , pour courbes logarithmiques à distance finie la totalité ou une partie des couples de courbes répondant aux p polynômes

mais tel qu'il existera une intégrale ayant seulement pour courbes lo garithmiq ues le couple de courbes correspondant à

et la totalité ou une partie des couples de courbes correspondant à ^1, Ao, • • -7 ^p-

Nous ne parlons pas dans cet énoncé de courbes logarithmiques qui correspondraient k y ^=: const., qui ne sont pas exclues.

Dans cet énoncé, le nombre p pourrait être nul, c'est-à-dire qu'il pourrait arriver dans certains cas qu'à tout couple de courbes répondant à ^i correspondît une intégrale.