On voit, étant donnée l'équation
l'importance des relations
telles que, au moyen de ces relations, z soit susceptible de se mettre sous la foraie d'un polynôme en x et y.
Le cas le plus simple est évidemment celui de m=.Z. On a alors l'équation
^2 ^ a{y) cc^ -{- b{y) cc^ -\- c(y) x -f- d{y),
a-, b^ c, d étant des polynômes en y. Il s'agirait de rechercher s'il existe des fonctions rationnelles ^ et ^ de y^ satisfaisant à l'équation précédente.
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La question est beaucoup plus complexe qu'elle ne le semble au premier abord; c'est ce que montrera de suite un cas très simple (^). Je suppose que la relation se réduise à
f étant un poljnome de troisième degré en x n'ayant que des racines simples, et F(j-) un polj^nome de degré 2/> -h i sans racines multiples. Nous allons montrer qu'il n'existe pas en général de fractions rationnelles z el x Ae y satisfaisant à l'équation précédente, sauf les solutions immédiates
a étant une racine de f{x) = o. Supposons qu'il existe d'autres
solutions ^ on aura
dx dx F(j^) dy
De là on déduit que l'intégrale de première espèce
dx
se transforme, en prenant pour x une fonction rationnelle de y^
en l'intégrale
"''■Vftf,
R(jk) étant rationnelle en y. Gomme cette intégrale doit être aussi de première espèce, il faut que R(j^) se réduise à un poljnome de degré p — i, et, par suite, une fonction rationnelle x de y répondant à la question doit satisfaii'e à la relation
dx dy
P(jk) étant un poljnome de degré p — ^ i au plus. Réciproque-
(^) E. Picard, Suj^ la résolution de certaines équations à deux variables et sur un théorème de M. Nœther {Bulletin des Sciences mathématiques , 1901). — Sur certaines surfaces dont toutes les intégrales différentielles totales se ramènent CL des combinaisons al géhrico-logarithmiques {Annales de l'École Normale supérieure, igoS).
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INTÉGIRALES DE DïFFÉREîSTIELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 255
ment d'ailleurSj si une fonction rationnelle x àe y satisfait à une
telle relation, on aura
dx
et, par suite, z sera rationnelle en y.
Des considérations précédentes il résidte tout d'abord que, pour un polynôme donné du troisième degré, si le polynôme F(j/) est arbitraire, il ne sera pas possible de déterminer une fonction rationnelle X de j^(ne se réduisant pas à une constante) satisfaisant aux conditions voulues. En effet, il ne sera pas possible de trouver une intégrale de première espèce relative au radical y/F(x) ayant seulement pour périodes les deux périodes de l'intégrale
dx
Par suite, en général, pour la surface
[/(^) étant du troisième degré, et F (y) de degré 2/> -f- i], toutes les intégrales de différentielles totales se ramèneront à la forme
P dx -h Q dy
OLC P et Ç) sont des polynômes en x, à coefficients rationnels en y. D'ailleurs, en retranchant de l'intégrale une fonction rationnelle convenable en x^ y et ^, on peut supposer que P est de la forme
A et B étant des fonctions rationnelles de y. Alors les périodes de l'intégrale relative à x
^ ( A .r -^ B ) dx
ne doivent pas dépendre de y. Or il est aisé de voir que l'on ne
peut choisir des fonctions rationnelles A et B de jr (sauf A=:B = o)
telles que les périodes de cette intégrale satisfassent à la condition
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256 CHAPITRE JX.
indiquée. Soient, en effet, les deux intégrales
dx r ^ dx
r dx r
J ^Jf^) "' J
\/fi^)
dont nous désignerons par coj, 0^ et 002, O2 les périodes correspondantes. On devra avoir
AOt + Bo., /F (7)
AQ5 H- Bw2 p
G^ et C2 étant des constantes; or les valeurs de A et B ainsi déterminées ne sont évidemment pas fonctions rationnelles dey.
17. Nous concluons, de l'étude du paragraphe précédent, que les intégrales de différentielles totales relatives à la surface
se ramènent toutes en général à des combinaisons algébricologarithmiques.
Il y a un cas particulier, où nous ne sommes pas assurés de celte conclusion, c'est celui où l'on peut trouver un polynôme P(y) de degré p — i, de telle sorte que l'équation
dx ^^. . dy
soit susceptible d'être vérifiée par une fonction rationnelle x àe y (ne se réduisant pas à une constante).
Approfondissons le cas où le polynôme F(j/) se réduirait à f{y)\ alors P(jk) doit être une constante G (puisque p := i), et nous avons l'équation
dx dy
— G (G étant une constante).
Cette équation se rencontre dans la théorie de la multiplication des fonctions elliptiques. Supposons que les fonctions elliptiques correspondant au polynôme du troisième degré/(^') n admettent
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pas la multiplication complexe ; dAoT^C sera nécessairement un nombre entier réel m, et si, avec les notations de Weierstrass, on jDOse
et que p{ii) désigne la fonction elliptique correspondante, on aura d'abord la solution
y = P(w), ^ = p{mu)\
X ainsi obtenue est une fonction rationnelle de y. On a en outre
qui est bien rationnelle en y. Nous désignerons par Km{y) l'expression de X en fonction de y] on a évidemment
J^'équation
dx dy
admettra d'autres solutions x fonctions rationnelles de jkj il est facile de trouver leur expression générale. Si Ton pose
r équation précédente devient
d^> = m du^
d'où
(; = mii^ K (K étant une constante.)
Or, comment doit être cboisie la constante R pour que de
on tire pour ^ une fonction rationnelle Ae y. Il faut et il suffit que
mu H- K et — mu -r- K donnent pour ^ la même valeur, quel que soit u. Ceci exige que
vw -I- v'cd'
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2d8 chapitre IX.
V et v' étant des entiers, co et oo' étant les périodes de pÇu)- Nous aurons donc pour K quatre valeurs conduisant à des fonctions rationnelles distinctes; le cas de v = v^ .=: o est celui qui a été considéré ci-dessus.
Nous allons étudier la disposition sur la surface des différents couples de courbes correspondant aux diverses fonctions rationnelles X dey, que nous venons de trouver.
Prenons d'abord la première série (v = v' == o).
18. Pour la courbe du troisième degré entre ^ et ^ on a la représentation paramétrique (avec le paramètre r)
Si l'on coupe la courbe par une droite cjuelconque, la somme des valeurs des <; correspondant aux points de rencontre est égale à zéro à un multiple près des périodes.
Les valeurs v ^=.-±1 u correspondent à x = JK, et les valeurs v=^±mu correspondent à la fraction rationnelle x de r, dont nous avons parlé plus haut. On obtient ainsi, sur la courbe précédente, une succession de points; il est facile d'obtenir pour ces points une génération géométrique, qui va nous être très uti]e.
Si l'on mène la tangente au point A correspondant à
elle rencontre la courbe en un troisième point B pour lequel on a
V =^ — 'lit]
le symétrique B' de B par rapport à O^ correspond à
En joignant le point A. au point B', le troisième point G d'intersection de la droite AB^ avec la courbe correspond à
Prenons le symétrique G' de G par rapport à O^^, pour lequel
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ç z=::z^^u'^ la droite AG^ donne un troisième point pour lequel
et, ainsi de suite, on obtiendra tous les points correspondant à i^ = zÉ: mu.
Considérons les deux points correspondant k u el — mu^ la droite qui les joint conpe encore la courbe au point correspondant à [m — \)ii. Soit
z =^ ax -^ b^
Téquation de cette droite, où a et b sont manifestement des fonctions rationnelles de y.
Le polynôme du troisième degré en ce
aura pour racines
Ri (y), Rm~i(7) et R;;,(7).
Si donc nous revenons à la surface
expression
/s , , ax -^ b -^ z . . ,
(a) A loe' ; ( A étant une constante)
^ ^ ^ ax -^ b — 5 Q
aura, comme courbes logarithmiques, les trois couples de courbes
z =^ ± {ax -\- b)-, X = By^.(jK),
OÙ k a les trois valeurs i, m — i et ;?2.
Donc si une intégrale de différentielle totale admet le couple de courbes logarithmiques correspondant à k z= m, on pourra, par la soustraction de l'expression (a) avec une valeur convenable de la constante A, faire disparaître ce couple de courbes et le remplacer par les couples de courbes correspondant à A := i et k =: m — I. En allant ainsi, de proche en proche, on arrivera à n'avoir plus, comme courbes logarithmiques, que les couples de €Ourbes correspondant à
k = I et /c = 'i;
mais, pour ce dernier cas, on peut, d'après la construction in-
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26o CHAPITRE IX.
diquée pins haut, déterminer a et b rationnelles en y^ de telle sorte que
admette Rf(y) comme racine double, et R2 0^) comme racine simple^ et alors k = 'i est ramené à /f =: t .
19. Nous n'avons encore considéré que la première série de couples de courbes, celle qui correspond à
p = ± mu.
L'étude des trois autres séries sera très facile. Prenons par exemple la série correspondant à
V = ± 7nit -\- — 5
et désignons par
^ = 9ni{y)
la fonction rationnelle correspondante.
Considérons, comme plus haut, sur la courbe entre z el x
Le point A correspondant à
les coordonnées de A sont
^ = p ( mu H- — ) ^ ^ = P [ ^'^^^ "^ r ) P ^ ^v-
Envisageons aussi le point B correspondant à v = -• Ses coordonnées sont
X = a, ^ — o (a étant une racine de /).
La droite joignant A et B rencontre la courbe en un troisième point correspondant à
Désignons par
z ■= ax ^ b
la droite joignant ces points {a et b sont rationnels en y), L'équa-
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lion du troisième degré en x
{ax~-rbf--f{x)f{y) = o
admettra, poar racines a, Om{y) Qll\m{y)^ Si donc on revient à la surface
^^- -/(•^)/(r), l'expression
, ax -H 6 H- ^
admettra, comme courbes logarithmiques, les deux couples de courbes correspondant à
^=9ni{y) et ^=R/;,(jk).
On peut donc, par une soustraction convenable, ramener le premier couple de courbes logarithmiques au second. Mais les couples de ce type viennent d'être étudiés, et nous avons vu que l'on pouvait se borner à envisager les couples de courbes correspondant à cT = j/.
Finalement, toute intégrale de différentielle totale relative à la surface
et de la forme
" F dx -^ Q dy
Oit P (3^ Q sont rationnelles en x et y , peut^ par la soustraction d^ expressions algébrico-logarithiniques convenables^ être ramenée à n^ avoir à distance finie d^ autres courbes logarithmicjues cjue le couple de courbes correspondant ci
Nous ne parlons pas des courbes correspondantes à ^ = a [où a serait nécessairement racine de /'(^)], qui ne peuvent être des courbes logarithmiques pour les intégrales envisagées.
L'intégrale sera donc de la forme
P dx -f- Q dy
{x-yy^^^f{x)f{yy P et Q étant des polynômes en x, à coefficients rationnels en y.
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EnfÎQ des rédactions tout élémentaires permettent de ramener cette intégrale au cas de /?2 = t .
20. Or il est aisé de voir qu'il ne peut y avoir, pour la surface
d'intégrale de différentielle totale de la forme
' P ( ^, y) dx -H Q ( .17, 7 ) cly
où P et Q sont des polynômes en x^ à coefficients rationnels en jk- Avant de le démontrer directement montrons que cela résulte indirectement des remarques faites dans le Chapitre précédent au sujet de l'identité étudiée précédemment (p. 199),
s/fW)\/7ïy)~ ^^
sJ:t\y)
ix-~y)s/j\x)
S'il existait une intégrale de la forme indiquée, on aurait nécessairement
dx y{x — y)^ D'ailleurs, on a évidemment
— G (G étant une constante).
Si donc de (i) on retranche l'identité (2) multipliée par C, on obtiendra une identité de la forme
u^.r) i rPi(^,.r)] ^ ± rqt(x,y)i v//(^)v//(\r) ^^'L ^ J ^yl - y
où p, et Q, sont des polynômes en ^, et cette identité est impossible, car l'intégrale double
dx dy,
prise le long du continuum envisagé [loc. cit.)^ serait nulle, ce qui est inexact.
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21. Démontrons maintenant directement qu'il ne peut j avoir, pour notre surface, d'intégrale de la forme
Les périodes de l'intégrale relative à ^
f P (ce, y ) dx
ne doivent pas dépendre du paramètre y. En particulier, l'expression
doit se réduire à une constante- cette constante est différente de zéro, sinon les deux lignes correspondant à ,^ = y ne seraient pas des courbes logarithmiques, et nous serions dans le cas étudié plus haut. On peut supposer que la constante est égale à un.
Si l'on considère d'une manière générale l'intégrale ci-dessus, P étant de la forme indiquée, et avec la condition
V{x,x)=--fix),
les périodes cjcliques de cette intégrale sont des fonctions dey, Ja période polaire étant iizi. Les points singuliers de ces périodes regardées comme fonctions de y sont les trois racines de f{y) et le point à l'infini.
Envisageons dans le plan de la variable x le cjcle F comprenant à son intérieur deux des racines a et b^ et laissant j/ à son extérieur, et supposons jr voisin de a.
Nons avons pour une détermination de sj f\x) en un point A du contour {Jîg- S), et pour une détermination de \lf{y). une
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période délerminëe w. Saj3posonSj pour fixer les idées, que la déterininalion de \Jf{.^) en A soit celle qui devient \/f{y)^ quand ^ va de A en j/ par un chemin rectiligne. Faisons maintenant décrire à y un chemin fermé autour de a. Le cycle F va se déformer, fuyant en c[ueic[ue sorte devant y, et nous aurons, quand JK sera revenu à sa position initiale, une nouvelle position T^ du cycle F correspondant à la seconde figure où Ton a supposé, comme il est permis, que seulement la portion de F comprise entre le point A et un autre point B s'est modifiée.
Au point de départ A. {fig. s), le signe de \/f{y) n'est pas le même dans les deux cas, puisque y a tourné autour de a; les éléments de l'intégrale oat donc des signes différents au départ.
Il est alors aisé de voir ce que devient co, quand j* a tourné autour de a; on reconnaît de suite, en comparant les deux figures, que
o) se transforme en — w — ■ .^tïL
Faisons maintenant décrire à jk i^m autre chemin enveloppant
les trois points <2, 6, c. Quand y revient à son point de départ, le
radical \/f{y) a chang-é de signe, rien par ailleurs n'étant modifié ;
par suite
CD se transforme en — w.
Or co doit rester invariable, puisqu'il est indépendant de y; on a donc
D'autre part, la circulation de y autour de a chang-eant co en — (jL) — /\izi, on voit que l'on arrive à un résultat absurde. Nous en concluons que l'intégrale, dont nous avons supposé l'existence, ne saurait exister. Donc toutes les Intégrales de différentielles
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totales relatives à la surface
s^ expriment par des combinaisons algébrico-lo garithmiques . On a seulement supposé que les fonctions elliptiques correspondant au poljnome f{x) n'admettent pas de multiplication complexe.
22. Relativement à cette dernière circonstance, faisons seulement FétLide d'un cas particulier ; des considérations analogues s'appliqueraient à tous les cas de multiplication complexe. Soit
l'équation
dx cly
ne pourra être vérifiée par une fonction rationnelle x de JK, que si
(e racine cubique imaginaire de l'unité).
Les fonctions rationnelles x de y se déduisent, en raisonnant comme pins haut, des équations
y = P(^^). -^ = P[("^ -+- nz)u^ K],
où K est une demi-période.
A ces fractions rationnelles peuvent correspondre des couples de courbes logarithmiques pour les intégrales de différentielles totales considérées. On verrait, comme ci-dessus, que l'on peut se borner à K.= o, et considérer par suite les fractions rationnelles x de y correspondant à
J = p ( ti ), .27 =1 J3 [ ( /?! -H 72 î ) ii J .
En particulier, pour /n = i , /2 = o, on a la solution déjà considérée X ■=^ y\ et, pour m = o, /z = i , on a .^ = sjk-
On va voir que tous les couples de courbes logarithmiques peuvent être ramenés aux deux couples de courbes correspondant à
X ^=^ y et X =■ sy.
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Tout d'abord le raisonnement fait plus haut, pour montrer que tous les couples de courbes correspondant à
se ramènent à x = y? 6st encore applicable.
On verra pareillement c[ue tous les couples de courbes correspondant à
y = v{u), X = p(jizu)
se ramènent au cas de n =z i ^ c'est-à-dire à x = ey. Soit enfin le cas général correspondant à
y = p(u)^ ,T = p(i^), où V ^ (771-^ m)ic.
Nous considérons sur la courbe entre ^ et ^
le point
11 est en ligne droite avec les deux points avant les coordonnées
